6.1 平面向量的概念（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章平面向量及其应用 第九章 平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 课程标准 素养解读 1.理解向量的几何表示的意义和方法， 2.理解零向量，单位向量及向量的模等概念 通过学习向量的有关概念及表示，重点培养学 3.理解零向量、相等向量及共线向量的概念 生的数学抽象、直观想象素养。 4.掌握向量的夹角及其表示. 课前。预习学案 对应学生用书P] [情境引入] 2.向量的几何表示 猫和老鼠 如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向 一只老鼠和一只猫相距16米，老鼠以每秒4米 量AB: 的速度从B,点向正东奔跑，猫以每秒7米的速度从A 3.用字母表示向量 点向正东追 通常在印刷时，用黑体小写字母a,b,c,…表示向 量，书写时用带箭头的小写字母a,b,c,…表示 向量 2思考2.有向线段就是向量吗？ 问题1.猫能否追上老鼠？ 提示：不是.向量是既有大小又有方向的量，而有 2.若猫的速度记为v1,老鼠的速度记为v2,那么v1和 向线段除了有大小、方向外还有起点，所以二者是 v2有什么关系？ 提示1.能追上，因为它们的方向相同，猫的速率大于 不同的，但是可以用有向线段表示向量. 老鼠的速率 [知识点三]向量的长度（模） 2.U1和v2为共线向量. 1.向量a的大小，记作|a,又称作向量的模。 [知识梳理] 2.两种特殊的向量 [知识点一]向量的概念 (1)长度为0的向量称为零向量，记作0或0，任何方 1.向量：既有大小，又有方向的量叫向量 向都可以作为零向量的方向 2.数量：只有大小，没有方向的量叫数量 (2)模等于1个单位长度的向量称为单位向量. 2思考1.两个向量能否比较大小？ [知识点四]相等向量和共线向量 提示：不能.向量是既有大小又有方向的量.所以 1.相等向量是指它们的大小相等且方向相同，向量α 只能比较它们模的大小 与b相等，记作a=b.若两条有向线段方向相同，长 [知识点二]向量的表示 度相等，则它们表示的向量是相等的.代表相同向 1.有向线段 量的有向线段与起点位置无关。 带有方向的线段叫作有向线段，它包含三个要素： 2.(1)若两个向量a,b的方向相同或相反，则称这两 起点、方向和长度，以点A为起点，B为终点的有向 个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共 线段记作AB. 线或平行，记作a∥b. 数学·必修第二册 (2)两个向量共线或平行，是指表示这两个向量的 3.下列说法错误的是 有向线段所在的直线重合或平行 A.向量AB与BA模相等 (3)若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互 B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同 为相反向量.相反向量是共线向量.若其中一个向 C.只有零向量的模等于0 量为a,则它的相反向量记作一a. D,零向量没有方向 (4)零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a, 答案：D 都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量. 4.零向量与单位向量的关系是 (填“共线”、 ?思考3.单位向量都相等吗？ “相等”、“无关”). 答案：共线 提示：不一定.单位向量的长度都相等，但方向不 5.如图以1×2方格中的格点 一定相同，故不一定相等， (各线段的交点)为起点和终 [预习自测] 点的向量中. 1.下列量中不是向量的是 (1)与AF相等的向量 A.位移B.重力C.速度D.温度 有 答案：D (2)与AE共线的向量有 2.下列各选项中，正确的是 ( A.a=|bl→a=b B.a|>|b→a>b 解析：(I)与AF相等的向量有BE、CD C.|a=0→a=0 D.|a=0→a=0 (2)与AE共线的向量有EA、BD、DB. 答案：C 答案：(1)BE、CD(2)EA、BD、DB 课堂。互动学案 对应学生用书P2 题型 向量的有关概念 规律方法 [例1]给出下列命题： 向量有关概念的辨析问题，关键是理解有关概念的 ①若a=|b,则a=b或a=-b: 意义.向量是既有大小又有方向的量.向量的大小叫 ②向量的模一定是正数； 向量的长度或模.向量的有关概念都是从方向和大 ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等 小两个方面定义的.仅从向量的大小考虑：长度为1 向量； 个单位的向量叫单位向量，长度为0的向量叫零向 ④向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必 量.仅从方向考虑：方向相同或相反的向量叫平行或 在同一直线上 共线向量；从两方面考虑：方向相同、大小相等的向 其中正确命题的序号是 量叫相等向量， [思路点拔]解答本题可从向量的定义、向量的 ⊙[变式训练] 模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断 1.下列说法正确的是 真假. A.若a=b,则a∥b [解析]①错误.由a=|b|仅说明a与b模相 B.a|>|b,则a>b 等，但不能说明它们方向的关系. C.若a∥b,则b∥c,则a∥c ②错误.0的模为零。 ③正确对于一个向量，只要不改变其大小和方向， D.若a≠b,则a与b不共线 是可以任意移动的. 解析：A[由向量相等的定义知A正确；向量是有 ④错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相 方向的量，不能比较大小，故B错误；选项C中，当 反即可，并不要求两个向量AB,CD必须在同一直 c=0时，a与c不平行，故C不正确；选项D中，a≠ 线上 b可以是a∥b但a与b的模不相等，故D不 [答案]③ 正确.] ·2· 第六章平面向量及其应用 题型二 向量的表宗 △ABD是直角三角形，其中∠ABD=90°，AB=5 [例2]某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对 米，BD=10米， 蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100 所以AD=√52+102=5√5（米）， km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了 所以AD=5√5米 200km到达C地，最后又改变方向，向东突进100 题型 共线向量与相等向量 km到达D处，完成了对蓝军的包围. [例3]在如图所示的向量a,b, (1)作出向量AB,BC,CD: c,d,e中（小正方形的边长为 (2)求出AD. 1),找出存在下列关系的 汇思路点拨]作图时既要考虑向量的大小，又要 向量： 考虑其方向及起点，为此可建立平面直角坐标系， ①共线向量： 在坐标系中作图求解。 ②方向相反的向量： [解](1)向量AB、BC、CD D 北100km ③模相等的向量： 如图所示 汇思路点拔]借助图形和向量相关概念进行判断。 (2)由题意，易知AB与CD方 西 [解析]观察图形a∥d,b∥e,因此a与d是共线 向相反，故AB与CD共线，又|AB=CD, 向量，并且方向相反；b与e是共线向量，并且方向 ∴.在四边形ABCD中，AB LCD 相反， .四边形ABCD为平行四边形， 显然|a=√5，|c=√5，|d=√5因此a,c,d的模 ∴.AD=BC,∴AD1=BC1=200km. 相等 规律方法 [答案]a与d,b与ea与d,b与ea,c,d (1)向量的画法：先确定向量的起点，再确定向量的 规律方法 方向，最后根据向量的长度确定向量的终点。 判断两个向量是否共线，关键是看方向是否相同或 (2)向量的表示方法：向量的表示方法有几何表示和 相反，判断两个向量相等，既要使方向相同，又要使 字母表示，用几何研究向量运算，为用向量处理 长度相等 几何问题打下了基础，字母表示便于向量的 ◇[变式训练] 运算. 3.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. ◇[变式训练] 2.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改 变方向沿东北方向走了10√2米到达C点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D点. (1)写出与向量ED相等的向量； (1)作出向量AB,BC,CD: (2)若AB|=3,求向量EC的模 (2)求AD的模 解：(1)四边形ABCD和ABDE都是平行四 解析：（1)作出向量AB, 边形， ∴ABLED,ABLDC,从而AB-ED,AB=DC, BC,CD;如图所示. 北 ∴ED=DC,故与向量ED相等的向量是AB,DC (2)由题意得，△BCD是直西AB东 角三角形，其中∠BDC= 南 ()AB=ED,AB=DC,..ED=DC. .ED与DC方向相同，从而E、D、C三点共线. 90°，BC=10√2米，CD=10米，所以BD=10米. ..ECI=EDI+DCI=21ABI=6. ·3 数学·必修第二册 课后。素养提升 对应学生课时P255 基础过关 6.下列说法不正确的是 ( 》 1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速 A.若向量AB与CD是平行向量，则A,B,C,D四点 不一定在同一直线上； 度；⑥路程.其中是向量的有 ( B.若向量a与b平行，且a=|b≠0，则a+b=0 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 或a-b=0; 解析：C[②③④⑤是向量.] C.向量AB的长度与向量BA的长度相等； 2.数轴上点A,B分别对应一1,2，则向量AB的长 D.单位向量都相等. 度是 ( 解析：D[对于A,向量平行时，表示向量的有向线 A.-1 B.2 C.1 D.3 段所在直线可以重合或平行，故A正确.对于B,, a=b≠0，∴a,b都是非零向量，：a∥b,.a与 解析：D[|AB=2-(-1)=3.] b方向相同或相反，∴.a十b=0或a一b=0.故B正 3.下列说法正确的个数为 确.对于C,向量AB与向量BA方向相反，但长度相 ①共线的两个单位向量相等； 等.故C正确.对于D,单位向量除了长度为1，还 ②相等向量的起点相同： 有方向，而向量相等需要长度相等且方向相同.故 ③若AB∥CD,则一定有直线AB∥CD: D错误.] 7.给出以下5个条件： ④若向量AB,CD共线，则点A,B,C,D必在同一直 ①a=b;②a|=|b;③a与b的方向相反；④|a 线上 =0或b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a A.0 B.1 C.2 D.3 ∥b成立的是 (填序号). 解析：A[①错，共线的两个单位向量的方向可能 解析：相等向量一定是共线向量，①能使a∥b;方 方向相反；②错，相等向量的起点和终点都可能不 向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥ b;零向量与任一向量平行，④成立. 相同；③错，直线AB与CD可能重合；④错，AB与 答案：①③④ CD可能平行，则A,B,C,D四点不共线，故选A.] 8.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，则 4.若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各 BDI= 式：①la>|b;②a∥b;③a>0;④|b|=±1，其中 解析：易知AC⊥BD,且∠ABD=30°，设AC与BD 正确的是 A.①④ B.③ C.①②③D.②③ 交于点O,则A0=2AB=1.在R△AB0中，易得 解析：B[a为任一非零向量，故a>0.] |BO=√5，|BD=2B0|=2√5. 5.(多选题)如图，在菱形ABCD 答案：2√3 中，∠BAD=120°，则以下说法 9.设O是正方形ABCD的中心，则 正确的是 A.向量AO,BO,OC,OD是相等的向量 A.与AB相等的向量只有一个 B.向量AO,BO,OC,OD是平行的向量 (不含AB) C.向量AO,BO,OC,OD是模不全相等的向量 B.与AB的模相等的向量有9个（不含AB) D.AO-OC,BO-OD 解析：D[对于A项，AO,BO不 D C.BD的模恰为DA的模的W3倍 共线，故A项错误； D.CB与DA不共线 对于B项，显然OA,OB不平行， 解析：ABC[由于AB=DC,因此与AB相等的向 且O,A,B三点不共线，故B项 错误； 量只有DC,而与AB的模相等的向量有DA,DC, 对于C项，根据正方形的性质，可知AO,BO,OC, AC,CB,AD,CD,CA,BC,BA.因此选项A,B正 OD的模相等，故C项错误； 确；而Rt△AOD中，∠ADO=30°，.1DO|= 对于D项，根据正方形的性质，AO,OC方向相同， 1Di,故Di-51D.固北选项C三确；由 BO,OD方向相同. 又AO,BO,OC,OD的模相等，所以AO=OC,BO 于CB=DA,因此CB与DA是共线的，故选项D错误.] OD,故D项正确.] ·4· 第六章平面向量及其应用 10.在如图的方格纸（每个小方格 能力提升 》 的边长为1)上，已知向量a. 12.一个人从A点出发沿东北方向走了100m到达B (1)试以B为起点画一个向 点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m 量b,使b=a. 到达C点，则此人从C点回到A点的位移 (2)画一个以C为起点的向 为 量c,使c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么. 解析：根据题意画出示意图（图略）.由题意可知， 解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a AB=100,|BC1=100,∠ABC=45°+15°=60， 同向，且长度相等，如图所示.(2) a ∴.△ABC为正三角形，.CA|=100,即此人从C 由平面几何知识可作满足条件的 点回到A点所走的路程为100m.又易知此人行 向量c,所有这样的向量c的终点 走的方向为西偏北15°，所以此人从C点回到A 的轨迹是以点C为圆心，2为半 ,点的位移为沿西偏北15°，长度为100m. 径的圆，如图所示 答案：沿西偏北15°，长度为100m 11.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向 13.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形 OAED,OCFB都是正方形，在如图所示的向 北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地 量中： 沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又 (1)分别找出与AO,BO相等的向量； 向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地. (2)找出与AO共线的向量： (1)画出AD,DC,CB,AB; (3)找出与AO模相等的向量； (2)求B地相对于A地的位置向量. 解：(1)向量AD,DC,CB,AB如 北 (4)向量AO与CO是否相等？ 图所示。 160° 30/D → (2)由题意知AD=BC, 西A 东 0 ∴.AD∥BC且AD=BC,则四边形ABCD为平行 解：(1)AO=BF,BO=AE.(2)与AO共线的向量 四边形， 有BF,CO,DE.(3)与AO模相等的向量有：CO ,AB=DC,则B地相对于A地的位置向量为 DO,BO,BF,CF,AE,DE.(4)向量AO与CO不相 “北偏东60°，长6千米” 等，因为它们的方向不相同. 6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 课程标准 素养解读 1.理解并掌握向量加法的概念，了解加法的物理意义， 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟 通过学习向量的加法，重点培养学生的数学抽 练运用这两个法则作两个向量的加法运算. 象和逻辑推理、数学建模素养. 3.了解向量加法的交换律和结合律. 课前。预习学案 对应学生用书P4 [情境引入] 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共 提一个重物，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上 运动，两臂的夹角越小越省力. ·5·