6.2.3 向量的数乘运算（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 能力提升 13.在平行四边形ABCD中，已知AB=a,BC=b,BD 12.八卦是中国古老文化 =c,且a+bl=|a-b|,la=6,b|=2√3. 的深奥概念，其深邃 求a-b-c. 的哲理解释了自然、 社会现象.如图1所 解：a十b=AC,a-b=DB,a+b=|a-b, 示的是八卦模型图， 图2 其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其 故|AC=|BD|,故平行四边形ABCD是矩形， 中O为正八边形的中心，则OA一ED= ( 1a=6,b=25,|AC=BD1=√/36+12=45， A.OD B.DO C.DA D.AD a-b-c=AB-BC-BD=AB-AD+DB=DB 解析：B[OA-ED=EO-ED=DO.] +DB=2DB,∴.|a-b-el=8√5. 6.2.3 向量的数乘运算 课程标准 素养解读 1.掌握向量数乘的运算及其运算律. 2.理解数乘向量的几何意义. 通过学习向量的数乘运算，重点提升学生的逻 3.掌握共线向量的基本定理。 辑推理和数学运算素养 4.熟练运用共线定理处理有关的共线向量问题， 5.理解直线的向量表示. 课前。预习学案 对应学生用书P11 [情境引入] [知识点二] 数乘向量的运算律 有一汽车从O出发，向西行进1秒后到达A,点， 1.(4a)=()a; 按照相同的速度，3秒后车在哪里？用向量怎么 2.(入+u)a=入a十a; 表示？ 3.入(a+b)=λa+λb. a 6 特别地，有(-入)a=-(入a)=入（一a): C B A 0 A(a-b)=入a-入b, 问题类比情境，引人求a十a十a的结果，并说明其 ?思考2.数乘向量与数乘数的积有何不同？ 结果与a有怎样的关系？ 提示a十a十a=3a,3a与a方向相同，且长度是a 提示：数乘向量入a仍是向量，既有大小，又有方 长度的3倍. [知识梳理] 向，与向量a共线；而实数的乘积仍是实数，只有 [知识点一]向量数乘运算 大小，没有方向 实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向 [知识点三]向量共线定理 量的数乘，记作入a,它的长度方向规定如下： 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 1.|λa=λa; 入，使b=入a, 2.当A>0时，入a的方向与a的方向相同： 当入<0时，入a的方向与a的方向相反， ?思考3.若a=0,a与b共线吗？存在唯一实数入 3.当入=0时，入a=0. 使b=入a吗？ 2思考1.你能说出3a的几何意义吗？ 提示：若a=0,则a与b共线. 提示：向量3a的几何意义是将表示向量a的有向 当b≠0时，不存在入使b=入a,当b=0时，存在 线段在原方向上伸长为原来的3倍. 无数个实数入使b=入a. ·14· 第六章平面向量及其应用 [预习自测] 解析：，e1+2e2和3e1+e2共线， 1.已知入∈R,则下列命题正确的是 ∴.存在实数入，使得ke1十2e2=入(3e1十ke2). A.|xa=λa B.aa=入a .ke1+2e2=3λe1+be2, C.|入a=a|a D.lλa|>0 k=3入， 答案：C 2= 解得=士√6. 2.4(a-b)-3(a+b)-b等于 答案：土√6 A.a-2b B.a C.a-6b D.a-8b 答案：D 5.已知□ABCD中，AB=a,AD=b,对角线AC,BD 3四边形ABCD中，若A店=}元，则四边形ABCD是 交于点O,则0A BO= 解析：如图：O=号Ci=司 A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 Ci+BA)=}(-a-b). 答案：B B0-号-2(A-)=2b-a. 4.已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke,十2e2和 3e1十ke2共线，则实数= 答案：2（-a-b)b-a) 课堂。互动学案 对应学生用书P12 题型一 向量数乘的定义 规律方法 [例1]已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的 对数乘向量的四点说明 真假，并说明理由. (1)a的实数入叫作向量a的系数. (1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模 (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向 的2倍； 或a的反方向扩大或缩小， (2)一2a的方向与3a的方向相反，且一2a的模是 (3)当入=0或a=0时，a=0.注意是0，而不是0. 3a模的号倍； (4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量： (3)-2a与2a是一对相反向量； ⊙[变式训练] (4)a-b与-(b-a)是一对相反向量 1.已知入，∈R,则在下列各命题中，正确的命题有 [思路点拔根据数乘运算的几何意义判断。 [解](1)真命题..'2a=a十a与a方向相同，且 ①入<0，a≠0时，a与a的方向一定相反； 2a=a+a=|a+a=2a. (2)真命题..-2a=(-a)+(-a)与-a同方向， ②λ>0，a≠0时，a与a的方向一定相同； 3a=a十a十a与a同方向，由于-a与a反方向，故 ③入>0，a≠0时，da与a的方向一定相同； -2a与3a反方向， ④入u<0,a≠0时，a与ua的方向一定相反， 又，|-2a=2a,3a=3a,所以-2a的模是 A.1个B.2个C.3个D.4个 30模的号倍。 解析：D[由入与向量a的积入a的方向规定，易知 ①②正确，对于命题③④，当入4>0时，入，4同正或 (3)真命题.，-2a+2a=(-2+2)a=0.故-2a 与2a是一对相反向量. 同负，∴.a与ua或者都与a同向，或者都与a反 (4)假命题.，-(b一a)与b-a是一对相反向量，a 向..a与a同向，当u<0时.则入与4异号， 一b与b-a是一对相反向量，∴.一(b-a)与a-b 与a中，一个与a同向，一个与a反向，.a与ua 是相等向量 反向，故③④也正确.] ·15· 数学·必修第二册 题型二 向量数乘的运算 [思路点拨]对于本题，若ke,十e2与e1十be2共 [例2] 线，则一定存在实数入，使be1十e2=入(e1十ke2). 1)化简[4a-3b)+号b-子(6a-7b)]: [解]，ke1十e2与e1十be2共线， (2)(x+y)(a+b)-(x-y)(2a+b); .存在实数入，使e1十e2=入(e1十be2), 则(k-入)e1=(入k-1)e2, (3)设向量a=3i+2,b=2i-j,求3a-b 由于e与e,不共线，只能有-0：k=士1. (a-+2b-a 入k-1=0, 规律方法 [思路点拨]此类问题只需利用向量数乘、加法 要证明向量a,b共线，只需证明存在实数入，使得b 减法的运算律化简即得结果 =入a即可.应用共线向量定理可证明三点共线，两 [解]1原式-号a-3b+号0 直线平行等几何问题证明三点共线，只需在三点中 任意构造两个向量，转证两个向量共线即可，证明两 -[4)a+(3+3+)] 直线平行，只需在两直线上构造两个向量，转证两个 向量平行，并说明两直线不重合即可.另一方面当已 知两向量共线时应用该定理可以找到有关这两个向 (2)原式=[(x十y)-2(x-y)]a十[(x+y)-(x 量的等量关系，为下一步运算提供二个有利条件. y)]b ◇[变式训练] =(3y-x)a+2b. 3.在四边形ABCD中，AB=a+2b,BC=-4a-b, (3)原式=3-ba+号b+2b-。 CD=-5a-3b,其中a,b不共线. -(3-1-1a+(-1+号+2b 求证：四边形ABCD为梯形 证明：AD=AB+BC+CD 5 =(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b) =-8a-2b 号(3+2i》+号(2i-》 =2(-4a-b) =(5+9)+(9月 =2BC 高-. ∴.AD=2BC.∴.AD∥BC且|AD=2BC = ∴.四边形ABCD为梯形 规律方法 题型四向量线性运算九何意义的应用 向量的加法、减法以及数乘运算统称为向量的线性 [例4幻如图所示，已知△OBC 运算.形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算 中，点C是以点A为对称中 法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形 心的点B的对称点，点D在 手段在向量的线性运算中均可使用， 线段，OB上，OD=2DB,设 ◇[变式训练] OA=a,OB=b.用a和b表01 2.若2(-）-2e+b-3)+b=0,其中a,cb 示向量OC,DC. 为已知向量，则未知向量y= [思路点拨]结合已知和所求，联想相关的运算 解折：2〔y日0)e+b-)+b=0 1 法则和公式等，将所求向量反复分拆，直到全部可 以用已知向量表示为止： (2+)号a+(+1bc=0 [解]由已知，点A是BC的中点， 7 2 2y=39 一2 则0A=20B+0C),从0d=20-0店=2a 41 1 y=27a-7b+7c. b,又OD=2DB,所以O币=号OB=号b, 31 Dc=O元-OD=2a-b 号6=2a-号 题型共线向量的判断及其应用 规律方法 [例3]已知非零向量e1,e2不共线. 待表示的向量通常放在三角形或平行四边形中，利用 欲使ke,+e2和e十e2共线，试确定实数k的值. 向量的加法、减法、数乘的几何意义向已知向量转化. ·16· 第六章平面向量及其应用 ◇[变式训练] ÷BC=-NB-CN=b-2a, 4.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD, 且AB=2CD,M、N分别是DC和 MN-CN-CM-CN+2AN-i4-b. AB的中点，若AB=a,AD=b,试 方法二：在梯形ABCD中，有AB+BC+CD+DA 用a,b表示BC和MN 三0， 解：方法一：连接CN. :AN∥DC,且AN=DC=2 即a+成+(2)十(-b)=0.可得B武=b-号 AB,.四边形ANCD为平行四 a,在四边形ADMN中，有AD+DM+MN+NA 边形，∴.CN=-AD=-b. .CN+NB+BC=0, 即+a+M示+(-0.可得派=ab 课后⊙素养提升 对应学生课时P261 基础过关 4.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的 1.下列各式计算正确的个数是 ( 点，且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,则AD+ ①(-7)×6a=-42a;②a-2b+2(a+b)=3a;③a BE+CF与BC ( +b-(a+b)=0. A.反向平行 B.同向平行 A.0 B.1 C.2 D.3 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解析：C[根据向量数乘的运算律可验证①②正 解析：A[由AC-AD=2(AD-AB),得AD= 确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍 为一个向量，而不是实数.] C+成同理可得，酝=专C+号所.C示 2.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD= =}+号Ci,所以+B正+CF-}成，故 2DB,CD=CA+xCB,则x等于 选A. 3 5.(多选题)已知a,b是两个非零向量，在下列四个条 A.3 c方 D. 件中，一定能使a,b共线的是 ( A.2a-3b=4e且a+2b=-2e 解析：B [A,B,D三点共线号十X=1,以 B.存在相异实数入，以，使a一b=0 C.2a十b=0(其中实数x,y满足x十y=0) D.已知在梯形ABCD中，AB=a,CD=b 3.下列各组向量中，能推出a∥b的是 解析：AB[由2a-3b=-2(a+2b)得b=-4a, ①a=-3e,b=2e;②a=e,-e,b=e+e 2 -e1;③a 故A正确；由a-b=0,得a=b,故B正确；若 x=y=0,20+b=0,且b与a不一定共线，故C =e1-6,b=e,+e,+e十e2 2 错误；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故 A.① B.①② C.②③ D.①②③ D错误.] 6.(多选题)已知e1,e2是不共线的向量，下列向量a, 解析：B[①中，a=二b,所以a∥b;②中，b与 b共线的有 :-6,=2=-3,所以a/b:中，b A.a=e,b=-2e2 2 2 B.a=e1-3e2,b=-2e1+6e2 30士-号6十e,若e与e美线.则a与b 2 C.a-se-e.b2ee 共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线.] D.a=e1+e2,b=e1-3e2 ·17· 数学·必修第二册 解析：BC[因为e1,e2是不共线的向量， 所以e1,e2都不是零向量. NP=mA店音C.又N店-NC+C店=aC A.若a与b共线，则e1,2共线，这与已知矛盾，所 +(A店-AO=店-}AC,设N炉=N店，剩AA店 以a与b不共线. B.因为b=-2e1+6e2=-2(e1-3e2)=-2a, AC-mA店-是ACm=X=是 所以a与b共线. 11.(1)设a,b是两个不共线的向量，已知AB=3a C.周为b=20,-=号30-)=号. 2b,BC=-2a十4b,CD=-2a-4b,试判断A,C, 所以a与b共线. D三点是否共线： D.若a与b共线，则存在实数入∈R,使a=b, (2)在四边形ABCD中，AB=a+2b,BC=3a 即e,十e2=入(e1-3e2), 所以(1-入)e,+(1+3入)e2=0. 2b,BD=2a一4b,证明：四边形ABCD为平行四 因为e1,e2是不共线向量， 边形， 所以一入=0，所以入不存在， 解析：(1)AC=AB+BC=(3a-2b)+(-2a+ 1+3λ=0， 4b)=a+2b,又CD=-2a-4b=-2(a+2b), 所以a与b不共线.] 7.已知x,y是实数，向量a,b不共线，若(x十y-1)a ∴.CD=-2AC,.CD与AC共线.又CD与AC有 +(x一y)b=0,则x= 公共点C,故A,C,D三点共线 y= 解析：由巴知得{十)二司0，解得x=y日 (2)证明：AD=AB+BD=(a+2b)+(2a-4b) (x-y=0 =3a一2b=BC,又A,B,C,D四点不共线，.四边 答案日司 形ABCD是平行四边形. 8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD= 能力提升 之AB,BE=号BC.若A店=a,AC=b,则D正 12.如图所示，设M,N为△ABC (用a,b表示). 内的两点，且Ai=A话十 M 解析：DE-D店+B正=A店+号BC-号A店+ 吉C,不-号+宁花，则 号-0)=-君不+号C- △ABM的面积与△ABN的面积之比为 31 答案：一日a十号0 解析：如图所示，设AP=1 4 ,点C在线段AB上，且5号则 A店，AQ-子Ac. AB,BC= 则AM=AP+AQ.由平行四 AB. 边形法则知，MQ∥AB, 解析：设AC=3k(k>0),则CB=2k,.AB=5k, a花-是，成=号成. &3wMAQ3,同理=1·S△4 SAABC 2 ACI 答案：号 答案：2：3 10.如图，在△ABC中，A-青 13.设a,b,c为非零向量，其中任意两向量不共线，已 知a十b与c共线，且b十c与a共线，则b与a十c NC,P是BN上的一点，若 是否共线？请证明你的结论 Ai=mA店+号AC求实数 解：b与a十c共线.证明如下：，a十b与c共线， .存在唯一实数入，使得a十b=c.① m的值 ,b十c与a共线，∴存在唯一实数以，使得b十c= 解析：AP=AN+NP=AC+NP ua.②由①-②得，a-c=λc-ua.∴.(1十u)a=(1 十)c.又：a与c不共线，.1十=0,1十入=0， mAB+号AC, =-1,λ=-1，.a十b=-c,即a+b十c=0. .a十c=-b.故a十c与b共线. ·18·