6.2.2 向量的减法运算（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章平面向量及其应用 规律方法 求证：PA+PB+PC+PD=4PO. 用向量方法证明几何问题，首先要把几何问 题中的边转化成相应的向量，通过向量的运 算及其几何意义得到向量间的关系，然后再 还原成几何问题 ⊙[变式训练] 3.如图，在平行四边形AB CD中.对角线AC与BD 交于O点，P为平面内任意 C温馨提污 一点. 学习至此，请完成课时作业(6.2.1) 6.2.2向量的减法运算 课程标准 素养解读 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则. 通过本节向量减法的学习，重点 2.掌握向量减法的几何意义.能熟练进行向量的加、减 培养学生的逻辑推理，数学运算 运算. 素养 课前。预习学案 [情境引入] 4.若a与b互为相反向量，则a= b= 如图所示，两个班级举行 ,a+b= 一项热身运动：拔河比赛 ?思考模相等的向量是相反向量吗？相反 如果一方的力记为F,另 向量是共线向量吗？ 方的力记为F2: 问题那么它们的合力的大小是多少？方向 如何？ [知识点二]向量的减法 1.定义：a-b=a十 ,即减去一个向量相 当于加上这个向量的 2.向量减法是向量加法的逆 [知识梳理] 运算」 [知识点一]相反向量 设x十b=a,则x=a-b, 与a长度 ,方向 的向量，叫作 如图，设OA=a,OB=b. a的相反向量. 由向量加法的三角形法则可知 1.规定：零向量的相反向量仍是 2.-(-a)= OA=OB+BA, 3.a+(-a)= 则BA=OA-OB=a-b. ·7。 数学·必修第二册 3.几何意义：以O为起点，作 [预习自测灯 向量OA=a,OB=b,则 6 1.设b是a的相反向量，则下列说法一定错误 =a一b,如图所 的是 L 示，即a一b可表示从向量 的终点 A.a与b的长度相等 指向向量 的终点的向量 B.a∥b C.a与b一定相等 [知识点三]非零向量a,b的差向量的三角 D.a是b的相反向量 不等式 2.下列等式：①0一a=-a;②一(-a)=a;③a+ 1.当a,b不共线时， (-a)=0;④a+0=a;⑤a-b=a+(-b);⑥a 如图①，作OA=a,OB=b, 6 -a=0. 则a-b=OA-OB= 正确的个数是 ( 2.当a,b同向时， A.3 B.4 C.5 D.6 若a|>|b1,则a一b与a,b同向（如图②）， 3.如图所示，在□ABCD中，AB=a,AD=b, a 则用a、b表示向量AC和BD分别是( O bB a-bA ② A.a+b和a-b 于是|a-bl=a-|b B.a+b和b-a 若a<|b,则a一b与a,b反向（如图③）， C.a-b和b-a b D.b-a和b+a 0 aA a-bB ③ 4.AB+BC-AC= 于是a-b=|b|-|al. 5.化简：(1)(AB-CD)+(BE-DE).(2)AB 3.当a,b反向时，a一b与a同向，与b反向.于 +DA+BD-BC-CA 是|a-b|=a+b(如图④). a-b Bb o a A ④ 4.可见，对任意两个非零向量，总有下列向量 不等式成立： 1Ia|-Ib|≤|a-b|≤|a+|bl. 说明：①若a、b至少有一个为零向量时，向 量不等式的等号成立 ②由于|a-Ib|≤|a+b|≤|a+Ibl,将 b代入b得： 1a|-|-bl≤la-bl≤|a|+Ibl, 即|a|-|bl≤|a-b|≤|a+|b1. ·8· 第六章平面向量及其应用 课堂。互动学案 题型一 向量减法法则的应用 ◇[变式训练] [例1]如图所示，已知向量a、b、c、d,求作向 1.如图所示，已知向量a,b,c,求 a 量a-b,c-d. 作向量a十b一c. [思路点拨]利用减法的几何意义作图. 题型三 向量减法的运算 [例2] 化简下列式子： (1)NQ-PQ-NM-MP: (2)(AB-CD)-(AC-BD)」 汇思路点拨]利用向量减法的运算律进行 化简 规律方法 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a、b,如图①所示.作OA=a, OB=b,利用向量减法的三角形法则可 得a一b,利用此方法作图时，把两个向 量的起点放在一起，则这两个向量的差 是以减向量的终点为起点，被减向量的 规律方法 终点为终点的向量 化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算 1-b 的直接运算，不能运算的去掉括号 0 a a+(-b) (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利 ⊙ @ 用三角形法则进行化简. (2)利用相反向量作图，通过向量求和的平 (3)化简向量的差时注意共起点、由减数向 行四边形法则作出a一b.如图②所示， 量的终点指向被减数向量的终点· 作OA=a,OB=b,AC=-b,则OC=a+ [特别提醒]利用图形中的相等向量代入、 (-b),即BA=a-b. 转化是向量化简的重要技巧， ·9 数学·必修第二册 ⊙[变式训练] 规律方法 2.化简： (1)解决此类问题应搞清楚图形中的相等向 (1)(BA-BC)-(ED-EC); 量、相反向量、平行向量以及构成三角形 (2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB). 三向量之间的关系，确定已知向量与被 表示向量的转化渠道。 (2)通过表示向量的有向线段的字母符号运 算来解决问题时，运算过程中，将“一”改 为“十”，只需把表示向量的两个字母的顺 序颠倒一下即可，如“一AB”改为“十BA” ◇[变式训练] 3.如图，已知O为平行四边 形ABCD内一点，OA=a,B OB=b,OC=c,求OD. 题型向量加法、减法的综合运算 [例3]如图所示，已知OA=a, 0B=b,0元=c,0D=d,0E =e,OF=f,试用a,b,c,d, e,f表示： (1)AD-AB;(2)AB+CF;(3)BF-BD. 汇思路点拨]寻找图形中已知向量与所表 示向量的关系，再灵活运用三角形或平行 四边形法则表示即可. C温馨提 学习至此，请完成课时作业(6.2.2) ·10数学·必修第二册 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 课前预习学案 情境引入 提示1，这涉及到向量的合成问题.即向量的加法 2.体现了两个向量的加法运算。 知识梳理 一1.两个向量和2.(1)ACa+bAC0a(2)O元 [思考] 1.提示：两个向量相加，和向量还是一个向量，通过三角形法则 或平行四边形法则可得和向量，两个向量的模相加，其和是 一个实数，不是一个向量. 2.提示：AB+CA+BC=AB+BC+CA=AC+CA=0,故结果 是0. 预习自测 1.C2.D3.B4.√13 5.解：(1)a+d=d+a=D0+OA=DA: (2)c+b=CO+OB=CB; (3)e+c+b=e+(c+b)=e+CB=DC+CB-DB: (4)c+f+b=CO+OB+BA=CA. 课堂互动学案 [例1][解](1)在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,再 作向量OB,则OB=a十b. B atb b (2)在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,再作平行OB的 AC=b,连接BC,则四边形OACB为平行四边形，OC=a十b. ) atb [例2][解](1)由图知，OABC为平行四边形， ..OA+OC=OB. (2)由图知BC=FE=OD=AO ..BC+FE=AO+OD=AD. (3)0D=FE. ..OA+FE=OA+OD. 又OA=D0,∴.OA+FE-D0+OD=0. ·18 [例3]证明：四边形ABCD是平行四边形， ..DA CB. ..DA=CB. 又DF=BE且DF与BE共线， .FD=BE. .FD+DA=BE+CB. 即FA=CE ..FALCE. ,.四边形AECF是平行四边形， 变式训练 1.解：在平面内任取一点0，作OA=a,AB=b,BC=c,如图，则 由向量加法的三角形法则，得OB=a十b,O心=a十b十c. 09 a+b+c C /C A 6B 2.解：(1)CD+BC+AB=(AB+BC)+CD =AC+CD=AD】 (2)AB+DF+CD+BC+FA-(AB+BC)+(CD+DF)+ FA=AC+CF+FA=AF+FA=0. 3.证明：PA+PB+PC+p方 =PO+OA+PO+OB+PO+OC+PO+OD =4P6+(OA+OB+O元+Oi) =4PO+(OA+OC)+(OB+OD) =4P6+0+0=4PO. ..PA+PB+PC+PD=4 PO. 6.2.2向量的减法运算 课前预习学案 情境引入 提示设F>F2,合力大小为F1-F2=F- F,,方向与力F的方向一致 知识梳理 相等相反 一、1.零向量2.a3.(-a)十a04.-b-a0 二、1.(-b)相反向量3.BAba 三、1.BA [思考] 提示：由相反向量定义可知，模相等的向量不一定是相反向 量，相反向量是共线向量 36 预习自测 1.C2.D3.B4.0 5.解析：(1)原式=(AB+BE)-(CD+DE) -AE-CE=AE+EC=AC. (2)AB+DA+BD-BC-CA =(AB+BD)+DA-(BC+CA) =AD+DA-BA =-BA=AB. 课堂互动学案 [例1][解]如图所示，在平面内任取一点O,作OA=a,O =b,O元=c,0D=d. 则a-b=BA,c-d=DC [例2][解](1)原式=NP+MN-Mp=Np+PN=N -n=0. (2)原式=AB-CD-AC+BD =(AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC=0. [例3][解](1)OB=b,OD=d, :AD-AB=BD=OD-OB=d-b. (2).OA=a,OB=b,OC=c,OF=f, ..AB+CF=(OB-OA)+(OF-OC) =b+f-a-c. (3).OD=d.OF=f, :.BF-BD-DF-OF-OD-f-d. 变式训练 1.[解]在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c. 由向量加法的平行四边形法则得OD=a十b; 由向量的减法法则得C市=O市-O心=a十b-c. 所以CD就是所要求作的向量a十b一c(如图所示). D a+b a b 0 B c atb-c 2.[(1)(BA-BC)-(ED-EC) -CA-CD-DA. (2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB) -AC+BA-DC+(DO+OB) =AC+BA-DC+DB -BC-DC+DB-BC+CD+DB -BC+CB-0. 参考答案 3.解：在△A0D中，O币=OA+AD. 在△BOC中，BC=OC-OB 又：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC, ..OD=OA+OC-OB=q+c-b. 6.2.3向量的数乘运算 课前预习学案 情境引入 提示a十a十a=3a,3a与a方向相同，且长度是a长度的 3倍 知识梳理 一、向量数乘入a 1.入a2.相同相反 3.0 二、l.(au)a2.Aa+ua3.入a十λbA(-a)Aa-Ab 三、b=λa [思考] 1.提示：向量3a的几何意义是将表示向量a的有向线段在原 方向上伸长为原来的3倍， 2.提示：数乘向量入a仍是向量，既有大小，又有方向，与向量a 共线；而实教的乘积仍是实数，只有大小，没有方向， 3.提示：若a=0,则a与b共线 当b卡0时，不存在入使b=入a,当b=0时，存在无数个实数 A使b=λa. 预习自测 1.C2.D3.B 4.解析：：be1十2e2和3e1十ke2共线， ∴.存在实数A,使得ke1十2e2=A(3e1十ke2). .ke1+2e2=3e1+kλe2, k=3入， 解得k=士√6. (2=k入， 答案：士√6 5.解析：如图： OA=号CA=号(c+BA=(-a-b). 0=D=2(A-A)=2(b-. 2 答案：2(-a-b)(b-a) 187·