6.1 平面向量的概念（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

参考 第六章平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 课前预习学案 情境引入 提示1.能追上，因为它们的方向相同，猫的速率大于老鼠的 速率. 2.U1和v2为共线向量. 知识梳理 一、1.大小方向2.大小方向 二、1.方向起点方向长度 2.向量AB3.a方 三、2.(1)零向量 四、1.a=b 2.(1)共线平行共线或平行(2)重合或平行(3)相反向 量-a [思考] 1.提示：不能.向量是既有大小又有方向的量.所以只能比较它 们模的大小 2.提示：不是.向量是既有大小又有方向的量，而有向线段除了 有大小、方向外还有起，点，所以二者是不同的，但是可以用有 向线段表示向量. 3提示：不一定单位向量的长度都相等，但方向不一定相同， 故不一定相等 预习自测 1.D2.C3.D 4.共线 5.解析：(1)与AF相等的向量有BECD (2)与AE共线的向量有EA、BD,DB. 答案：(1)BE,CD(2)EA、BD、DB 课堂互动学案 [例1][解析]①错误.由a=b仅说明a与b模相等，但 不能说明它们方向的关系， ②错误.0的模为零 ③正确.对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任 意移动的 ·.18 参考答案 答案 ④错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并 不要求两个向量AB,CD必须在同一直线上. [答案]③ [例2][解](1)向量AB、BC,CD如图所示 C D↑北100km 西BA 东 南 (2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线， 又AB=CD1, ∴在四边形ABCD中，AB LCD. 四边形ABCD为平行四边形. ..AD=BC,..AD=BCI =200 km. [例3][解析]观察图形a∥d,b∥e,因此a与d是共线向 量，并且方向相反；b与e是共线向量，并且方向相反， 显然a=√5，c=√5，d=√5因此a,c,d的模相等. [答案]a与d,b与ea与d,b与ea,c,d 变式训练 1.A[由向量相等的定义知A正确；向量是有方向的量，不能 比较大小，故B错误；选项C中，当c=0时，a与c不平行， 故C不正确；选项D中，a≠b可以是a∥b但a与b的模不 相等，故D不正确.] 2.解析：(1)作出向量AB,BC,CD: D C 如图所示. 北 (2)由题意得，△BCD是直角三 角形，其中∠BDC=90°，BC=10 西A B东 南 √2米，CD=10米，所以BD=10米.△ABD是直角三角形， 其中∠ABD=90°，AB=5米，BD=10米， 所以AD=√5+10=5√5（米）， 所以AD=5√5米. 3.解：(1)，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形， ABLED,AB LDC,从而AB=ED,AB=DC :ED=DC,故与向量ED相等的向量是AB、DC (2).AB=ED,AB=DC,.ED=DC ED与DC方向相同，从而E、D、C三点共线. ..ECI=ED+DCI =2ABI=6.第六章平面向量及其应用 第九章 平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 课程标准 素养解读 1.理解向量的几何表示的意义和方法 通过学习向量的有关概念及表 2.理解零向量，单位向量及向量的模等概念. 示，重点培养学生的数学抽象、直 3.理解零向量、相等向量及共线向量的概念， 观想象素养， 4.掌握向量的夹角及其表示， 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.两个向量能否比较大小？ 猫和老鼠 一只老鼠和一只猫相距16米，老鼠以每 秒4米的速度从B点向正东奔跑，猫以每秒7 米的速度从A点向正东追。 [知识点二] 向量的表示 1.有向线段 带有 的线段叫作有向线段，它包含三个 要素： 和 ,以点A为起 问题1.猫能否追上老鼠？ 点，B为终点的有向线段记作AB. 2.若猫的速度记为w1,老鼠的速度记为v2,那 2.向量的几何表示 么v1和v2有什么关系？ 如果有向线段AB表示一个向量，通常我们 就说 3.用字母表示向量 通常在印刷时，用黑体小写字母a,b,c, …表示向量，书写时用带箭头的小写字 母 ，，，…表示向量 [知识梳理] ?思考2.有向线段就是向量吗？ [知识点一] 向量的概念 1.向量：既有 ,又有 的量叫向量。 2.数量：只有 ,没有 的量叫数量。 数学·必修第二册 [知识点三]向量的长度（模） 1.向量a的大小，记作a,又称作向量的模. ?思考3.单位向量都相等吗？ 2.两种特殊的向量 (1)长度为0的向量称为 ,记作0或 0,任何方向可以作为零向量的方向 [预习自测 (2)模等于1个单位长度的向量称为单位 1.下列量中不是向量的是 ( 向量. [知识点四]相等向量和共线向量 A.位移B.重力C.速度 D.温度 1.相等向量是指它们的大小相等且方向相同， 2.下列各选项中，正确的是 向量a与b相等，记作 若两条有 A.|a|=|bl→a=b B.|a|>lb|→a>b 向线段方向相同，长度相等，则它们表示的 C.|a|=0a=0 D.|a|=0→a=0 向量是相等的.代表相同向量的有向线段与 3.下列说法错误的是 ( 起点位置无关 2.(1)若两个向量a,b的方向相同或相反，则 A.向量AB与BA模相等 称这两个向量为 向量或 向量， B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同 也称这两个向量 ,记 C.只有零向量的模等于0 作a∥b. D.零向量没有方向 (2)两个向量共线或平行，是指表示这两个 4.零向量与单位向量的关系是 (填 向量的有向线段所在的直线 (3)若两个向量的长度相等、方向相反，则称 “共线”、“相等”、“无关”) 它们互为 相反向量是共线向 5.如图以1×2方格中的 量.若其中一个向量为a,则它的相反向量 格点（各线段的交点）为 记作 起点和终点的向量中. (4)零向量与任一向量共线，即对于任意的 向量a,都有0∥a.零向量的相反向量仍是 (1)与AF相等的向量有 零向量。 (2)与AE共线的向量有 课堂。互动学案 题型一 向量的有关概念 规律方法 [例1]给出下列命题： 向量有关概念的辨析问题，关键是理解有 ①若|a=|b,则a=b或a=-b: 关概念的意义.向量是既有大小又有方向 ②向量的模一定是正数； 的量.向量的大小叫向量的长度或模.向 ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相 量的有关概念都是从方向和大小两个方 等向量： 面定义的.仅从向量的大小考虑：长度为 ④向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D 1个单位的向量叫单位向量，长度为0的 四点必在同一直线上. 向量叫零向量.仅从方向考虑：方向相同 其中正确命题的序号是 或相反的向量叫平行或共线向量；从两方 [思路点拨]解答本题可从向量的定义、 向量的模、相等向量、平行向量等概念入 面考虑：方向相同、大小相等的向量叫相 手，逐一判断真假。 等向量 ·2 第六章平面向量及其应用 ◇[变式训练] 题型共线向量与相等向量 1.下列说法正确的是 [例3]在如图所示的向量 A.若a=b,则a∥b B.|a|>|b,则a>b a,b,c,d,e中（小正方形的 C.若a∥b,则b∥c,则a∥c 边长为1)，找出存在下列 D.若a≠b,则a与b不共线 关系的向量： 题型三 向量的表示 ①共线向量： [例2]某次军事演习中，红方一支装甲分队 ②方向相反的向量： 为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发 ③模相等的向量： 向西迂回了100km到达B地，然后又改变 汇思路点拨]借助图形和向量相关概念进行 方向向北偏西40°走了200km到达C地， 最后又改变方向，向东突进100km到达D 判断。 处，完成了对蓝军的包围. (1)作出向量AB,BC,CD: (2)求出|AD1. 汇思路点拨]作图时既要考虑向量的大 小，又要考虑其方向及起点，为此可建立平 面直角坐标系，在坐标系中作图求解. 规律方法 判断两个向量是否共线，关键是看方向是否相 规律方法 同或相反，判断两个向量相等，既要使方向相 (1)向量的画法：先确定向量的起点，再确定 同，又要使长度相等. 向量的方向，最后根据向量的长度确定 ⊙[变式训练] 向量的终点， (2)向量的表示方法：向量的表示方法有几 3.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四 何表示和字母表示，用几何研究向量运 边形 算，为用向量处理几何问题打下了基础， 字母表示便于向量的运算， ⊙[变式训练] 2.某人从A点出发向东走了5米到达B点， 然后改变方向沿东北方向走了10√2米到达 (1)写出与向量ED相等的向量； C点，到达C点后又改变方向向西走了10 (2)若AB=3,求向量EC的模. 米到达D点， (1)作出向量AB,BC,CD: (2)求AD的模. C温馨提西 学习至此，请完成课时作业(6.1) ·3