6.2.4 向量的数量积（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章平面向量及其应用 6.2.4向量的数量积 课程标准 素养解读 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2.体会平面向量数量积与投影向量的关系. 通过学习向量的数量积，重点提 3.会进行平面向量数量积的运算， 升学生的数学运算，逻辑推理，数 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的 学抽象素养。 垂直关系 课前。预习学案 对应学生用书P14 [情境引入] [知识点三]向量的投影 水上飞机用绳索拉着人进行 如图1，设a,b是两个非零向量，AB=a,CD=b,我 的水上运动，会让人感觉自己在 们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B,分别 水上漂动，异常轻松刺激.要用物 作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1,B,得到 理原理来分析的话，这说明飞机 AB1,我们称上述变换为向量a向向量b投影， 的拉力对人做了功.这种现象在现实生活中还有很 AB,叫做向量a在向量b上的投影向量， 多，在数学中两个向量也有类似的运算应用.那么它 们遵循什么规律呢？ 问题力对物体做功，由哪些量来确定？ a 提示由力和位移两个向量来确定，功可以看作力F 0 B.D b M N 和位移、这两个向量的某种运算结果， 图1 图2 [知识梳理] 如图2，我们可以在平面内任取一点O,作OM=a, [知识点一]向量的夹角 ON=b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1,则 1.已知两个非零向量a和b,如 B 6 OM,就是向量a在向量b上的投影向量. 图，作OA=a,OB=b,则0= [知识点四]向量数量积的几何意义 a ∠AOB(0°≤0≤180°)称为向 数量积a·b等于a的长度|a与b在a上的投影 向量的数量|b|cos0的乘积，也等于b的长度|b 量a与b的夹角， 与a在b上的投影向量的数量acos0的乘积.显 2.当0=0°时.a与b同向；当0=180时，a与b反向； 然，a在b上的投影向量与b在a上的投影向量是 当0=90°.a与b垂直，记作a⊥b. 不同的. 3.由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定零向 ?思考2.一个向量在另一个向量方向上的投影可 量可与任一向量垂直，即对于任意的向量a,都 以是一个负数或0吗？ 有0⊥a. 提示：可以.如b在a的方向上的投影数量|bcos [知识点二]两个向量数量积的定义 0,当0∈(90°，180门时，投影是负数，当0=90°时， 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我们把 投影数量是0. 数量ab|cos叫作a与b的数量积（或内积），记 [知识点五]向量的数量积的性质 作a·b,即a·b=alb cos. 设a与b都是非零向量，0为a与b的夹角， 1.a⊥b=a·b=0; 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a 2.当a与b同向时，a·b=ab,当a与b反向时， =0. a·b=-ab; ?思考1.向量的线性运算的结果是一个向量，向 3.a·a=a2或a=√a·a=√a; 量的数量积运算呢？ 4.cos = a·b a bi 提示：实数 5.a·b≤abl. ·19· 数学·必修第二册 2思考3.a,b都是非零向量，a·b≤ab中等 2.已知b=3,a在b方向上的投影是号，则a·b为 号何时取到？ 提示：由于a·b|=a|b川cos, A.3 9 ∴当0=0°或180°时，取等号. B. C.2 0.2 答案：B [知识点六]向量的数量积的运算律 1.a·b=b·a(交换律)； 3.设e6为单位向量，且e6的夹角为号，若a= 2.(入a)·b=(a·b)=a·(入b)(结合律)； e1+3e2,b=2e1,则a·b= 3.(a+b)·c=a·c十b·c(分配律) 。1 解析：由已知e·e=cos3-2a·h=(e十3e,） ?思考4.对于向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b ·c)一定成立吗？ ·2e=2e+60·e,=2+6x2-5. 提示：不一定成立.：若(a·b)·c≠0，其方向与 答案：5 c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相 4.等腰直角三角形ABC中，|AB1=AC1=2,则AB 同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不 ·BC= 一定成立 答案：一4 [预习自测] 5.已知单位向量a,b的夹角为45°，ka一b与a垂直， 1.若m=4,n=6,m与n的夹角为135°，则m·n 则= 等于 解析：（如一b)·a=-=0,k=写 2 2 A.12 B.12√2 C.-12√2D.-12 答案：C 答案号 课堂 。互动学案 对应学生用书P16 题型 数量积的基本概念 对于⑧，bcos0表示向量b在向量a方向上的投 影的数量，而非长度，故⑧错误. [例1]下列判断： 综上可知①②⑥正确. ①若a2+b2=0,则a=b=0:②已知a,b,c是三个 [答案]①②⑥ 非零向量，若a十b=0,则|a·c|=b·cl;③a,b 规律方法 共线台a·b=ab;④ab<a·b;⑤a·a·a 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要 =a3;⑥a+b2≥2a·b:⑦非零向量a·b满足：a 对相关知识深刻理解.特别是那些易与实数运算相混 ·b>0,则a与b的夹角为锐角；⑧若a,b的夹角 淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向 为6，则|bcos0表示向量b在向量a方向上的射 量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等 影长.其中正确的是 (填序号) ⊙[变式训练] 思路点拔了依据数量积的概念逐二判断。 1.给出下列结论： ①若a≠0，a·b=0,则b=0:②若a·b=b·c,则 [解析]由于a≥0.b≥0，所以，若a十b=0.则 a=c;③(a·b)c=a(b·c);④a·[b(a·c)-c(a· a=b=0.故①正确；若a十b=0,则a=一b,又a,b, b)]=0.其中正确结论的序号是 c是三个非零向量.所以a·c=一b·c,所以a·c 解析：因为两个非零向量a、b垂直时，a·b=0,故 =b·c,②正确；a,b共线台a·b=士a|b|,所 ①不正确； 以③错误； 当a=0,bLc时，a·b=b·c=0,但不能得出a= 对于④，应有ab≥a·b,所以④错误； c,故②不正确： 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不 对于⑤，应该是a·a·a=a2a,所以⑤错误； 正确； 对于⑥，a十b2≥2a|b≥2a·b,故⑥正确； a·[b(a·c)-c(a·b)]=(a·b)(a·c)-(a·c) 对于⑦，当a与b的夹角为0°时， (a·b)=0,故④正确. 也有a·b>0,因此⑦错误； 答案：④ ·20· 第六章平面向量及其应用 题型二 数量积运算 [解]由已知，a+b=4,∴.a十b12=42, [例2]已知a=6,b|=8,a与b的夹角为0 .a2+2a·b+b2=16. ① 135°，求： ,a=2,bl=3, (1)a·b; .a2=|a2=4,b=|b2=9, (2)(2a+b)·(a-b). 代入①式得4+2a·b+9=16,即2a·b=3. 汇思路点拨]利用向量数量积的定义和运算律 又.(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10, 计算. .|a-b|=√10. [解](1)a·b=allblcos0 规律方法 =6X8×cos135°=-24√2. 此类问题直接套用公式求解即可. (2)(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b =2|a|2-(-24√2)-|b|2 (1)a·a=a2=a2或a=√a·a. =2×62+24√2-8 (2)a±b=√/a±2a·b+b下 =8+24√2. ◇[变式训练] 规律方法 3.已知a=4,b=8,a与b的夹角是120°.计算 (1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角 (1)a+b;(2)4a-2b. 0,0∈[0，r];②分别求|a|和|b;③求数量积，即 解：由已知，a·b=4×8 〔)-16 a·b=al bcos0. (1).|a+b12=a2+2a·b+b (2)当求向量式的数量积时，先利用向量数量积的运 算律展开、化简，再由向量数量积的定义计算。 =16+2×(-16)+64=48, ⊙[变式训练] .a+b=4√5. 2.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2OA+AB十 (2)4a-2b|2=16a2-16a·b+4b =16×16-16×(-16)+4×64=3×162 AC=0,|OA|=|AB1,则CA·CB的值 是 .|4a-2b|=16√5. 解析：如图，D为BC中点， 题型四两向量的垂直与夹角问题 .20A+AB+AC=0, [例4]已知非零向量a,b满足a十3b与7a一5b互相 .2OA+2AD=0, D(O 垂直，a一4b与7a一2b互相垂直，求a与b的夹角. AD=-0A...AD=AO [思路点拨]“首先转化向量的两个垂直关系，得 ,O与D重合，BC为圆的直径。 出中间结论与cos0=ab a·b联立求解， :1OA1=|AB=1,|BC1=2,.1AC1=5, [解]由已知条件得 ∠ACB=若， (a+3b)·(7a-5b)=0, :CA.CB=CA·CB·cos∠ACB=3·2 (a-4b)·(7a-2b)=0. 98 (7a2+16a·b-15b2=0 ① 即 7a2-30a·b+8b2=0 ② 答案：3 ②-①得23b2-46a·b=0, 题型 求向量的模 .2a·b=b2,代入①得a2=b2,∴.a=b, [例3]已知向量a、b满足|a=2,|b=3,a+b= 4,求a-b. ∴.cos0= a·b 1 [思路点拨]要求a一b,利用模长公式a一b abb22 √/a2-2a·b+b2,只需求2a·b即可. 0e[0,π]，0= 21· 数学·必修第二册 规律方法 当夹角0为π时，也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0, (1)通常用两向量垂直来列方程，达到化简条件或求 但此时夹角不是钝角， 值的目的 设2te1+7e2=入(e1十e2),入<0， (2)要求a与b的夹角，只要求出a、b及a·b即 [2t=λ， [=-14， a·b 则{7=λt, 14 故实数t的取值范围是 可.注意向量夹角范围.由c0s0=80(其中 <0, 1 a、b是非零向量，0为a与b的夹角)判定0的大 √14 小时，有五种可能情形：①当cos0=1时，0=0°： 2 2 ②当c0s0=0时，0=90°：③当cos0=-1时，0 规律方法 180°，④当cos00且cos0≠一1时，0为钝角；⑤当 1.求向量夹角时要注意： cos>0,且cos0≠1时，0为锐角， (1)当已知a,b是非坐标形式时，需求得a·b及a, ⊙[变式训练] |b或它们之间的关系； 4.已知a=2.b=1,a十b)L(a-b),求a与b (2)当已知a,b的坐标时，可直接利用公式求解， (3)注意夹角的范围为[0，π]. 的夹角大小 2.灵活应用a=a2,这给出了解决与模有关间题 解a+b1(ab: 的思路 ⊙[变式训练] .(a+b)·(a-zb -5b=0. 5.已知向量a,b,c,满足a十b十c=0,且a=3,|b 即aab号=0 =5,c=7. (1)求a与b的夹角0： .a2=a2=4,b2=b2=1, (2)是否存在实数：使ua十b与a一2b垂直？ 4-30os0-号=0.六os0=7 1 解：(1).a十b+c=0, ..a+b=-c,..a+b=cl, 又：9e[0,x].a与b的夹角0为于 .(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2, 题型五 数量积的综合应用 ∴a…b=c2-a2-b 2 [例5]设两个向量e1,e2满足|e1=2.e2|=1,向 =1c2-a2-b12=49-9-25_15 量e1与e2的夹角为60°，若向量2te1十7e2与e1十 2 2 te2的夹角0为钝角，求实数t的取值范围 又ab=ab1cms0 =3X5×cos0, 汇思路点拨] 首先根据夹角公式得出关于t的一元二次不等 ,即0=60. ..cos 0=1 式，然后解式后，注意两向量共线的情况 (2).(a+b)⊥(a-2b), [解]由向量2te1+7e2与e1十te2的夹角0为钝 .(a+b)·(a-2b)=0, ,得s0200 ∴.a2-2b2-2a·b+a·b=0, .(2te1+7e2)·(e1+te2)<0. ∴9g2X25-2a×号+9=05g= 85 2 化简得2f+15t+7<0,解得-7<1<- 1 ·存在以= 受发等2a十b与a一2h委克 课后。素养提升 对应学生课时P263 ● 基础过关 解析：C[①②③显然正确；(a·b)·c与c共线， 》 而a·(b·c)与a共线，故④错误；a·b是一实数， 1.给出以下五个结论①0·a=0;②a·b=b·a: 应该有|a·b≥a·b,故⑤错误.] ③a2=|a2;④(a·b)·c=a·(b·c);⑤a·b 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,则AB·AC 等于 ( ) ≤a·b,其中正确结论的个数为 ( A.-16 B.-8 C.8 D.16 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D ·22· 第六章平面向量及其应用 3.已知a,b方向相同，且a=2,b=4,则2a十3b= 10.已知向量a,b满足|a=1,b|=4,且a,b的夹角 ( 为60°. A.16 B.256 C.8 D.64 (1)求(2a-b)·(a+b): 解析：A[|2a+3b12=4a2+9b2+12a·b= (2)若(a十b)⊥(a-2b),求实数入的值. 16+144+96=256,.2a+3b=16.] 解：(1)由题意，得a·b=a·bcos60=1×4X 4.在△ABC中，AB=a,BC=b,且a·b>0,则 △ABC是 =2. ( ..(2a-b)·(a+b)=2a2+a·b-b2=2+2-16= A.锐角三角形 B.直角三角形 -12. C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 (2)(a+b)⊥(a-2b),∴.(a+b)·(a-2b)=0, 解析：D[由AB·BC>0知，BA·BC<0,即角B .a十（入-2）a·b-2b=0,.A+2(a-2)-32= 为钝角.门 0,.A=12. 5.(多选题)已向量a,b和实数入，下列选项中正确 11.设a=e,+2e,b=-3e+2e2,其中e1⊥e且e=e 的是 ( ) =1. A.lal2=a B.la·b=ab (1)求|a+b的值： C.(a+b)=a+b D.1a·b≤|a1bl (2)当k为何值时，ka十b与a-3b互相垂直. 解析：ACD[选项B中，a·b=|ab cos, 解析：(1)：a+b|2=（-2e1+4e)2=4e-16e,· 其中0为a与b的夹角.] e2+16e.又e1⊥e2,.e1·e2=0, 6.(多选题)已知两个非零向量a,b满足a十b=a一b, ∴.a+b12=20, 则下面结论错误的是 () .a+b=√20=2√5. A.a∥b B.a⊥b (2)由题知a2=(e1+2e2)2=5,b=(-3e1十2e)= C.al=b D.a+b=a-b 13,a·b=(e1+2e)·(-3e1+2e2)=1.若ka+b与 解析：ACD[由a十b=a-b|可得a·b=0,∴.a a-3b垂直，则(ka+b)·(a-3b)=ka2+(1-3k)a ⊥b,B正确.] ·b-3b=0,即5k+(1-3k)-3×13=0,解得k 7.一物体在力F的作用下沿水平方向由A运动至B, 已知AB=10米，F与水平方向的夹角为60°，|F= =19. 5牛顿，物体从A至B力F所做的功W 能力提升 》 12.(多选)定义：已知两个非零向量a与b的夹角为0. 解析：由物理知识知W=F·s=F·scos0= 我们把数量al bsin0叫做向量a与b的叉乘a× 5×10×c0s60°=25（焦耳）. b的模，记作a×bl,即a×b=al bsin0.则下列 答案：25焦耳 命题中正确的有 () 8.已知向量a,b满足(a+2b)·(5a-4b)=0,且a= A.若平行四边形ABCD的面积为4，则|ABX AD |bl=1.则a与b的夹角0为 =4 解析：因为(a+2b)·(5a-4b)=0,a=b=1,所 以a·b-8+5=0,甲ab=之又a…b=ab B在正△ABC中，若AD=|ABXAC|(AB+AC), m0=0s6,所以cs0=3,9c[0,0-子 则AD =3 BC3 C.若|a×b=√3，a·b=1,则a十2b的最小值为 答案： 23 9.已知在△ABC中，AB=AC=4,AB.AC=8,则 D.若a×b=1,b×c=2,且b为单位向量，则|a △ABC的形状是 ,AB·BC= ×c的值可能为2+2√3 解析：AB·AC=AB|AClcos∠BAC, 解析：ACD[对于A,因为平行四边形ABCD的面 即8=4X4os∠BAC.于是cos∠BAC-, 积为4，所以AB|·AD|sin∠BAD=4, 因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC=60°. 所以ABXAD=4,故A正确； 又AB=AC,故△ABC是等边三角形. 对于B,设正△ABC的边BC边上的中，点为E,则 此时AB.B元=|AB11BC1cos120°=-8. AB+AC=2 AE, 答案：等边三角形 -8 因为AD=|ABXAC|(AB+AC),所以AD=2AB ·23· 数学·必修第二册 ·|ACl sin60°AE=5BC2AE, 13.在△ABC中，设BC.CA=CA.A店. 所以AD V51BC12|AE到 √5AE (1)求证：△ABC为等腰三角形； BC3 BC3 BC 5× (2若B+C=2,B∈[登1，求M.0的取 3 值范围。 BC ，所以B错误； 解：(1)证明：因为BC·CA=CA·AB,所以(BC 对于C,因为a×b=√3，a·b=1,所以|ab sin(a,b>=√3，a·|bcos(a,b>=1, AB)·CA=0.又因为CA=-(AB+BC),所以 所以tan(a,b)=√5，因为(a,b)∈(0，π)，所以(a,b) (AB+BC)·(BC-AB)=O,所以AB=BC,即 =号，所以a·b=2, 1AB=BC,所以AB=BC,所以△ABC为 所以|a+2b2=|a12+4a·b+4|b2≥ 等腰三角形， 2√4·a2·b+4=12,当且仅当a=√2|b= 2时等号成立，所以a+2b|的最小值为2√5，所以 (2)因为B∈[5，]，所以c0sB∈【-22] C正确； 设AB1=BC1=a,由1BA+BC1=2,得1BA+ 对于D,若|a×b=1,|bXc=2,且b为单位向量， BC12=4,则有a2+a2+2 cos B=4,所以a2= 则当a=E,(a,b=平，c=4,b,e)=晋时，可 以等于ae=吾+晋瓷 B片以Bi,n-eo=年 此时laXc=|a·csin(a,c)=42x2+W⑥ 十0sB[-2,号1.故BA.C的取值范周 2 4 2十2√3，所以D正确.] 为[-2号] 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 课程标准 素养解读 1.理解平面向量基本定理及其意义. 通过学习平面向量的基本定理有关内容，重点培养学生 2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题， 的数学抽象，逻辑推理，数学运算素养。 课前。预习学案 对应学生用书P18 [情境引入] 问题给定两个非零向量e、e,(不共线)，平面内任 意向量a都能用e1、e2表示吗？ 七个音符谱出千支乐曲.26个字母写就百态文 提示可以表示. 章！在多样的向量中，我们能否找到它的基本音 如果e,2是同一平面内的两个不共线向量，那么对 符呢？ 于平面内的任一向量Q.存在唯一一对实数入1，入2，使 a=入1e1+入2e2. 享9 [知识梳理] [知识点]平面向量基本定理 1.定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对 实数入1、入2，使a=入1e1十入2e2 ·24·