6.2.2 向量的减法运算（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 6.2.2向量的减法运算 课程标准 素养解读 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则. 通过本节向量减法的学习，重点培养学生的逻 2.掌握向量减法的几何意义.能熟练进行向量的加、减 辑推理，数学运算素养. 运算. 课前。预习学案 对应学生用书P7 ● [情境引入] [知识点三]非零向量a,b的差向量的三角不等式 如图所示，两个班级举行一项热 1.当a,b不共线时， 身运动：拔河比赛， 如图①，作0A=a,OB=b. 如果一方的力记为F1,另一方的力 则a-b=OA-OB=BA. 记为F2· 问题那么它们的合力的大小是多少？方向如何？ 2.当a,b同向时， 提示设F1>|F21,合力大小为F|-F2||= 若a>b,则a-b与a,b同向（如图②）， |F|一F2,方向与力F的方向一致. O bB a-bA [知识梳理] © [知识点一]相反向量 于是|a-b=a|-b 与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反 若a<b,则a-b与a,b反向（如图③）， 向量. b 1.规定：零向量的相反向量仍是零向量； 0 aA a-bB ③ 2.-(-a)=a; 于是|a-b=b-a. 3.a+(-a)=(-a)+a=0: 3.当a,b反向时，a一b与a同向，与b反向.于是a 4.若a与b互为相反向量，则a=-b,b=一a,a十b=0. b=|a+b|(如图④). 2思考 模相等的向量是相反向量吗？相反向量 a-b Bb O aA 是共线向量吗？ ④ 提示：由相反向量定义可知，模相等的向量不一定 4.可见，对任意两个非零向量，总有下列向量不等式 是相反向量，相反向量是共线向量 成立： [知识点二]向量的减法 1la-|b1≤a-b≤a+|bl. 1.定义：a一b=a十（一b),即减去一个向量相当于加 说明：①若a、b至少有一个为零向量时，向量不等 上这个向量的相反向量。 式的等号成立， 2.向量减法是向量加法的逆 ②由于a-|b≤a十b≤a+b,将-b代入b得： 运算 a -b a-|-b|≤a-b|≤a+|bl, 设x十b=a,则x=a一b,如图， 即|a-|b≤|a-b≤|a+|bl. 设0A=a,OB=b. b [预习自测] 由向量加法的三角形法则可知 1.设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是 OA=OB+BA, 则BA=OA-OB=a-b. A.a与b的长度相等 3.几何意义：以O为起点，作向量OA B.a∥b =a,OB=b,则BA=a-b,如图所 b C.a与b一定相等 示，即a一b可表示从向量b的终点 D.a是b的相反向量 指向向量a的终点的向量. 0 答案：C ·10· 第六章平面向量及其应用 2.下列等式：①0-a=一a;:②一(-a)=a;③a十( 4.AB+BC-AC a)=0;④a+0=a;⑤a-b=a+(-b);⑥a-a=0. 答案：0 正确的个数是 5.化简：(1)(AB-CD)+(BE-DE).(2)AB+DA+ A.3 B.4 C.5 D.6 答案：D BD-BC-CA 3.如图所示，在□ABCD中，AB 解析：(1)原式=(AB+BE)一(CD+DE) a,AD=b,则用a、b表示向量 b =AE-CE=AE+EC-AC. AC和BD分别是 ( (2)AB+DA+BD-BC-CA A.a+b和a-b B.a+b和b-a =(AB+BD)+DA-(BC+CA) C.a-b和b-a D.b-a和b+a =AD+DA-BA 答案：B =一 BA=AB. 课堂。互动学案 对应学生用书P9 题型 向量减法法则的应用 ◇[变式训练] [例1]如图所示，已知向量a、b、c、d,求作向量a 1.如图所示，已知向量a,b,c,求作向量a十b一c b,c-d. L [思路点拔]利用减法的几何意义作图 [解]在平面内任取一点O,作OA atb -a,OB-b,OC-c. [解]如图所示，在平面内任取 6 B 由向量加法的平行四边形法则 a+b-c -点O,作OA=a,OB=b,OC= 得OD=a+b; c,OD=d. 则a-b=BA,c-d=DC 由向量的减法法则得CD=OD-O心-=a+b-c. 规律方法 所以CD就是所要求作的向量a十b一c(如图所示). 利用向量减法进行几何作图的方法 题型二 向量减法的运算 (1)已知向量a、b,如图①所示.作OA=a,OB=b,利 [例2]化简下列式子： 用向量减法的三角形法则可得a一b,利用此方 (1)NQ-PQ-NM-MP; 法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两 (2)(AB-CD)-(AC-BD). 个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量 [思路点拨]利用向量减法的运算律进行化简 的终点为终点的向量」 [解] (I)原式=NP+MN-M乎=NP+PN NP-NP=0. (2)原式=AB-CD-A元+BD a+(-b) =(AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC=0. ② (2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形 规律方法 化简向量的和差的方法 法则作出a一b.如图②所示，作OA=a,OB=b, (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运 AC=-b,则OC=a+(-b),即BA=a-b. 算，不能运算的去掉括号 ·11· 数学·必修第二册 (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形 [解](1)：OB=b,OD=d, 法则进行化简. :.AD-AB=BD=OD-OB=d-b. (3)化简向量的差时注意共起点、由减数向量的终点 (2).OA-a.OB-b.OC-c.OF-f, 指向被减数向量的终点· 汇特别提醒]利用图形中的相等向量代入、转化是 ..AB+CF=(OB-0A)+(OF-OC) 向量化筒的重要技巧， =b十f-a-c ◇[变式训练] (3).OD=d,OF=f, 2.化简： :.BF-BD=DF=OF-OD=f-d. (1)(BA-BC)-(ED-EC); (2)(AC+B0+0A)-(DC-DO-0B). 规律方法 [解] (1)(BA-BC)-(ED-EC) (1)解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反 =CA-CD-DA. 向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关 (2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB) 系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道. =AC+BA-DC+(DO+OB) (2)通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解 =AC+BA-DC+DB 决问题时，运算过程中，将“一”改为“十”，只需把 -BC-DC+DB=BC+CD+DB 表示向量的两个字母的颜序颠倒一下即可，如 =BC+CB=0. “一AB”改为“十BA” 题型向量加法、减法的综合运算 ⊙[变式训练] [例3]如图所示，已知OA=a,OB 3.如图，已知O为平行四边形 =b,OC=c,OD=d,OE-e,OF =f,试用a,b,c,d,e,f表示： ABCD内一点，OA=a,OB=b, (1)AD-AB;(2)AB+CF; OC=c,求OD (3)BF-BD. 解：在△AOD中，O币=OA+AD 汇思路点拨]寻找图形中已知向量与所表示向量 在△BOC中，BC=O元-OB: 的关系，再灵活运用三角形或平行四边形法则表 又”四边形ABCD是平行四边形，：AD=BC, 示即可 ..OD=OA+OC-OB=a+e-b. 课后。素养提升 对应学生课时P259 基础过关 3.下列说法正确的是 )》 1.下列等式中，正确的个数为 ( A.两个方向相同的向量之差等于0 ①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a B.两个相等向量之差等于0 +0=a;⑤a-b=a+(-b);⑥a-(-a)=0. C.两个相反向量之差等于0 A.3 B.4 C.5 D.6 D.两个平行向量之差等于0 解析：C[根据相反向量的概念知①②③④⑤正 确，所以正确的个数为5.故选C.] 解析：B[根据向量减法的几何意义，知只有两个 相等向量之差等于0，其他选项都是不正确的.] 2.化简下列各式：①AB+BC+CA:②AB-AC+BD 4.已知O为平行四边形ABCD所在平面上一点，且 -CD;③OA-OD+AD:④NQ+QP+MN-MP. 其中结果为零向量的个数是 OA=a,OB-b.OC-e.OD=d. A.1 B.2 C.3 D.4 A.a+b+c+d=0 B.a-b-c+d-0 解析：D[4个向量化简后均为零向量.] C.a+b-c-d=0 D.a-b+c-d=0 ·12· 第六章平面向量及其应用 解析：D[在平行四边形ABCD中，：OA=a,OB 9.如图所示，已知正方形ABCD的边长为 =b,OC=c,OD=d,∴.a-d=DA,c-b=BC,∴.a 1,AB=a.BC=b.AC-c,(1)la+b -b+c-d=(a-d)+(c-b)=DA+BC=0, +c= 选D.] (2)|a-b+c= 5.(多选题)化简下列各式，其结果为0的是( 解析：(1)由已知得a十b=AB十A A.AB-(CB-CA) BC=AC,.AC=c, B.AB-AC+BD-CD 延长AC到E, C.OA-OD+AD 使CE1=|AC1.则a十b十c D.NQ+QP+MN-MP 解析：ABCD[A.AB-(CB-CA)=AB+BC+ =AE, CD=AC+CA=0. 且AE1=2√2.a十b+c=22. B.AB-AC+BD-CD=(AB+BD)-(AC+CD) (2)作BF=AC,连接CF, =AD-AD=0. 则DB+BF-D京，而DB=AB-AD=AB-BC C.OA-OD+AD-DA+AD=0. a-b, D.NQ+QP+MN-MP-NP+PN=0. ∴.|a-b+cl=DB+BF-DF且1DF=2. 以上各式化简后结果均为0，故选ABCD.] ∴.a-b+c|=2. 6.(多选题)下列各式中，化简结果为AD的是( A.(AB-DC)-CB 答案：(1)2√2(2)2 B.AD-(CD+DC) 10.已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量 C.-(CD+MC)-(DA+DM) OA=a,OB=b,OC-c.OD-d.Ha+c-b+d. D.-BM-DA+MB 求证：ABCD是平行四边形. 解析：ABC[A.(AB-DC)-CB=AB+CD+ 证明：因为a十c=b十d,所以a一b=d-c,因为向 BC=AB+BD=AD:B.AD-(CD+DC)=AD 量OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,所以OA-OB 0=AD;C.(CD+MC)-(DA+DM)=-MD- =OD-OC,即BA=CD,所以BA∥CD,且BA= DA-DM=DM+AD-DM=AD:D.-BM-DA CD,所以四边形ABCD是平行四边形. +MB-MB+AD+MB-AD+2 MB. 11.如图所示，已知OA=a,OB=b,OC=c,OE=e, 7.已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有 OD=d,OF=f,试用a,b,c,d,e,f表示AC,AD, 点C,满足2AC+CB=0,则OC可用OA,OB表示为 AD-AB,AB+CF,BF-BD,DF+FE+ED. 解析：0C=OB+BC=OB+2AC=OD+2(0d OA),∴.OC=2OA-OB. 答案：2OA-OB 8.对于非零向量a,b,当且仅当 时， 有a-bl=a-b. 解：AC-OC-OA=c-a,AD=OD-OA=d-a, 解析：当a,b不同向时，根据向量减法的几何意义， AD-AB=BD=OD-OB=d-b,AB+CF=OB 知一定有a一b>||a一b|,所以只有两向量共 -OA+OF-OC=b-a+f-c,BF-BD=DF= 线且同向时，才有a一b=|川a-bl|. 答案：a与b同向 OF-OD=f-d DF+FE+ED=0. ·13· 数学·必修第二册 能力提升 13.在平行四边形ABCD中，已知AB=a,BC=b,BD 12.八卦是中国古老文化 =c,且a+bl=|a-b|,la=6,b|=2√3. 的深奥概念，其深邃 求a-b-c. 的哲理解释了自然、 社会现象.如图1所 解：a十b=AC,a-b=DB,a+b=|a-b, 示的是八卦模型图， 图2 其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其 故|AC=|BD|,故平行四边形ABCD是矩形， 中O为正八边形的中心，则OA一ED= ( 1a=6,b=25,|AC=BD1=√/36+12=45， A.OD B.DO C.DA D.AD a-b-c=AB-BC-BD=AB-AD+DB=DB 解析：B[OA-ED=EO-ED=DO.] +DB=2DB,∴.|a-b-el=8√5. 6.2.3 向量的数乘运算 课程标准 素养解读 1.掌握向量数乘的运算及其运算律. 2.理解数乘向量的几何意义. 通过学习向量的数乘运算，重点提升学生的逻 3.掌握共线向量的基本定理。 辑推理和数学运算素养 4.熟练运用共线定理处理有关的共线向量问题， 5.理解直线的向量表示. 课前。预习学案 对应学生用书P11 [情境引入] [知识点二] 数乘向量的运算律 有一汽车从O出发，向西行进1秒后到达A,点， 1.(4a)=()a; 按照相同的速度，3秒后车在哪里？用向量怎么 2.(入+u)a=入a十a; 表示？ 3.入(a+b)=λa+λb. a 6 特别地，有(-入)a=-(入a)=入（一a): C B A 0 A(a-b)=入a-入b, 问题类比情境，引人求a十a十a的结果，并说明其 ?思考2.数乘向量与数乘数的积有何不同？ 结果与a有怎样的关系？ 提示a十a十a=3a,3a与a方向相同，且长度是a 提示：数乘向量入a仍是向量，既有大小，又有方 长度的3倍. [知识梳理] 向，与向量a共线；而实数的乘积仍是实数，只有 [知识点一]向量数乘运算 大小，没有方向 实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向 [知识点三]向量共线定理 量的数乘，记作入a,它的长度方向规定如下： 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 1.|λa=λa; 入，使b=入a, 2.当A>0时，入a的方向与a的方向相同： 当入<0时，入a的方向与a的方向相反， ?思考3.若a=0,a与b共线吗？存在唯一实数入 3.当入=0时，入a=0. 使b=入a吗？ 2思考1.你能说出3a的几何意义吗？ 提示：若a=0,则a与b共线. 提示：向量3a的几何意义是将表示向量a的有向 当b≠0时，不存在入使b=入a,当b=0时，存在 线段在原方向上伸长为原来的3倍. 无数个实数入使b=入a. ·14·