6.2.4 向量的数量积（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 6.2.4向量的数量积 课程标准 素养解读 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 通过学习向量的数 2.体会平面向量数量积与投影向量的关系. 量积，重点提升学 3.会进行平面向量数量积的运算， 生的数学运算，逻 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的 辑推理，数学抽象 垂直关系。 素养. 课前。预习学案 [情境引入] 3.由于任何方向都可以作为零向量的方向，规 水上飞机用绳索拉着人 定 可与任一向量垂直，即对于任意 进行的水上运动，会让人感 的向量a,都有0⊥a. 觉自己在水上漂动，异常轻 [知识点二]两个向量数量积的定义 松刺激.要用物理原理来分析的话，这说明飞 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为 机的拉力对人做了功.这种现象在现实生活中 0,我们把数量|a|bcos0叫作a与b的 还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算 数量积（或内积），记作a·b,即 应用.那么它们遵循什么规律呢？ 问题力对物体做功，由哪些量来确定？ 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 0·a=0. 思考1.向量的线性运算的结果是一个向 量，向量的数量积运算呢？ [知识梳理] [知识点一]向量的夹角 [知识点三]向量的投影 1.已知两个非零向量a和 B 如图1，设a,b是两个非零向量，AB=a,CD b,如图，作0A=a,0B=00 A =b,我们考虑如下的变换：过AB的起点A b,则0= (0°≤0≤180°)称为向量a 和终点B,分别作CD所在直线的垂线，垂足 与b的夹角. 2.当0=0°时.a与b ;当0=180°时，a 分别为A1,B,得到A1B1,我们称上述变换 与b ;当0=90°.a与b垂直，记作 为向量a向向量b投影，A,B,叫做向量a在 向量b上的 ·14 第六章平面向量及其应用 [知识点六]向量的数量积的运算律 1.a·b= (交换律)； 0 2.(λa)·b= CA B.D 6 M N 图1 图2 (结合律)； 如图2，我们可以在平面内任取一点O,作 3.(a+b)·c= (分配律). OM=a,OV=b.过点M作直线ON的垂 线，垂足为M1,则OM就是向量a在向量b ?思考4.对于向量a,b,c,等式(a·b)·c 上的投影向量 a·(b·c)一定成立吗？ [知识点四]向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a上 的投影向量的数量|b|cos0的乘积，也等于 b的长度|b|与a在b上的投影向量的数量 |acos0的乘积.显然，a在b上的投影向量 与b在a上的投影向量是不同的， [预习自测] ?思考2.一个向量在另一个向量方向上的投影 1.若m=4,|n=6,m与n的夹角为135°， 可以是一个负数或0吗？ 则m·n等于 A.12 B.12√2 D.-12 [知识点五]向量的数量积的性质 C.-12√2 设a与b都是非零向量，0为a与b的夹角 2.已知61=3，a在6方向上的投影是多，则 1.a⊥b台 ( 2.当a与b同向时，a·b= ,当a a·b为 与b反向时，a·b= A.3 B. 9 1 2 C.2 D. 3.a·a= 或a=√a·a=√a; 4.cos 0= 3.设e,e2为单位向量，且e1,e2的夹角为 3 5.a·bl|allb1 若a=e1+3e2,b=2e1,则a·b= 2思考3.a,b都是非零向量，a·b≤|a|b 4.等腰直角三角形ABC中，|AB|=|AC= 中等号何时取到？ 2,则AB·BC= 5.已知单位向量a,b的夹角为45°，a一b与a 垂直，则k= ·15 数学·必修第二册 课堂。互动学案 题型一 数量积的基本概念 规律方法 (1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与 [例1]下列判断： b的夹角0,0∈[0，π]；②分别求|a和|b; ①若a2+b2=0,则a=b=0;②已知a,b,c ③求数量积，即a·b=|ab|cos. 是三个非零向量，若a十b=0,则|a·c= (2)当求向量式的数量积时，先利用向量数 1b·cl;③a,b共线台a·b=|a|bl:④lal|b 量积的运算律展开、化简，再由向量数量积 <a·b;⑤a·a·a=|a3;⑥a2+b2≥2a· 的定义计算. b;⑦非零向量a·b满足：a·b>0,则a与b ⊙[变式训练] 的夹角为锐角；⑧若a,b的夹角为0，则|b cos0表示向量b在向量a方向上的射影 2.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2OA 长.其中正确的是 (填序号). 十AB+AC=0,1OA1=|AB1,则CA·CB [思路点拨]依据数量积的概念逐一判断。 的值是 题型三 求向量的模 规律方法 [例3]已知向量a、b满足|a=2,|b|=3, 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答， |a+b=4,求|a-b. 关键是要对相关知识深刻理解.特别是那些 [思路点拨]要求a一b,利用模长公式 易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、 乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中 1a-b|=√a2-2a·b+b2,只需求 有关角的概念以及数量积的性质等. 2a·b即可： ◇[变式训练] 1.给出下列结论： ①若a≠0，a·b=0,则b=0:②若a·b=b ·c,则a=c;③(a·b)c=a(b·c);④a·[b (a·c)一c(a·b)]=0.其中正确结论的序 号是 题型三 数量积运算 规律方法 此类问题直接套用公式求解即可· [例2]已知|a=6,|b|=8,a与b的夹角为0 =135°，求： (1)a·a=a2=a|2或|a=√a·a, (1)a·b; (2)|a±b1=a2±2a·b+b. (2)(2a+b)·(a-b) ◇[变式训练] 汇思路点拨]利用向量数量积的定义和运 3.已知|a=4,|b=8,a与b的夹角是120°. 算律计算。 计算 (1)|a+bl;(2)4a-2b. ·16 第六章平面向量及其应用 题型四两向量的垂直与夹角问题 题型五 数量积的综合应用 [例4]已知非零向量a,b满足a十3b与7a-5b [例5]设两个向量e1,e,满足|e1|=2.|e2 互相垂直，a一4b与7a一2b互相垂直，求a与b =1,向量e1与e2的夹角为60°，若向量2te 的夹角 十7e2与e1十te2的夹角0为钝角，求实数t [思路点拨]首先转化向量的两个垂直关 的取值范围. 系，得出中间结论与cos0= 论紫立 汇思路点拨了 首先根据夹角公式得出关于t的一元二 求解. 次不等式，然后解式后，注意两向量共线 的情况 规律方法 (1)通常用两向量垂直来列方程，达到化简 规律方法 条件或求值的目的. 1.求向量夹角时要注意： (2)要求a与b的夹角，只要求出|a|、|b及 (1)当已知a,b是非坐标形式时，需求得a·b a·b即可.注意向量夹角范围.由cos0 及a,|b或它们之间的关系； =日治（芙中a,b是非零向量，8为a (2)当已知a,b的坐标时，可直接利用公式 求解 与b的夹角)判定0的大小时，有五种可 (3)注意夹角的范围为[0，π] 能情形：①当cos0=1时，0=0°；②当cos0 2.灵活应用a=a2,这给出了解决与模有 =0时，0=90°；③当c0s0=-1时，0= 关问题的思路. 180°；④当cos0<0且cos0≠-1时，0 ⊙[变式训练] 为钝角；⑤当cos0>0,且c0s0≠1时，0 5.已知向量a,b,c,满足a+b十c=0,且|a|= 为锐角. 3,lb|=5,1cl=7. ◇[变式训练] (1)求a与b的夹角0； 4.已知1a=2,b1=1,(a+b)1(a-0,求 (2)是否存在实数4使a十b与a一2b 垂直？ a与b的夹角大小. C温馨提 学习至此，请完成课时作业(6.2.4) ·17数学·必修第二册 课堂互动学案 [例1][解](1)真命题.，2a=a十a与a方向相同，且|2a =a十a=a十a=2a. (2)真命题.：一2a=(-a)十(-a)与-a同方向，3a=a十a十a 与a同方向，由于-a与a反方向，故一2a与3a反方向， 又：-2a=2a,3a=3a,所以-2a的模是30模的号倍. (3)真命题.-2a十2a=(-2十2)a=0.故-2a与2a是- 对相反向量 (4)假命题.·一(b-a)与b一a是一对相反向量，a一b与b 一a是一对相反向量，∴.一(b-a)与a一b是相等向量. [例2)[解]1原式=号(a-3b+号6昌a+子b) =号[(-是)加+(-3+号+子)] =号（受a)-号a-b, (2)原式=[(x十y)-2(x-y)]a十[(x+y)-(x-y)]b =(3y-x)a+2b. （3)原式=号a-b-a+号6+2b-a =(3-1-)+(1+号+2) 5 =-号(3+2)+号(2-》 =(5+号)+（号-号力 [例3][解]：ke1十e2与e1十e,共线， ∴.存在实数入，使e1十e2=A(e十e2), 则(k-A)e1=(ak-1)e2, 由于e与6不共线，只能有-=0 ∴k=±1. λk-1=0, [例4幻[解]由已知，点A是BC的中点， 则0=之Oi+0C).从而0心-20A-0i=2a-b, 又0D=2DB,所以OD=号O成=号b, -0元-0币-2a-b-号b=2a-号6. 变式训练 1.D[由入与向量a的积Aa的方向规定，易知①②正确，对于 命题③④，当>0时，入，以同正或同负，∴0与ua或者都 与a同向，或者都与a反向.a与a同向，当<0时.则 入与h异号，与a中，一个与a同向，一个与a反向，.a 与0反向，故③④也正确.] ·18 2.解析：2(-3a）厂(c+b-3)+b=0 ∴(2+多)小少-子a+(2+1)b-2=0 7 2 4 答案：=员a-6十7c 4 3.证明：AD=AB+BC+CD =(a十2b)+(-4a-b)+(-5a-3b) =-8a-2b =2(-4a-b) =2BC .AD=2BCAD∥BC且AD=2BC .四边形ABCD为梯形. 4,解：方法一：连接CV. :AN∥DC,且AN=DC=AB ∴.四边形ANCD为平行四边形， :.CN=-AD=-6. CN+NB+BC-0, .BC--NB-CN-b-4, MN-CN-CM-CN+7AN-10-6. 方法二：在梯形ABCD中，有AB+BC+CD+DA=0 即a+B元+(）十(-b)=0,可得B元-b2a, 在四边形ADMN中，有AD+DM+MN+NA=0, 即b+子a+不+(a）-0,可得m=子a- 6.2.4向量的数量积 课前预习学案 情境引入 提示由力和位移两个向量来确定，功可以看作力F和位 移、这两个向量的某种运算结果。 知识梳理 一、1.∠AOB2.同向反向a⊥b3.零向量 二，a·b=a|bcos9 三、投影向量 五l.a…b=02.a1b-ab3.a4.a6 a·b 5.≤ 六、1.b·a2.λ(a·b)a·(λb)3.a·c十b·c 8 [思考] 1.提示：实数 2.提示：可以.如b在a的方向上的投影数量bc0s0,当0E(90°， 180°]时，投影数量是负数，当0=90°时，投影数量是0. 3.提示：由于a·b=a bcos0, ∴.当0=0°或180°时，取等号， 4.提示：不一定成立.：若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相 反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方 向不一定相同，故该等式不一定成立， 预习自测 1.C2.B 3.解析：由已知6·6=cos否-2，a·b=(e十3，)·20 2g+6e,6,=2+6×号=5. 答案：5 4.-4 5.解析：(ka-b)·a=k 2 =0,k= 21 答案号 课堂互动学案 [例1][解析]由于a≥0.b≥0，所以，若a2十b2=0.则a =b=0.故①正确：若a十b=0,则a=一b,又a,b,c是三个 非零向量.所以a·c=一b·c,所以a·c=b·c,②正 确；a,b共线台a·b=士ab,所以③错误： 对于④，应有ab≥a·b,所以④错误； 对于⑤，应该是a·a·a=a2a,所以⑤错误； 对于⑥，a+b≥2ab≥2a·b,故⑥正确； 对于⑦，当a与b的夹角为0°时， 也有a·b>0,因此⑦错误： 对于⑧，bc0s0表示向量b在向量a方向上的投影的数 量，而非长度，故⑧错误 综上可知①②⑥正确. [答案]①②⑥ [例2][解](1)a·b=abcos0 =6×8×c0s135°=-24√2. (2)(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b =2a2-(-24√2)-b9 =2×62+24√2-8 =8十24√2. ·18 参考答案 [例3][解]由已知，a十b=4,∴.a十b2=4, .a2十2a·b+b=16. ① a=2,b=3, .∴.a2=a2=4,b2=b2=9. 代入①式得4+2a·b十9=16，即2a·b=3. 又，(a-b)2=a2-2a·b+b=4-3十9=10， ∴.a-b=10. [例4][解]由已知条件得 1(a+3b)·(7a-5b)=0, ((a-4b)·(7a-2b)=0. 17a°+16a·b-15b2=0 ① 即 (7a2-30a·b+8b=0 ②-①得23b-46a·b=0, ∴2a·b=b,代入①得a2=b,∴.a=b, .cos9=a·b26 1 ab=bF=之 9e[00=吾 [例5][解]由向量2te1十7e2与e1十e2的夹角0为钝角， 得cos9=②e+7ee+）<0. 2te1+7e2e+te: ∴.(2te1十7e2)·(e1十te2)<0. 化简得2x+15+7<0,解得-7<1<-2 1 当夹角0为π时，也有(2te1十7e2)·(e1十te2)<0,但此时夹 角不是钝角」 设2te1十7e2=a(e1十te2),A<0, 〔2t=入， λ=-√14， 则7=t, 故实数t的取值范围是 /14 2, (,-(四，-) 变式训练 1.解析：因为两个非零向量a、b垂直时，a·b=0,故①不正确； 当a=0,b⊥c时，a·b=b·c=0,但不能得出a=c,故②不 正确； 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确； a·[b(a·c)-c(a·b)]=(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)= 0,故④正确. 答案：④ 9 数学·必修第二册 2.解析：如图，D为BC中点， .20A+AB+AC=0, .2OA+2AD=0, B D(O AD=-0A,..AD=AO :O与D重合，BC为圆的直径. O=ABI=1,BCI=2.AC=3ACB= :CA.CB=CA.C3·os∠ACB=52.5=3. 2 答案：3 3解：由已知：a·b=4×8×(号)=-16。 (1):a+b2=a2+2a·b+b2 =16+2×(-16)+64=48, .a十b=43. (2)4a-2b12=16a2-16a·b+4b =16×16-16×(-16)+4×64=3×162 .4a-2b=16V5. 4解：a+b)上(a-号b）, ÷a-b1·（a-号)=0 b号6=0. 即a2-3。 a2=|a2=4,b2=b2=1, 54-3cos0-号=0.∴eos0=2 又：9∈[0，].a与b的夹角9为牙 5.解：(1)，a十b十c=0, .a十b=-c,∴.a十b=c, .(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2, a·b=c-a2-b 2 =1c2-a2-b12_49-9-25_15 2 2 c03x5xo c0s0=,即0=60. (2):(a+b)⊥(a-2b), .(0十b)·(a-2b)=0, a2-2b-2pa·b十a·b=0, 9n2x5-0×与+艺=-0g=器 秀在=一2使得口十与0-b每立， 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 课前预习学案 情境引入 提示可以表示， 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于平面 内的任一向量a.存在唯一一对实数入1，入2，使a=入1e1 十λe2 知识梳理 一、l.不共线入1e1十入2e22.基底 [思考] 提示：平面向量的基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以 作为平面向量的一组基底. 预习自测 1.C2.C 3.C[如题图，：B,F,D三点共线，存在实数k使BF= B成=冬(BA+BC),:.A萨=A店+B萨=A店+冬(BA十 BC)=(1-冬)A店+BC,A龙-A店+成-AB+子元 :A京-AA忘1-会A店+会配-A店+合武 :AB与BC不共线， - =, 解得=是] k入 2=3 4是A店+AG 5.解析：设AC、BD交于点O,则 A0=0元=2a,Bò=2D=2b, 所以AB=A0-OB=A0-B0 =a-2b, B成-B0+0元=2a+b, 答案：0-20名a+0 课堂互动学案 [例1][解析]由平面向量基本定理可知，①④是正确的. 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确 定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的 对于③，当两向量的系数均为零，即入1=入2=山=42=0时， 这样的入有无数个】 [答案]②③ 190·