6.2.1 向量的加法运算（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章平面向量及其应用 10.在如图的方格纸（每个小方格 能力提升 》 的边长为1)上，已知向量a. 12.一个人从A点出发沿东北方向走了100m到达B (1)试以B为起点画一个向 点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m 量b,使b=a. 到达C点，则此人从C点回到A点的位移 (2)画一个以C为起点的向 为 量c,使c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么. 解析：根据题意画出示意图（图略）.由题意可知， 解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a AB=100,|BC1=100,∠ABC=45°+15°=60， 同向，且长度相等，如图所示.(2) a ∴.△ABC为正三角形，.CA|=100,即此人从C 由平面几何知识可作满足条件的 点回到A点所走的路程为100m.又易知此人行 向量c,所有这样的向量c的终点 走的方向为西偏北15°，所以此人从C点回到A 的轨迹是以点C为圆心，2为半 ,点的位移为沿西偏北15°，长度为100m. 径的圆，如图所示 答案：沿西偏北15°，长度为100m 11.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向 13.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形 OAED,OCFB都是正方形，在如图所示的向 北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地 量中： 沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又 (1)分别找出与AO,BO相等的向量； 向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地. (2)找出与AO共线的向量： (1)画出AD,DC,CB,AB; (3)找出与AO模相等的向量； (2)求B地相对于A地的位置向量. 解：(1)向量AD,DC,CB,AB如 北 (4)向量AO与CO是否相等？ 图所示。 160° 30/D → (2)由题意知AD=BC, 西A 东 0 ∴.AD∥BC且AD=BC,则四边形ABCD为平行 解：(1)AO=BF,BO=AE.(2)与AO共线的向量 四边形， 有BF,CO,DE.(3)与AO模相等的向量有：CO ,AB=DC,则B地相对于A地的位置向量为 DO,BO,BF,CF,AE,DE.(4)向量AO与CO不相 “北偏东60°，长6千米” 等，因为它们的方向不相同. 6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 课程标准 素养解读 1.理解并掌握向量加法的概念，了解加法的物理意义， 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟 通过学习向量的加法，重点培养学生的数学抽 练运用这两个法则作两个向量的加法运算. 象和逻辑推理、数学建模素养. 3.了解向量加法的交换律和结合律. 课前。预习学案 对应学生用书P4 [情境引入] 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共 提一个重物，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上 运动，两臂的夹角越小越省力. ·5· 数学·必修第二册 问题1.你能从数学的角度解释这种现象吗？ (3)向量加法运算满足：A1A,十A2A十…十A,-1A. 2.物理学中的两个位移的和体现了向量的什么运算？ 提示1.这涉及到向量的合成问题.即向量的加法. =AAn. 2.体现了两个向量的加法运算. 2思考2.用运算律求得AB+CA+BC的结果是 [知识梳理] 什么？ [知识点一]向量加法的定义及运算法则 提示：AB+CA+BC-AB+BC+CA=AC+CA 1.求定义 =0,故结果是0. 求两个向量和的运算，叫作向量的加法. [知识点三]向量a十b与非零向量a,b的模及方向 2.运算法则 的关系 (1)三角形法则 (1)当向量a与b不共线时，a+b的方向与a,b都不 已知非零向量a,b,在平面内任取 a+b 相同，且a十b<a十b,几何背景是三角形两 一点A,作AB=a,BC=b,再作向 边之和大于第三边. 量AC,则向量AC叫作a与b的和4 (2)当a与b同向时，a+b与a的方向相同，且a+b (或和向量)，记作a十b,即a十b=AB+BC=AC. =a+b1: 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形 (3)当a与b反向时，若|a≥b,则a+b与a的方 法则. 向相同，且a十b=a-b.若a<|b|,则a 规定：零向量与任一向量a的和都有a十0=0十a +b与b的方向相同，且|a+b=b-|a. =a. [预习自测] (2)平行四边形法则 1.在△ABC中，AB+BC= 如图，以同一点O为起点的 6 A.BA B.CB C.AC D.CA 两个已知向量a,b为邻边作 a+b 答案：C □OACB,则以O为起点的 2.在矩形ABCD中，AC OC就是a与b的和，我们把 这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四 A.BC+BA B.AD+CD 边形法则。 C.AB+DA D.AD+DC ?思考1.两个向量相加就是两个向量的模相 答案：D 加吗？ 3.AO+OB+OC+CA+BO等于 提示：两个向量相加，和向量还是一个向量，通 A.AB B.0 C.BC D.AC 过三角形法则或平行四边形法则可得和向量， 答案：B 两个向量的模相加，其和是一个实数，不是一 4.在矩形ABCD中，若AB=3,D 个向量 BC=2,则AB+BC [知识点二]向量加法的运算律 (1)向量加法的交换律：将a的起点移至A点，将b的 答案√3 起点移至a的终点，则由a的起点A指向b的终 5.如图所示，求： 点C的向量AC=a十b;同样将b的起点移至A (1)a+d; 点，将a的起点移至b的终点，则由b的起点A指 (2)c+b: (3)e+c+b; 向a的终点C'的向量AC=b十a,由平行四边形 (4)c+f+b 法则知C必然和C'重合，即a十b=b十a. 解：(1)a+d=d+a=Dò+OA=DA (2)向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多 个向量的加法运算时，就可以按照任意的次序和 (2)c+b=CO+OB-CB; 任意的组合去进行.如(a+b)+(c+d)=(a+d) (3)e+c+b-e+(c+b)-e+CB-DC+CB=DB: +(b+c). (4)c+f+b=CO+OB+BA=CA. ·6 第六章平面向量及其应用 课堂。互动学案 对应学生用书P5 题型一 向量加法法则的应用 题型二 向量加法运算 [例1](1)如图(1)所示，用向量加法的三角形法则 [例2]如图，O为正六边形ABC 作出a十b; DEF的中点，化简下列向量： (2)如图(2)所示，用向量加法的平行四边形法则作 (1)0A+OC; 出a+b. (2)BC+FE; (3)OA+FE. [思路点拨]解答本题充分利用正六边形的有关 性质，利用向量加法法则运算作出相应向量， (2) [解](1)由图知，OABC为平行四边形， 汇思路点拨]借助向量加法的几何意义作图， ∴.OA+OC=OB. [解](1)在平面内任取一，点O,作OA=a,AB (2)由题图知BC=FE=OD=AO, b,再作向量OB,则OB=a十b. ..BC+FE=AO+OD=AD. B atb (3)0D=FE. b 0 ..OA+FE=OA+OD. (2)在平面内任取一，点O,作OA=a,OB=b,再作 OA=DO,..OA+FE=DO+OD=0. 平行OB的AC=b,连接BC,则四边形OACB为平 规律方法 行四边形，OC=a十b. 应用三角形法则和平行四边形法则求和向量时，要 注意它们的使用条件，三角形法则适用于任何两个 非零向量，且要首尾相接，平行四边形法则适用于不 共线的两个向量，且要有同一起点.当两个向量不是 首尾相接或同一起点时，可通过相等向量进行转化. 规律方法 ◇[变式训练] 用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和 2.化简或计算： 向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点， (D)CD+BC+AB: 平行四边形法则注意“共起点”.且两种方法中，第一 (2)AB+DF+CD+BC+FA. 个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可 解：(1)CD+BC+AB=(AB+BC)+CD 在其它位置.两向量共线时，三角形法则仍适用，平 =AC+CD-AD. 行四边形法则不适用. (2)AB+DF+CD+BC+FA=(AB+BC)+(CD ◇[变式训练] +DF)+FA=AC+CF+FA=AF+FA=0 1.已知向量a,b,c,如图所示 题型用向量加法证明几何问题 求作a十b十c. [例3]如图所示，在平行四边形F 解：在平面内任取一，点O,作OA=a, ABCD的对角线BD的延长线及 AB=b,BC=c,如图，则由向量加法的三角形法 反向延长线上取点E,F,使BE 则，得OB=a+b,OC=a+b+c. =DF. 求证：四边形AECF是平行四 atb+c 边形 [思路点拔]证明FA=CE或FC=AE即可. 7 数学·必修第二册 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ◇[变式训练] .DALCB, 3.如图，在平行四边形ABCD ..DA=CB. 中.对角线AC与BD交于O 又DF=BE且DF与BE共线， :.FD=BE. 点，P为平面内任意一点. ..FD+DA=BE+CB. 求证：PA+PB+PC+PD=4PO, 即FA=CE 证明：PA+PB+PC+PD ∴.FALCE =PO+OA+PO+OB+PO+OC+PO+OD ∴.四边形AECF是平行四边形. =4Pò+(OA+Oi+O元+O币) 规律方法 =4 PO+(OA+OC)+(OB+OD) 用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的 边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意 =4P0+0+0=4P0. 义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题 :.PA+PB+P元+PD=4PO. 课后。素养提升 对应学生课时P257 基础过关 4.向量(AB+MB)+(BO+BC)+OM等于( 1.下列等式错误的是 A.BC B.AB C.AC D.AM A.a+0=0+a=a 解析：C(AB+MB)+(BO+BC)+OM=(AB+ B.AB+BC+AC=0 BC)+(MB+BO)+OM=AC+MO+OM=AC. C.AB+BA=0 故选C D.CA+AC-MN+NP+PM 5.(多选题)如图，D,E,F分别是△ABC的边AB, 解析：B[AB+BC+AC=AC+AC=2AC≠0， BC,CA的中点，则下列等式中正确的是() 故B错.门 2.已知向量a∥b,且a|>|b>0,则向量a十b的 方向 () A.与向量a方向相同 B.与向量a方向相反 C.与向量b方向相同 D.与向量b方向相反 解析：A[a∥b且|a>|b>0,所以当a,b同向 A.FD+DA+DE-0 时，a十b的方向与a相同，当a,b反向时，因为a B.AD+BE+CF=0 >b,所以a十b的方向仍与a相同.] C.FD+DE+AD=AB 3.如图所示，在四边形ABCD中，AC=AB+AD,则 四边形ABCD为 D.AD+EC+FD=BD 解析：ABC[由AD+EC十FD=AD+DF+FD =AD=一BD≠BD,故D错误.] 6.若1OA1=8,1OB=5,则1AB1的取值范围是 A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 A.[3,8] B.(3,8) 解析：C[,AC=AB+AD,∴.DC=DA十AC= C.[3,13] D.(3,13) DA+AB+AD-DA+AD+AB=AB,Ep DC- 解析：C[因为AB=O店-OA,故 AB.∴.四边形ABCD为平行四边形.] 当OA,OB同向共线时，AB=OA-OB1=3; ·8· 第六章平面向量及其应用 当0A,OB发向共线时，AB1=OA1+OB1=13: 解析：AB,BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的 当OA,OB不共线时，1OB1-1OA11<1OB-OA 方向飞行800km,从B地按南偏东55°的方向飞行 |OB1+|OA,即3<AB|<13. 800km,则飞机飞行的路程指的是|AB|+BC; 综上可得3≤|AB≤13.] 两次飞行的位移的和指的是AB十BC=AC. 7.设a=(AB十CD)+(BC+DA),b是一个非零向 依题意，有|AB|+|BC1=800十800=1600(km), 量，则下列结论正确的有 ·(将正确答案的序 又a=35°，3=55°，∠ABC=35°+55°=90°， 号填在横线上) ①a∥b:②a+b=a;③a+b=b;④a+b<a+b. 所以ACJ1AB?+BC 解析：由条件得：(AB十CD)十(BC+DA)=0=a, /8002+8002=800√2(km). 故填①③. 其中∠BAC=45°，所以方向为北偏东35°+45 答案：①③ =80°. 从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位 8.若G为△ABC的重心，则GA+GB+GC 移和的大小为800√2km,方向为北偏东80. 解析：延长AG至E交BC于D使得AG=GE,则 能力提升 由重心性质知D为GE中点，又D为BC中点，故 12.如图所示，O为线段 A201 四边形BGCE为平行四边形.∴.GE=GB十GC.又 A。A01外一点，若A0 A1,A2,A2,…,A2o1中任 GA=-GE,..GA+GB+GC=0. 意相邻两点间的距离相 A2 答案：0 A 9.在边长为1的等边三角形ABC中，|AB+BC= 等，OA,=a,OA21=b, ,AB+ACI= 则用a,b表示OA,十OA1十OA2十…OA,其结 果为 解析：易知AB+BC1=|AC=1,以AB,AC为邻 A.100(a+b) B.101(a+b) 边作平行四边形ABDC,则AB+AC=AD= C.201(a+b) D.202(a+b) 21AB1×sin60°=2×1×5=5. 解析：B[设AoA201的中点为A,则A也是 2 A1A2o,…,A10A101的中点，可得OA,+OA201= 答案：1√3 20A=a+b, 10.已知图中电线AO与天花板 的夹角为60°，电线AO所受 同理可得OA1十0A=OA2十OA19=…=OA1m 拉力为F1,F1=24N;绳 +OA101=a+b, BO与墙壁垂直，所受拉力为 故OA,十OA1十OA2+…十OA21=101X2OA= F2,|F2|=12N,求F1和F2 101(a+b).] 的合力. 13.如图所示，在△ABC中，O为重心，D,E,F分别是 解：如图所示，根据向量加法的 BC,AC,AB的中点，化简下列各式： 平行四边形法则，得到合力F= F,+F2=OC.在△OCA中，F1 =24,AC=12,∠OAC=60°， ∠OCA=90°..OC=123. 0F2 B .F1与F2的合力为12V5N,与F2成90°角竖直 (1)BC+CE+EA; 向上. (2)OE+AB+EA; 11.如图所示，在抗震救灾 北 (3)AB+FE+DC. 中，一架飞机从A地按 北偏东35°的方向飞行 解：(1)BC+CE+EA=BE+EA=BA, 800km到达B地接到 (2)OE+AB+EA=(OE+EA)+AB=0A+AB 受伤人员，然后又从B A =OB. 地按南偏东55°的方向 飞行800km送往C地 (3)AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC 医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. =AC. ·9·