6.2.1 向量的加法运算（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 课程标准 素养解读 1.理解并掌握向量加法的概念，了解加法的物理意义， 通过学习向量的加法，重点培养 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟 学生的数学抽象和逻辑推理、数 练运用这两个法则作两个向量的加法运算， 学建模素养。 3.了解向量加法的交换律和结合律， 课前。预习学案 [情境引入] 这种求向量和的方法，称为向量加法的三 在日常生活中，你是否有这样的经验：两 角形法则 个人共提一个重物，夹角越大越费力；在单杠 规定：零向量与任一向量a的和都有a+0 上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. = + =a. (2)平行四边形法则 如图，以同一点O为起 点的两个已知向量a,b b 问题1.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 为邻边作□OACB,则o4 2.物理学中的两个位移的和体现了向量的什 以O为起点的 就是a与b的和，我们 么运算？ 把这种作两个向量和的方法叫作向量加法 的平行四边形法则， 配思考1.两个向量相加就是两个向量的模相 加吗？ [知识梳理] [知识点一] 向量加法的定义及运算法则 1.求定义 [知识点二]向量加法的运算律 求 的运算，叫作向量的加法. (1)向量加法的交换律：将a的起点移至A 2.运算法则 点，将b的起点移至a的终点，则由a的 (1)三角形法则 起点A指向b的终点C的向量AC=a十 已知非零向量a,b,在平面内任 取一点A,作AB=a,BC=b,再 a+b b;同样将b的起点移至A点，将a的起 点移至b的终点，则由b的起点A指向a 作向量AC,则向量 叫 的终点C'的向量AC'=b十a,由平行四 作a与b的和（或和向量），记作 ,即a 边形法则知C必然和C重合，即a十b= +6=AB+BC- b+a. ·4· 第六章平面向量及其应用 (2)向量的加法满足交换律和结合律，因此在 2.在矩形ABCD中，AC= 进行多个向量的加法运算时，就可以按照 A.BC+BA B.AD+CD 任意的次序和任意的组合去进行.如(a+ b)+(c+d)=(a+d)+(b+c). C.AB+DA D.AD+DC (3)向量加法运算满足：A,A2十A,A,十…+ 3.AO+OB+OC+CA+BO等于 AA=AA A.AB B.0 C.BC D.AC 2思考2.用运算律求得AB+CA十BC的结果 4.在矩形ABCD中，若AB=3,BC=2,则 是什么？ IAB+BCI= [知识点三]向量a十b与非零向量a,b的模 及方向的关系 5.如图所示，求： (1)当向量a与b不共线时，a十b的方向与a,b (1)a+d; 都不相同，且|a+b<a+|b1,几何背景是 (2)c+b; 三角形两边之和大于第三边. (3)e+c+b; (2)当a与b同向时，a+b与a的方向相同，且 (4)c+f+b la+bl=lal+1bl. (3)当a与b反向时，若|a≥|b,则a+b与a 的方向相同，且|a+b|=|a|一b1.若|a <|b1,则a+b与b的方向相同，且1a+b =|b1-|a. [预习自测] 1.在△ABC中，AB+BC= A.BA B.CB C.AC D.CA 课堂。互动学案 题型一向量加法法则的应用 [思路点拨]借助向量加法的几何意义作图。 [例1](1)如图(1)所示，用向量加法的三角 形法则作出a十b: (2)如图(2)所示，用向量加法的平行四边形 法则作出a+b. b (2) ·5· 数学·必修第二册 规律方法 规律方法 用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾 应用三角形法则和平行四边形法则求和向 相连”，和向量是第一个向量的起点指向第 量时，要注意它们的使用条件，三角形法则 二个向量的终点，平行四边形法则注意“共 适用于任何两个非零向量，且要首尾相接， 起点”.且两种方法中，第一个向量的起点可 平行四边形法则适用于不共线的两个向量， 任意选取，可在某一个向量上，也可在其它 且要有同一起点.当两个向量不是首尾相接 位置.两向量共线时，三角形法则仍适用，平 或同一起点时，可通过相等向量进行转化. 行四边形法则不适用。 ◇[变式训练] ◇[变式训练] 2.化简或计算： 1.已知向量a,b,c,如图所示. (1)CD+BC+AB; 求作a+b+c. (2)AB+DF+CD+BC+FA 题型二】 向量加法运算 题型三用向量加法证明九何问题 [例2]如图，O为正六边形AB 例3)如图所示，在平行四边形F CDEF的中点，化简下列 ABCD的对角线BD的延长线 向量： 及反向延长线上取点E,F,使A (1)0A+OC: BE-DF. (2)BC+FE; 求证：四边形AECF是平行四边形， (3)OA+FE. [思路点拔]证明FA=CE或FC=AE即可. 汇思路点拔]解答本题充分利用正六边形 的有关性质，利用向量加法法则运算作出 相应向量。 ·6· 第六章平面向量及其应用 规律方法 求证：PA+PB+PC+PD=4PO. 用向量方法证明几何问题，首先要把几何问 题中的边转化成相应的向量，通过向量的运 算及其几何意义得到向量间的关系，然后再 还原成几何问题 ⊙[变式训练] 3.如图，在平行四边形AB CD中.对角线AC与BD 交于O点，P为平面内任意 C温馨提污 一点. 学习至此，请完成课时作业(6.2.1) 6.2.2向量的减法运算 课程标准 素养解读 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则. 通过本节向量减法的学习，重点 2.掌握向量减法的几何意义.能熟练进行向量的加、减 培养学生的逻辑推理，数学运算 运算. 素养 课前。预习学案 [情境引入] 4.若a与b互为相反向量，则a= b= 如图所示，两个班级举行 ,a+b= 一项热身运动：拔河比赛 ?思考模相等的向量是相反向量吗？相反 如果一方的力记为F,另 向量是共线向量吗？ 方的力记为F2: 问题那么它们的合力的大小是多少？方向 如何？ [知识点二]向量的减法 1.定义：a-b=a十 ,即减去一个向量相 当于加上这个向量的 2.向量减法是向量加法的逆 [知识梳理] 运算」 [知识点一]相反向量 设x十b=a,则x=a-b, 与a长度 ,方向 的向量，叫作 如图，设OA=a,OB=b. a的相反向量. 由向量加法的三角形法则可知 1.规定：零向量的相反向量仍是 2.-(-a)= OA=OB+BA, 3.a+(-a)= 则BA=OA-OB=a-b. ·7。数学·必修第二册 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 课前预习学案 情境引入 提示1，这涉及到向量的合成问题.即向量的加法 2.体现了两个向量的加法运算。 知识梳理 一1.两个向量和2.(1)ACa+bAC0a(2)O元 [思考] 1.提示：两个向量相加，和向量还是一个向量，通过三角形法则 或平行四边形法则可得和向量，两个向量的模相加，其和是 一个实数，不是一个向量. 2.提示：AB+CA+BC=AB+BC+CA=AC+CA=0,故结果 是0. 预习自测 1.C2.D3.B4.√13 5.解：(1)a+d=d+a=D0+OA=DA: (2)c+b=CO+OB=CB; (3)e+c+b=e+(c+b)=e+CB=DC+CB-DB: (4)c+f+b=CO+OB+BA=CA. 课堂互动学案 [例1][解](1)在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,再 作向量OB,则OB=a十b. B atb b (2)在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,再作平行OB的 AC=b,连接BC,则四边形OACB为平行四边形，OC=a十b. ) atb [例2][解](1)由图知，OABC为平行四边形， ..OA+OC=OB. (2)由图知BC=FE=OD=AO ..BC+FE=AO+OD=AD. (3)0D=FE. ..OA+FE=OA+OD. 又OA=D0,∴.OA+FE-D0+OD=0. ·18 [例3]证明：四边形ABCD是平行四边形， ..DA CB. ..DA=CB. 又DF=BE且DF与BE共线， .FD=BE. .FD+DA=BE+CB. 即FA=CE ..FALCE. ,.四边形AECF是平行四边形， 变式训练 1.解：在平面内任取一点0，作OA=a,AB=b,BC=c,如图，则 由向量加法的三角形法则，得OB=a十b,O心=a十b十c. 09 a+b+c C /C A 6B 2.解：(1)CD+BC+AB=(AB+BC)+CD =AC+CD=AD】 (2)AB+DF+CD+BC+FA-(AB+BC)+(CD+DF)+ FA=AC+CF+FA=AF+FA=0. 3.证明：PA+PB+PC+p方 =PO+OA+PO+OB+PO+OC+PO+OD =4P6+(OA+OB+O元+Oi) =4PO+(OA+OC)+(OB+OD) =4P6+0+0=4PO. ..PA+PB+PC+PD=4 PO. 6.2.2向量的减法运算 课前预习学案 情境引入 提示设F>F2,合力大小为F1-F2=F- F,,方向与力F的方向一致 知识梳理 相等相反 一、1.零向量2.a3.(-a)十a04.-b-a0 二、1.(-b)相反向量3.BAba 三、1.BA [思考] 提示：由相反向量定义可知，模相等的向量不一定是相反向 量，相反向量是共线向量 36