专题09 分式运算中的易错点与技巧突破（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题09 分式运算中的易错点与技巧突破 目录 典例详解 类型一、分式有意义的条件与分式值为0的条件 类型二、分式的通分与约分技巧 类型三、分式的混合运算顺序与符号处理 压轴专练 类型一、分式有意义的条件与分式值为0的条件 1．分式有意义的条件 ① 分母 ≠ 0； ② 若分式含多个因式乘积作分母，则每个因式均不为0； ③ 若分式含多重分母，需逐层确保分母不为0。 2．分式值为0的条件 ① 分子 = 0； ② 同时分母 ≠ 0； ③ 若分子和分母同时为0，则分式无意义（不是值为0）。 【重要性质】 ① 求分式有意义时，令分母≠0，解出的范围不能取等号； ② 若分式化简后与约分前取值范围不同，要特别注意隐含条件； ③ 分式值为0：必须同时满足分子=0且分母≠0；解出分子=0的根后，要逐一代入分母检验，舍去使分母为0的根。 例1．（22-23八年级上·湖南永州·期中）已知关于的分式，求下列问题： (1)当满足什么条件，分式无意义； (2)当满足什么条件，分式有意义； (3)当满足什么条件，分式的值等于0． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据分母为零时，分式无意义解题即可； （2）根据分母不为零时，分式有意义解题即可； （3）根据分式值为0的条件：分子为0，而分母不等于0，解题即可． 【详解】（1）解：由题可得， 解得：或， ∴当或时，分式无意义； （2）解：由题可得， 解得：且， ∴当且时，分式有意义； （3）解：由题可得， 解得， ∴当时，分式的值等于0． 【点睛】本题考查分式有意义，无意义，值为0时的条件，掌握分式值为0时分子为零而分母不为零的条件是解题的关键． 变式1-1．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 变式1-2．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值等于0？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)任何实数， (2)， (3)， 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零． （1）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． （2）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． （3）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． 【详解】（1）解：∵，∴ ∴当x为任何实数时，分式有意义． 当时，分式的值等于0． （2）解：当时，即时，分式有意义． 当时，即时，分式的值等于0． （3）解：当，即，分式有意义． 当时，解得：，当时，分式无意义， 故当时，分式的值为0． 类型二、分式的通分与约分技巧 1．约分技巧 ① 先分解因式（提公因式、公式法、十字相乘）； ② 分子分母公因式约去，注意符号处理； ③ 约分后要检查是否化为最简分式。 2．通分技巧 ① 确定最简公分母（各分母因式的最高次幂乘积）； ② 分子相应乘以补因式； ③ 注意分母互为相反数时，可通过提取负号转化为相同因式。 【重要性质】 ① 分解因式是约分与通分的关键，熟练掌握各种分解方法； ② 符号处理易错，如 b - a = -(a - b)，通分时需统一符号； ③ 通分后分子合并时注意去括号变号问题。 例2．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）约分：．     （2）通分：和． 【答案】（1）；（2） 【详解】本题考查了分式的约分和通分． （1）先将原式的分子分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 解：（1）原式； （2），， 和的最简公分母是， ，． 变式2-1．（25-26八年级上·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【答案】，， 【分析】根据约分的定义，先将，的分子分母分别分解因式，再约去它们的公因式，将两个分式化成最简分式，再根据通分的定义，将两个分式化成同分母的分式，最后根据同分母分式相加减的法则，将两个分式相加，把最后结果化成最简分式即可；本题考查了分式的约分、通分以及同分母分式相加减，熟练掌握约分、通分的概念以及同分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以这两个分式的最简公分母是， 所以， 所以． 变式2-2．（2022八年级上·全国·专题练习）（1）通分：和； （2）约分：． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：（1），； （2）． 【点睛】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． 变式2-3．（20-21八年级·全国·假期作业）约分：（1）； 通分：（2），． 【答案】（1）；（2）=，= 【分析】（1）分子分母先进行因式分解，然后再进行约分即可； （2）先对两个分式的分母进行因式分解，然后再找出最简公分母，进而求解即可． 【详解】解：（1）=； （2）=， =． 【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 类型三、分式的混合运算顺序与符号处理 1．运算顺序 ① 先乘方，再乘除，最后加减； ② 有括号先算括号内； ③ 同级运算从左到右。 2．符号处理 ① 分数线具有括号作用； ② 分式本身符号、分子符号、分母符号可移动； ③ 负号放在分式前面、分子、分母效果相同。 例3．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键． 四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 变式3-1．（25-26八年级上·天津北辰·月考）（1）计算： ① ② （2）先化简，再求值 ①．其中． ②，其中． 【答案】（1）①；②；（2）①，；②， 【分析】本题考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）①根据分式的减法运算法则进行计算即可； ②先进行括号内的分式的减法运算，再计算分式的乘法，即可； （2）①先进行分式的化简，再代值计算即可； ②先进行分式的化简，再代值计算即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）① ， ， 当时，原式． ② ， 当时，原式． 变式3-2．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】对原式括号内得式子进行通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式3-3．（22-23七年级上·安徽宣城·期中）先化简分式，再代入求值：​，其中​是​的整数． 【答案】, 【分析】运用分式的加减乘除运算法则化简，再代入求值就可得解． 【详解】解：原式​ ​ ​， ​，且​为整数， ​可为​，​，​， 又​​，​， ​只能取​． 故当​时， 原式​． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则进行化简是解题的关键，注意取值时要使分式有意义． 一、解答题 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1) (2) (3)无数对 (4) (5) 【分析】（1）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （2）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （3）根据分式值为零的条件可得当； （4）时，即时，分式有意义； （5）且，即时，分式的值为零． 【详解】（1）解：当时，分式无意义，把代入可得，分式无意义； （2）当时，分式无意义，把代入可得当，即时，分式无意义； （3）当，即时，分式无意义，分式无意义的，有无数对； （4）当时，即时，分式有意义； （5）且时，分式值为0，把代入，当且，即时，分式的值为零． 【点睛】此题主要考查了分式无意义，分式值为零，分式的值的条件，关键是注意分式有意义，分母． 2．（22-23八年级下·安徽·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据使分式值为零的条件并结合非负数的性质列出方程求出，的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ∴， ， 解得：，， ． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根，绝对值的非负性，分式值为零及分式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是根据题意求出，的值． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）当取什么值时，分式． (1)分式有意义； (2)分式的值为0． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件即可求解； （2）根据分式值为零的条件即可求解． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得：； （2）解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 4．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1)当时，分式有意义 (2)当时，分式的值为零 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键． （1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 【详解】（1） ； （2）， ， ， 6．（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）通分：和；（2）约分： 【答案】（1）；；（2） 【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）原式． 7．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）（1）约分：； （2）通分：与． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查约分和通分： （1）原式先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可； （2）找出分母的最简公分母求解即可； 【详解】解：（1） ； （2）              8．（23-24八年级下·江西吉安·月考）（1）化简分式：． （2）通分：，． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式化简-约分，通分．熟练掌握通分法则是解题的关键． （1）将分式分子分母分解因式，再约分即可； （2）根据通分法则计算即可． 【详解】解：（1）． （2）最简公分母为， ， ． 9．（24-25八年级下·江苏南京·月考）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 10．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）先化简，再求值：，其中从，2，0，1中任意选取一个数． 【答案】，当时，原式= 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵不能取，2，0， ∴， ∴当时，原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 11．（25-26八年级上·广东湛江·月考）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内的减法，再计算除法，结果化为最简分式．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）先化简，再求值，其中． 【答案】 【分析】由分式的加减乘除运算进行化简，然后把代入计算，即可求出答案． 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减乘除运算顺序和法则，正确的进行化简，是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 13．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）化简求值：，从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 【答案】，当时值为3 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可． 本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则，准确的计算是解题的关键． 【详解】解： ， 因为，，， 所以，，， 因为，且为整数， 所以不等式组中符合条件的整数有，0,或2， 所以当时，原式．（答案不唯一）…… 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09分式运算中的易错点与技巧突破 目录 典例详解 类型一、分式有意义的条件与分式值为0的条件 类型二、分式的通分与约分技巧 类型三、分式的混合运算顺序与符号处理 压轴专练 典例详解 类型一、分式有意义的条件与分式值为0的条件 1.分式有意义的条件 ①分母≠0： ②若分式含多个因式乘积作分母，则每个因式均不为0： ③若分式含多重分母，需逐层确保分母不为0。 2.分式值为0的条件 ①分子=0； ②同时分母≠0： ③若分子和分母同时为0，则分式无意义（不是值为0）。 【重要性质】 ①求分式有意义时，令分母卡0，解出的范围不能取等号： ②若分式化简后与约分前取值范围不同，要特别注意隐含条件； ③分式值为0：必须同时满足分子0且分母≠0；解出分子=0的根后，要逐一代入分母检验，舍去使分 母为0的根。 窗1(2-23八年级上南永州期中)已知关于X的分式：'，求下列向圆 (I)当x满足什么条件，分式无意义： (②)当x满足什么条件，分式有意义； (3)当x满足什么条件，分式的值等于0. 变式1-1.(23-24八年级下全国假期作业)已知分式x+3(x-4 x-3 (1)当x=2时，求分式的值： 1/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)当x为何值时，分式有意义？ (3)当x为何值时，分式的值为0？ 变式1-2.(24-25八年级下·全国·课后作业)当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分 式的值等于0？ 0z0 @, 3210 x-5 方类型二、分式的通分与约分技巧 1.约分技巧 ①先分解因式（提公因式、公式法、十字相乘）： ②分子分母公因式约去，注意符号处理： ③约分后要检查是否化为最简分式。 2.通分技巧 ①确定最简公分母（各分母因式的最高次幂乘积）； ②分子相应乘以补因式； ③注意分母互为相反数时，可通过提取负号转化为相同因式。 【重要性质】 ①分解因式是约分与通分的关键，熟练掌握各种分解方法： ②符号处理易错，如b-a=-(a-b),通分时需统一符号： ③通分后分子合并时注意去括号变号问题。 例2.(2025八年级上全国专题练习)(1)约分：一8x+16 x2-16 (2)通分： 2一和 1 x2-2xx2-4 变式21，(25-26八年级上全国课后作业)将m+”, m2-'m-2mn+m示先约分，再通分，并求两分式 2m'n 之和. 变式22.202八年级上全困专题练习))通分：十和V (2)约分： m2-4m m2-16 变式2-3.(20-21八年级全国假期作业)约分：(1)+6x+9 x2-9 a-1 6 通分：(2) a2+2a+1’a2-1 2/5 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、分式的混合运算顺序与符号处理 1.运算顺序 ①先乘方，再乘除，最后加减： ②有括号先算括号内； ③ 同级运算从左到右。 2.符号处理 ①分数线具有括号作用 ②分式本身符号、分子符号、分母符号可移动； ③负号放在分式前面、分子、分母效果相同。 例3.(2025八年级上江苏泰州专题练习)计算： (((9 x2-8x+16x2-1 x-1 x+2 x2-6.x+9 x2-4 x2-2x+1 2x+2 变式3-1.(25-26八年级上·天津北辰·月考)(1)计算： ①a2 b2 a-ba-b ②x-2） (x+2x+2x-2 (2)先化简，再求值 Ox-_x:_x2-x x-1x2-1x2-2x+1 .其中x=2. ②+y t-r ÷1 2y2 其中r, 3 变式3-2.(22-23七年级下·安徽滁州月考)先化简，再求值： o42}2 变式33.(22-23七年级上·安微宣城期中)先化简分式，再代入求值： {2 a是-1ka2的整数. 压轴专练 一、解答题 3/5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x-y 1.(23-24八年级上全国·课后作业)对于分式 x+2y (I)如果x=1,那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果y=1,那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x,y有多少对？ (④)要使得分式有意义，x,y应有什么关系？ (⑤)如果x=-1,那么y取什么值时，分式的值为零？ 2.(2.23八年级下安徽月考)已知+2+-4-0，求2x+y的值. x-2 3.(23-24八年级下江苏宿迁月考)当x取什么值时，分式- x-1 (1)分式有意义； (2)分式的值为0. 4.(25.26八年级上甘肃定西月考)对于分式-3 x-3 (1)当x取什么值时，分式有意义？ (2)当x取什么值时，分式的值为零？ 5.(23-24八年级下江苏泰州·月考)计算. (1)约分： a2+4ab+4b2 a2-4b2 b a-b (②通分：a2-ab'a2+ab 6.《2324八年级江家期DD通分：和-2)约分：。m” m2+2mn+n2 7.(23-24八年级下江苏盐城期中)(1)约分： x2-y2 x2+xy (2通分：0与证 8.（23-24八年级下江西吉安月考)(1)化简分式：一-4 x2-4x+4 (2)通分：0='2a-2 a I 9.(24-25八年级下·江苏南京·月考)(1)约分： ①-24ryz 8y2z ②a-2a+1 a2-1 4/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11 (2)通分： x2-y’2+灯 10.(22-23七年级下·安徽滁州期中)先化简，再求值： a+2+,84a2-4,其中a从-2,2,0,1 a2-2a4-a2a 中任意选取一个数. 11.(25-26八年级上·广东湛江·月考)化简： x2-4 x-2÷x x2-4x+4x+2x-2 12.(25-26八年级上山东菏泽期末)先化简，再求值1+÷-1.2a-2 ,aaa2-2a+1'其中a= 2 13.(24-25七年级下·安徽淮南期末)化简求值： -1+2）2-1 a+3a2+6a+9,从不等式-4<a<3中选择一个 适当的整数，代入求值. 5/5