6.3.1 平面向量基本定理（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 ·|ACl sin60°AE=5BC2AE, 13.在△ABC中，设BC.CA=CA.A店. 所以AD V51BC12|AE到 √5AE (1)求证：△ABC为等腰三角形； BC3 BC3 BC 5× (2若B+C=2,B∈[登1，求M.0的取 3 值范围。 BC ，所以B错误； 解：(1)证明：因为BC·CA=CA·AB,所以(BC 对于C,因为a×b=√3，a·b=1,所以|ab sin(a,b>=√3，a·|bcos(a,b>=1, AB)·CA=0.又因为CA=-(AB+BC),所以 所以tan(a,b)=√5，因为(a,b)∈(0，π)，所以(a,b) (AB+BC)·(BC-AB)=O,所以AB=BC,即 =号，所以a·b=2, 1AB=BC,所以AB=BC,所以△ABC为 所以|a+2b2=|a12+4a·b+4|b2≥ 等腰三角形， 2√4·a2·b+4=12,当且仅当a=√2|b= 2时等号成立，所以a+2b|的最小值为2√5，所以 (2)因为B∈[5，]，所以c0sB∈【-22] C正确； 设AB1=BC1=a,由1BA+BC1=2,得1BA+ 对于D,若|a×b=1,|bXc=2,且b为单位向量， BC12=4,则有a2+a2+2 cos B=4,所以a2= 则当a=E,(a,b=平，c=4,b,e)=晋时，可 以等于ae=吾+晋瓷 B片以Bi,n-eo=年 此时laXc=|a·csin(a,c)=42x2+W⑥ 十0sB[-2,号1.故BA.C的取值范周 2 4 2十2√3，所以D正确.] 为[-2号] 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 课程标准 素养解读 1.理解平面向量基本定理及其意义. 通过学习平面向量的基本定理有关内容，重点培养学生 2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题， 的数学抽象，逻辑推理，数学运算素养。 课前。预习学案 对应学生用书P18 [情境引入] 问题给定两个非零向量e、e,(不共线)，平面内任 意向量a都能用e1、e2表示吗？ 七个音符谱出千支乐曲.26个字母写就百态文 提示可以表示. 章！在多样的向量中，我们能否找到它的基本音 如果e,2是同一平面内的两个不共线向量，那么对 符呢？ 于平面内的任一向量Q.存在唯一一对实数入1，入2，使 a=入1e1+入2e2. 享9 [知识梳理] [知识点]平面向量基本定理 1.定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对 实数入1、入2，使a=入1e1十入2e2 ·24· 第六章平面向量及其应用 2.我们把不共线的向量e1、e2叫作表示这一平面内所 解析：C[如题图，B,F,D三点共线，存在实 有向量的一组基底. 数k使B庐=kBi=冬(BA+B,∴.A庐=A店十 2思考平面向量的基底唯一吗？ 提示：平面向量的基底不唯一，只要两个向量不共 B萨=A店+冬(BA+BC)=I-冬)A店+多BC, 线，都可以作为平面向量的一组基底。 A它=A店+B正=AB+BC.:AF=XAE,∴1 [预习自测] 1.下列关于基底的说法正确的是 冬A店+B元-AA店+合B武 ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组 [1- =入 基底. 2 :AB与BC不共线， 解得入= 3 ②基底中的向量可以是零向量， 入 4 ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基 4.如图所示，D是BC边的一个四等 底的线性分解形式也是唯一确定的， A.① B.② C.①③ D.②③ 分点，用基底AB,AC表示AD 答案：C 2.e,e2是平面内向量的一组基底，则下面四组向量 答案：店+AC 中，不能作为一组基底的是 5.在□ABCD中，设AC=a,BD=b,则AB A.e1和e十e2 B.e1-2e2和e2-2e C.e1-2e2和4e2-2e1 D.e1十e2和e1-ez BC= 答案：C 解析：设AC、BD交于点O,则 3.在△ABC中，D为AC的中点，BC=3BE,BD与 A0=0d=3a,B0=2Bd AE交于点F.若AF=入AE,则实数入的值为 ( 所以AB=AO+OB=AO-BO -3a-2b 成-0+0元-a+b, A. B. 4 1 3 0. 答案：20-b 30*号6 课堂。互动学亲 对应学生用书P19 题型一】 对向量基底的理解 [解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正 确的， [例1]如果e,e2是平面a内两个不共线的向量， 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面 那么下列说法中不正确的是 (填序号). 的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数 ①ae1十e2(入、u∈R)可以表示平面a内的所有 对是唯一的 向量： 对于③，当两向量的系数均为零，即入1=入2=山1三 ②对于平面a内任一向量a,使a=e1十pe2的实 42=0时，这样的入有无数个. 数对（入，）有无穷多个： [答案]②③ ③若向量入e1十4e2与入2e,十2e2共线，则有且只 规律方法 有一个实数入，使得入e1十4e2=入（入2e1十2e2); 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否 ④若存在实数入使得入e1十e2=0,则入=u=0. 非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那 汇思路点拨了只有两个不共线的非零向量才能做 么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性 为基底。 表示出来 25· 数学·必修第二册 ◇[变式训练] ◇[变式训练] 1.设e,e2是平面内一组基底，且a=e1十2e2,b= 2.已知△ABC为等边三角形，分别以CA,CB为边作 e,十e2,则向量e1十e2可以表示为另一组基底a,b 正六边形，如图所示，则 的线性组合，即e1十e2= a+ b 解析：由题意，设e1十e2=ma十b, 因为a=e1+2e2,b=-e1十e2, 所以e1十e2=m(e1十2e2)十n(-e1十e2)=(m-n) e1+(2m+n)e2. A.EF= ai+4G 由平面向量基本定理得 (m-n=1, 所 2m+n=1, REF-名a+3G 2 m 31 C.EF=5AD+4GH D.E乐-号AD+3G品 解析：A[选取AB,AC为基底， 题型三 用基底表示向量 EF-EH+HF=3AB+AC,AD-BG=2BC=- [例2]如图所示，四边形OADB 2AB+2 AC, 是以向量OA=a,OB=b为邻 GH=GB+BH=2 CB+AB=2 AB-2 AC+AB 边的平行四边形，义丽=号 =3AB-2 AC, ,C=}c,试用a,b表示0,0. EF=xAD+yGH=-2x AB+2x AC+3yAB -2yAC-=(-2x+3y)AB+(2x-2y)AC, 汇思路点拨]利用向量加法的三角形法则或平行 四边形法则，来寻找向量和基底的关系 y=4 [解] 由题意得OB+BA=OA, 所以BA=a-b, 即EF=号AD+4Gi.] 则成-(ab,B-}B武-名ab. 题型平面向量基本定理的应用 [例3]如图，△ABC中，点D是AC的中点，点E是 o元i-Oi+Bm=b+a-b)=名a+b. BD的中点，设BA=a,BC=c. o示-0+-+i-6d 规律方法 (1)用a,c表示向量AE: 由平面向量的基本定理可知，两个不共线的向量可 以作为一组基底，并可以唯一表示平面内任一向量 (2)若点F在AC上，且B丽=号a+号c,求Ar 利用基底表示平面内的向量，可利用线性运算作转 CF. 化，对有几何背景的题目，要灵活地运用向量加法的 [思路点拔]“利用向量的加法，减法以及数乘运 三角形法则或平行四边形法则，恰当地将向量作 算法则，把要求的向量用已知向量表示是解题的 转化. 关键， ·26· 第六章平面向量及其应用 [解](1)：AC=BC-BA=c-a, ◇[变式训练] i.AD-ZAC-3(e-a), 3.如图所示，在△OAB中，OA=a, OB=b,M,N分别是OA,OB上 AE=(A店+AD 的点，且oM=3a,0示=b,设 =3A正+号A0 ANV与BM交于点P,以a,b为基 2a+e-a) 1 表示OP, [解]：OP=OM+MP,OP=O术+NP,设M =-a =m MB, ()AF=AAC,..BF=BA+AF=BA+AAC N市-n,则O市-Oi+m=a+m-名a =a十λ(c-a) =(1-λ)a+c. (1-m)a+wb.OP-ON+n NA-(1-m)b 又成-a+告e, +20. A= 号∴A=专AC.∴AP:CP=4:1 .a与b不共线， 规律方法 号m=号0 1 →n= 主要应用三角形法则、平行四边形法则，数乘向量解 21-0=m 决，将涉及的向量用基向量表示出来，体现了转化的 思想 课后。素养提升 对应学生课时P265 、-● 基础过关 》 A.D=-专A+号d 1.若e1,e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能 作为平面向量的基底的是 ( BAD=}A店-号AG A.e-e2,e2-e C.AD-告A+号AG 1 B.2e1-e2e1-2e2 D.Ai-号A店-AG C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.ete2,e-e2 解析：A[由BC=3CD得AC-AB=3(AD 解析：D[选项A中，e1一e2=-(e2一e),即e1 e2与e2一e1共线，不能作为基底；选项B中，2e1 A0,即3AD-A+4AC,所以i=-子A店 e=2(e1-2e),即2e-e,与e,-e共线，不能 +号 作为基底：选项C中，2e,-30,=-2(6e,-4e 3.已知非零向量OA,OB不共线，且2OP=2OA+ 即2e2-3e1与6e1-4e2共线，不能作为基底；选项 yOB,若PA=入AB(A∈R),则x,y满足的关系是 D中的两个向量不共线，可作为基底.] 2.设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD,则 A.x+y-2=0 B.2.x+y-1=0 ( C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 ·27· 数学·必修第二册 解析：A[由PA=入AB,得OA-OP=入(OB A.AC-a+b B.BC--za+b OA),即OP=(1+)OA-AOB.又2OP=xOA+ v0B,/=2+2x C.BM=-1a D.EF--ia+b ,消去入得x+y=2.] 6 y=-2 解析：ABD[由题意可得， DFC M 4在△ABC中，N是AC边上一点，且AN=号NC.P AC-AD+DC=b+号& a,故A 是BN上的一点，若AP=mA店+号A亡则实数m A正确； 的值为 BC=BA+AC=-0十b+a=b-号a,故B A司 C.1 D.3 正确； 解析：B[如图， Bmi=BA+Ai=-a+号AC=-a学6aX司 因为AN=}NC,所以AN= =号0号0，放C铅溪 }AC,P=nAB+号AC-mA店+号A,因为 EF-EA+AD+DP--ta+b+ia-6- a, B,P,N三点共线，所以m十导-=1，所以m=日，故 故D正确.] 选B.] 7.已知e1,e2不共线，a=e1十2e2,b=2e1十xe2,要使 5.(多选题)如果e,e2是平面a内两个不共线的向 a,b能作为平面内的一组基底，则实数入的取值范 量，那么在下列各命题中不正确的是 ) A.Ae1十He2(入，∈R)可以表示平面a内的所有 围为 向量 解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共 B.对于平面a内的任一向量a,使a=e1+ue2的 线.a=e1+2e2,b=2e1十入e2,由a≠b即得入≠4. 实数入，有无数多对 答案：(-∞，4)U(4,+∞) C.若向量入e十he2与2e十h2e2共线，则有且只 8.已知a=e,+e2,b=2e,-e2,c=-2e,十4e2(e1,e2是同 有一个实数入，使入1e1十4e2=入（入2e1十42e2) 一平面内的两个不共线向量)，则c为（用a, D.若实数入，使Ae1十e2=0,则入==0. b表示). 解析：BC[由平面向量基本定理可知，AD是正确 解析：设c=a十b,则-2e1+4e2=入(e1十e2)十 的.对于B,由平面向量基本定理可知，一旦一个平 2=入+2μ， 入三2 面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实 (2e1-e2),所以 解得 4=入一4， 数对是唯一的.对于C,当两向量的系数均为零，即 2a-2b. 入=入2=4==0时，这样的入有无数个.故 选BC.] 答案：2a-2b 6.(多选题)在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD, 9.已知向量e1e2不共线，实数x,y满足(2x-3y)e1 E,F分别是AB,CD的中点，AC与BD交于M,设 十(3.x-4y)e2=6e1十3e2,则x= AB=a,AD=b,则下列结论正确的是 y= ·28· 第六章平面向量及其应用 解析：.向量e1,e2不共线， A.内心 B.外心 2x-3y=6 15 C.垂心 D.重心 解得 (3.x-4y=3, -12. 解析：D[,O为△ABC所在平面上一点，D是 答案：-15 -12 10.如图所示，平行四边形ABCD中，M是DC的中 AB的中点，动点P满足OP=号[(2-2)0D+(1 点，N在线段BC上，且NC=2BN.已知AM=c, +2)0C]a∈R),且号2-2a)+号1+2x)=1, AN=d,试用c,d表示AB和AD. D ∴P,C,D三点共线，点P的轨迹一定过△ABC N 的重心.故选D.] 解析：因为四边形ABCD为平行四边形，M为DC 13.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC, 的中点，NC=2BN,所以AM=AD+DM=AD+ △AOC,△AOB的面积分别为SA,S,Sc,则SA 合A,不=店+B瓜=A店+号AD.因为i ·OA+S·OB+Se·OC=0.“奔驰定理”是平 c= 面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对 c,AN=d,所以 d-AB+3AD. 应的图形与“奔驰”轿车的1og0很相似，故形象地 称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC内一点， 解得A店=号(3d-e,Ai=多(2c-dD. 且满足：OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA, 11.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1十3e2,其中e1,e2不 共线，向量c=2e1一9e2,若存在实数入和u,使d= a十b与c共线，那么实数入和4应该是什么 关系？ 解析：，d=a十b=入(2e1-3e2)+u(2e1+3e2) =(2入+2u)e1十(-3入+3)e2,若d与c共线，则 应有实数k,使d=kc,即(2入十2)e1+(-3入+3u) 2λ+2μ=2k, 2 e2=2ke1-9ke2,由 得入= A. B C.6 0. 3入十3=-9k, 解析：D[,O为三角形ABC内一点，且满足OA 一2，故存在这样的实数入，以，只要入=一2，就能 +20B+3 OC=3AB+2 BC+CA, 使d与c共线. :.0A+20B+30C=3(0B-0A)+20元-0B) 能力提升 》 +(OA-OC)=30A+0B+2OC=0, 12.已知O为△ABC所在平面上一点，D是AB的中 点，动点P满足0P=号[2-2x)0i+(1+2x) S·0A+S8·0B+S。·0元=0.：4n SAABC OC](A∈R),则点P的轨迹一定过△ABC的 SW+SaS,S+子] S△ADB ·29·