6.3.1 平面向量基本定理（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 课程标准 素养解读 通过学习平面向量的基本定理有关内容， 1.理解平面向量基本定理及其意义， 重点培养学生的数学抽象，逻辑推理，数学 2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题 运算素养 课前。预习学案 -● [情境引入] [预习自测] 七个音符谱出千支乐曲.26个字母写就 1.下列关于基底的说法正确的是 ( ①平面内不共线的任意两个向量都可作为 百态文章！在多样的向量中，我们能否找到它 一组基底 的基本音符呢？ ②基底中的向量可以是零向量. 李9 ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量 关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.①B.②C.①③D.②③ 2.e,e2是平面内向量的一组基底，则下面四 组向量中，不能作为一组基底的是() 问题 给定两个非零向量e,、e2(不共线)，平 A.e1和e1+e2 B.e1-2e2和e2-2e 面内任意向量a都能用e1、e2表示吗？ C.e1-2e2和4e2-2e1 D.e1十e2和e1-e2 3.在△ABC中，D为AC 的中点，BC=3BE,BD [知识梳理] 与AE交于点F.若AF [知识点]平面向量基本定理 =入AE,则实数入的 1.定理：如果e、e2是同一平面内的两个 值为 向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有 支 B号 c D.青 且只有一对实数入1入2，使a= 4.如图所示，D是BC边的一个四等分点，用 2.我们把不共线的向量e1、e2叫作表示这一平 基底AB,AC表示AD= 面内所有向量的一组 ?思考 平面向量的基底唯一吗？ 5.在□ABCD中，设AC=a,BD=b,则AB= ,BC= ·18 第六章平面向量及其应用 课堂。互动学案 题型一 对向量基底的理解 题型三 用基底表示向量 [例1]如果e1,e2是平面a内两个不共线的 [例2]如图所示，四边形 向量，那么下列说法中不正确的是 OADB是以向量OA=a, (填序号). OB=b为邻边的平行四 ①λe1十e2(入、∈R)可以表示平面a内的 边形.又Bi-}BC,C示-}CD,试用a,b 所有向量； ②对于平面a内任一向量a,使a=e1十e2 表示OM,ON 的实数对（入，）有无穷多个； 汇思路点拨]利用向量加法的三角形法则 ③若向量入1e1十41e2与入2e1十2e2共线，则 或平行四边形法则，来寻我向量和基底的 有且只有一个实数入，使得入1e1+e2= 关系 λ（λ2e1十h2e2）； ④若存在实数入，μ使得λe1十e2=0,则λ= =0. [思路点拨了“只有两个不共线的非零向量 才能做为基底。 规律方法 由平面向量的基本定理可知，两个不共线的 向量可以作为一组基底，并可以唯一表示平 面内任一向量.利用基底表示平面内的向量， 可利用线性运算作转化，对有几何背景的题 目，要灵活地运用向量加法的三角形法则或平 行四边形法则，恰当地将向量作转化. ◇[变式训练] 2.已知△ABC为等边三角形，分别以CA,CB 规律方法 为边作正六边形，如图所示，则 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向 量是否非零且不共线.此外，一个平面的基 底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可 以由这个基底唯一线性表示出来. ◇[变式训练] A.EF=昌AD+4GA 1.设e1,e2是平面内一组基底，且a=e1十2e2, B.EF= ai+3c丽 b=一e1十e2,则向量e1十e2可以表示为另 C.EF-5AD+4GH 一组基底a,b的线性组合，即e1十e2 a十 DEF-号A0+G函 ·19 数学·必修第二册 题型平面向量基本定理的应用 规律方法 [例3]如图，△ABC中，点D 主要应用三角形法则、平行四边形法则，数 是AC的中点，点E是BD 乘向量解决，将涉及的向量用基向量表示出 的中点，设BA=a,BC=c. 来，体现了转化的思想. (1)用a,c表示向量AE; ⊙[变式训练] (2)若点F在AC上，且BF= a+c,求AF 3.如图所示，在△OAB中，OA =a,OB=b,M,N分别是 CF. 汇思路点拨]利用向量的加法，减法以及 0A.0B上的点，且0-3a, 数乘运算法则，把要求的向量用已知向量 O示=2b,设AN与BM交于 表示是解题的关键， 点P,以a,b为基表示OP C温攀提 学习至此，请完成课时作业(6.3.1) 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课程标准 素养解读 在学习过程中，借助平面直角坐标系，通过学习 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正 平面向量的正交分解、坐标表示及两个向量加、 交分解及坐标表示. 减运算的坐标表示，重点培养学生的数学运算， 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示. 逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] 坐标来表示.平面向量的坐标有何运算规律 三坐标雷达亦称三维电 呢？这就是本节要学习的内容. 扫描雷达，可获得目标的距 问题平面向量的坐标有何运算规律？ 离、方向和高度信息，比其他 二坐标雷达（仅提供方位和距离信息的雷达） 多提供了一维高度信息.这使其成为对飞机引 导作战的关键设备.此类雷达主要用于引导飞 机进行截击作战和给武器系统提供目标指示 数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的 ·20·数学·必修第二册 2.解析：如图，D为BC中点， .20A+AB+AC=0, .2OA+2AD=0, B D(O AD=-0A,..AD=AO :O与D重合，BC为圆的直径. O=ABI=1,BCI=2.AC=3ACB= :CA.CB=CA.C3·os∠ACB=52.5=3. 2 答案：3 3解：由已知：a·b=4×8×(号)=-16。 (1):a+b2=a2+2a·b+b2 =16+2×(-16)+64=48, .a十b=43. (2)4a-2b12=16a2-16a·b+4b =16×16-16×(-16)+4×64=3×162 .4a-2b=16V5. 4解：a+b)上(a-号b）, ÷a-b1·（a-号)=0 b号6=0. 即a2-3。 a2=|a2=4,b2=b2=1, 54-3cos0-号=0.∴eos0=2 又：9∈[0，].a与b的夹角9为牙 5.解：(1)，a十b十c=0, .a十b=-c,∴.a十b=c, .(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2, a·b=c-a2-b 2 =1c2-a2-b12_49-9-25_15 2 2 c03x5xo c0s0=,即0=60. (2):(a+b)⊥(a-2b), .(0十b)·(a-2b)=0, a2-2b-2pa·b十a·b=0, 9n2x5-0×与+艺=-0g=器 秀在=一2使得口十与0-b每立， 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 课前预习学案 情境引入 提示可以表示， 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于平面 内的任一向量a.存在唯一一对实数入1，入2，使a=入1e1 十λe2 知识梳理 一、l.不共线入1e1十入2e22.基底 [思考] 提示：平面向量的基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以 作为平面向量的一组基底. 预习自测 1.C2.C 3.C[如题图，：B,F,D三点共线，存在实数k使BF= B成=冬(BA+BC),:.A萨=A店+B萨=A店+冬(BA十 BC)=(1-冬)A店+BC,A龙-A店+成-AB+子元 :A京-AA忘1-会A店+会配-A店+合武 :AB与BC不共线， - =, 解得=是] k入 2=3 4是A店+AG 5.解析：设AC、BD交于点O,则 A0=0元=2a,Bò=2D=2b, 所以AB=A0-OB=A0-B0 =a-2b, B成-B0+0元=2a+b, 答案：0-20名a+0 课堂互动学案 [例1][解析]由平面向量基本定理可知，①④是正确的. 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确 定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的 对于③，当两向量的系数均为零，即入1=入2=山=42=0时， 这样的入有无数个】 [答案]②③ 190· [例2][解]由题意得OB+BA=OA, 所以BA=a-b, 则元-合a-.成-元-吉a- Oi=O成+BM=b+日(a-b)=日a+号b, ON-0C+CN-+CD-0 =号×(ab)=号a+号6 [例3][解](1)AC-B元-BA=c-a, ∴Ai=2A花=2(c-o. :正=之店+Aò 成+2ò 、1 3 4c-4a. (2)设AF=AAC, .BF=BA+AF-BA+AAC =a十λ(c-a) =(1-A)a十c. 又萨=日a+台c, =号 :A=号A AF:CF=4:1. 变式训练 1.解析：由题意，设e1十e2=a十b. 因为a=e1十2e2,b=-e1十e2, 所以e1十e2=m(e1十2e2)十n(-e十e2)=(m-n) 十n)e2. m= 2 由平面向量基本定理得”一=1， 31 所以 2m十n=1, n=- 3 答案：号一日 2.A[选取AB,AC为基底， EF=EH+HF=3 AB+AC,AD=BG=2 BC=- 2AC, GH-GB+BH=2 CB+AB-2AB-2 AC+AB- 参考答案 2AC. EF=zAD+y GH=-2xAB+2x AC+3y AB-2y AC =(-2x+3y)AB+(2x-2y)AC, 9 {2x-2y-=1 (y=4 3.[解]：O币=Oi+Mp,OP=O示+NP,设M币=mMB, N市=nN,则O币-O成+mM成=子a+m(b-a) 号1-ma+b.0币-0示+a=21-b+a, a与b不共线 3(1-m)=n, >n= 1 5 2(1-n)=m 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 课前预习学案 情境引入 提示两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐 标的和与差；实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量 的相应坐标的乘积；一个向量的坐标等于其终点坐标减去 始点坐标 知识梳理 一、1.两个互相垂直2.单位向量3.xya=(x,y)(1, 0)(0,1)(0,0) 二、1.(1十x2,y1十y2)2.(x1-x2y1-y2）3.（2一x1, y2-y1） [思考] 1.提示：根据平面向量的基本定理，平面内的一个向量a,有且 只有一对实数x,y,使a=i十y,即是说平面内的一个向量 e1+(2m a,有且只有一个坐标(x,y),故相等向量的坐标一定相同， 不相等向量的坐标一定不同. 2.提示：当向量的起，点在坐标原点，向量的坐标就是其终，点的 坐标，否则不是.两向量的位置不同，但只要两向量是相等向 量，坐标就相同，若不是相等向量，则坐标不同 预习自测 1.C 2.C[OA=(x,y),.A(xy). 2 AB+ 又点A在第二象限，x<0,y>0.] 3.C[根据平面直角坐标系，可知a=2e+3e2,b=2e1-2e2, 3 AB- .a=(2,3),b=(2,-2).] ·191·