6.2.3 向量的数乘运算（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章平面向量及其应用 6.2.3向量的数乘运算 课程标准 素养解读 1.掌握向量数乘的运算及其运算律 2.理解数乘向量的几何意义。 通过学习向量的数乘运算，重点 3.掌握共线向量的基本定理， 提升学生的逻辑推理和数学运算 4.熟练运用共线定理处理有关的共线向量问题. 素养. 5.理解直线的向量表示. 课前。预习学亲 [情境引入] ?思考2.数乘向量与数乘数的积有何不同？ 有一汽车从O出发，向西行进1秒后到达 A点，按照相同的速度，3秒后车在哪里？用 向量怎么表示？ a 知识点三]向量共线定理 C B A O 会 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯 问题类比情境，引入求a+a+a的结果，并 个实数入，使 说明其结果与a有怎样的关系？ ?思考3.若a=0,a与b共线吗？存在唯一实 数入使b=入a吗？ [知识梳理] [知识点一]向量数乘运算 预习自测门 实数入与向量a的积是一个 ,这种运 1.已知λ∈R,则下列命题正确的是 ( 算叫作向量的 ,记作 ,它的长 A.|λa|=λ|a B.|λa|=|λa 度方向规定如下： C.I入a|=|lal D.|λal>0 1.|aa|= 2.4(a-b)-3(a+b)-b等于 ( ) 2.当入>0时，aa的方向与a的方向 A.a-2b B.a 当入<0时，a的方向与a的方向 C.a-6b D.a-8b 3.当λ=0时，λa= 3.四边形ABCD中，若店-号式，则四边形 ?思考1.你能说出3a的几何意义吗？ ABCD是 () A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 [知识点二]数乘向量的运算律 4.已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1十 1.λ(4a)= 2e2和3e,十ke2共线，则实数k= 2.(λ+4)a= 5.已知□ABCD中，AB=a,AD=b,对角线 3.λ(a+b)= 特别地，有(-入)a=一（入a)= AC,BD交于点O,则OA= λ(a-b)= BO= ·11 数学·必修第二册 课堂。互动学案 题型 向量数乘的定文 ③λμ>0，a≠0时，a与ua的方向一定 [例1]已知a、b为非零向量，试判断下列各 相同； 命题的真假，并说明理由 ④u<0,a≠0时，Aa与a的方向一定 (1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模 相反 是a的模的2倍； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)一2a的方向与3a的方向相反，且-一2a 题型三 向量数乘的运算 的模是3a模的号倍； [例2] (3)-2a与2a是一对相反向量； 1D化简号[4a-3b)+号b-6a-7b]: (4)a-b与一(b-a)是一对相反向量 (2)(x+y)(a+b)-(x-y)(2a+b): [思路点拨]根据数乘运算的几何意义 (3)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求 判断： (3a-b小-a-号b+(2b-a. [思路点拨]此类问题只需利用向量数 乘、加法、减法的运算律化简即得结果 规律方法 对数乘向量的四点说明 (1)a的实数入叫作向量a的系数. (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a 的方向或a的反方向扩大或缩小. 规律方法 (3)当λ=0或a=0时，a=0.注意是0，而 向量的加法、减法以及数乘运算统称为向量 不是0. 的线性运算.形式上类似于实数加减法与乘 (4)向量的运算不满足消去律，不能除以一 法满足的运算法则，实数运算中去括号、移 个向量， 项、合并同类项等变形手段在向量的线性运 ◇[变式训练] 算中均可使用， 1.已知入，∈R,则在下列各命题中，正确的命 ◇[变式训练] 题有 ( ①入<0，a≠0时，a与a的方向一定相反； 2若2一9-e+b-)+b-0,其中a ②入>0，a≠0时，a与a的方向一定相同； c,b为已知向量，则未知向量y= ·12· 第六章平面向量及其应用 题型三共线向量的判断及其应用 题型四向量线性运算几何意义的应用 [例3]已知非零向量e1,e2不共线. [例4]如图所示，已知 欲使e1+e2和e,+ke,共线，试确定实数 △OBC中，点C是以点 的值。 A为对称中心的点B的 C [思路点拨了对于本题，若ke1十e2与e1 对称点，点D在线段，0 十ke2共线，则一定存在实数入，使be1十e2 OB上，OD=2DB,设OA=a,OB=b.用a =λ(e1+ke2). 和b表示向量OC,DC 汇思路点拨]结合已知和所求，联想相关 的运算法则和公式等，将所求向量反复分 拆，直到全部可以用已知向量表示为止. 规律方法 要证明向量a,b共线，只需证明存在实数 入，使得b=入a即可.应用共线向量定理可 规律方法 证明三点共线，两直线平行等几何问题证明 待表示的向量通常放在三角形或平行四边 三点共线，只需在三点中任意构造两个向 形中，利用向量的加法、减法、数乘的几何意 量，转证两个向量共线即可，证明两直线平 义向已知向量转化. 行，只需在两直线上构造两个向量，转证两 ⊙[变式训练] 个向量平行，并说明两直线不重合即可.另 4.如图，在梯形ABCD中，AB 一方面当已知两向量共线时应用该定理可 ∥CD,且AB=2CD,M、N分 以找到有关这两个向量的等量关系，为下 别是DC和AB的中点，若 步运算提供一个有利条件， AB=a,AD=b,试用a,b表 ◇[变式训练] 示BC和MN. 3.在四边形ABCD中，AB=a十2b,BC=-4a -b,CD=-5a-3b,其中a,b不共线， 求证：四边形ABCD为梯形. C温馨提西 学习至此，请完成课时作业(6.2.3) ·13预习自测 1.C2.D3.B4.0 5.解析：(1)原式=(AB+BE)-(CD+DE) -AE-CE=AE+EC=AC. (2)AB+DA+BD-BC-CA =(AB+BD)+DA-(BC+CA) =AD+DA-BA =-BA=AB. 课堂互动学案 [例1][解]如图所示，在平面内任取一点O,作OA=a,O =b,O元=c,0D=d. 则a-b=BA,c-d=DC [例2][解](1)原式=NP+MN-Mp=Np+PN=N -n=0. (2)原式=AB-CD-AC+BD =(AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC=0. [例3][解](1)OB=b,OD=d, :AD-AB=BD=OD-OB=d-b. (2).OA=a,OB=b,OC=c,OF=f, ..AB+CF=(OB-OA)+(OF-OC) =b+f-a-c. (3).OD=d.OF=f, :.BF-BD-DF-OF-OD-f-d. 变式训练 1.[解]在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c. 由向量加法的平行四边形法则得OD=a十b; 由向量的减法法则得C市=O市-O心=a十b-c. 所以CD就是所要求作的向量a十b一c(如图所示). D a+b a b 0 B c atb-c 2.[(1)(BA-BC)-(ED-EC) -CA-CD-DA. (2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB) -AC+BA-DC+(DO+OB) =AC+BA-DC+DB -BC-DC+DB-BC+CD+DB -BC+CB-0. 参考答案 3.解：在△A0D中，O币=OA+AD. 在△BOC中，BC=OC-OB 又：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC, ..OD=OA+OC-OB=q+c-b. 6.2.3向量的数乘运算 课前预习学案 情境引入 提示a十a十a=3a,3a与a方向相同，且长度是a长度的 3倍 知识梳理 一、向量数乘入a 1.入a2.相同相反 3.0 二、l.(au)a2.Aa+ua3.入a十λbA(-a)Aa-Ab 三、b=λa [思考] 1.提示：向量3a的几何意义是将表示向量a的有向线段在原 方向上伸长为原来的3倍， 2.提示：数乘向量入a仍是向量，既有大小，又有方向，与向量a 共线；而实教的乘积仍是实数，只有大小，没有方向， 3.提示：若a=0,则a与b共线 当b卡0时，不存在入使b=入a,当b=0时，存在无数个实数 A使b=λa. 预习自测 1.C2.D3.B 4.解析：：be1十2e2和3e1十ke2共线， ∴.存在实数A,使得ke1十2e2=A(3e1十ke2). .ke1+2e2=3e1+kλe2, k=3入， 解得k=士√6. (2=k入， 答案：士√6 5.解析：如图： OA=号CA=号(c+BA=(-a-b). 0=D=2(A-A)=2(b-. 2 答案：2(-a-b)(b-a) 187· 数学·必修第二册 课堂互动学案 [例1][解](1)真命题.，2a=a十a与a方向相同，且|2a =a十a=a十a=2a. (2)真命题.：一2a=(-a)十(-a)与-a同方向，3a=a十a十a 与a同方向，由于-a与a反方向，故一2a与3a反方向， 又：-2a=2a,3a=3a,所以-2a的模是30模的号倍. (3)真命题.-2a十2a=(-2十2)a=0.故-2a与2a是- 对相反向量 (4)假命题.·一(b-a)与b一a是一对相反向量，a一b与b 一a是一对相反向量，∴.一(b-a)与a一b是相等向量. [例2)[解]1原式=号(a-3b+号6昌a+子b) =号[(-是)加+(-3+号+子)] =号（受a)-号a-b, (2)原式=[(x十y)-2(x-y)]a十[(x+y)-(x-y)]b =(3y-x)a+2b. （3)原式=号a-b-a+号6+2b-a =(3-1-)+(1+号+2) 5 =-号(3+2)+号(2-》 =(5+号)+（号-号力 [例3][解]：ke1十e2与e1十e,共线， ∴.存在实数入，使e1十e2=A(e十e2), 则(k-A)e1=(ak-1)e2, 由于e与6不共线，只能有-=0 ∴k=±1. λk-1=0, [例4幻[解]由已知，点A是BC的中点， 则0=之Oi+0C).从而0心-20A-0i=2a-b, 又0D=2DB,所以OD=号O成=号b, -0元-0币-2a-b-号b=2a-号6. 变式训练 1.D[由入与向量a的积Aa的方向规定，易知①②正确，对于 命题③④，当>0时，入，以同正或同负，∴0与ua或者都 与a同向，或者都与a反向.a与a同向，当<0时.则 入与h异号，与a中，一个与a同向，一个与a反向，.a 与0反向，故③④也正确.] ·18 2.解析：2(-3a）厂(c+b-3)+b=0 ∴(2+多)小少-子a+(2+1)b-2=0 7 2 4 答案：=员a-6十7c 4 3.证明：AD=AB+BC+CD =(a十2b)+(-4a-b)+(-5a-3b) =-8a-2b =2(-4a-b) =2BC .AD=2BCAD∥BC且AD=2BC .四边形ABCD为梯形. 4,解：方法一：连接CV. :AN∥DC,且AN=DC=AB ∴.四边形ANCD为平行四边形， :.CN=-AD=-6. CN+NB+BC-0, .BC--NB-CN-b-4, MN-CN-CM-CN+7AN-10-6. 方法二：在梯形ABCD中，有AB+BC+CD+DA=0 即a+B元+(）十(-b)=0,可得B元-b2a, 在四边形ADMN中，有AD+DM+MN+NA=0, 即b+子a+不+(a）-0,可得m=子a- 6.2.4向量的数量积 课前预习学案 情境引入 提示由力和位移两个向量来确定，功可以看作力F和位 移、这两个向量的某种运算结果。 知识梳理 一、1.∠AOB2.同向反向a⊥b3.零向量 二，a·b=a|bcos9 三、投影向量 五l.a…b=02.a1b-ab3.a4.a6 a·b 5.≤ 六、1.b·a2.λ(a·b)a·(λb)3.a·c十b·c 8