微专题 平面向量基本定理（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

微专题 平面向量基本定理 题型一 平面向量基本定理概念辨析 平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 注：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 核心解题方法 1.紧扣定义判正误：牢牢抓住平面向量基本定理的核心条件——基底是同一平面内不共线的两个非零向量、平面内任一向量都能被基底唯一线性表示，以此为依据判断选项。 2.反例法排错：对于错误选项，通过举反例快速排除（如判断“有无数对实数表示向量”时，结合“唯一性”直接否定）。 3.共线充要条件辅助：若出现（为基底），则必满足，此结论可直接用于判断系数关系。 解题注意点 注意区分“存在实数”和“有且只有一对实数”，前者是向量线性表示的前提，后者是基底表示的核心特性；同时明确基底向量一定在同一平面内，且必为非零向量。 1．（2026高一·陕西咸阳·月考）如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（    ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使的实数有无数对 2．【多选】（2026高一·甘肃武威·月考）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对 C．均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，使，则 题型二 基底的概念及辨析 核心解题方法 判断两向量能否作为基底，本质是判断两向量是否共线，常用以下3种方法： 1. 定义法：若存在唯一实数，使得（），则两向量共线，不能作为基底；若无此实数，则不共线，可作为基底。 2. 系数法：已知基底，若待判断向量可表示为，，则与共线。 3. 几何法：结合图形（如平行四边形、正多边形、梯形等）的几何性质，判断向量的方向是否平行/共线（如平行四边形的对边向量共线，不能作为基底）。 解题注意点 1.基底不唯一：一个平面内有无数组不共线向量可作为基底，只要满足不共线即可； 2.零向量不可作为基底：零向量与任意向量共线，无法表示平面内所有向量； 3.基底确定后，向量的线性表示唯一，此特性可反向验证基底的有效性。 3．【多选】（2026高一·全国·随堂练习）下列选项中，正确的是（    ） A．基中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 4．（2026高一·上海·课后作业）下面三种说法：①一个平面内只有一对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；③零向量不可为基中的向量.其中正确的说法是 .（填序号） 5．【多选】（2026高一·辽宁·期末）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．【多选】（2026高三·全国·专题练习）若是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 7．（2026高一·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 8．（2026高三·吉林·月考）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．和能构成一组基底 题型三 用基底表示向量 平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量. 核心解题方法 用基底表示向量的本质是向量的线性运算，核心依托三角形法则和平行四边形法则，常用技巧如下： 1. “拆桥法”：将待表示向量拆分为若干个首尾相连的向量（三角形法则），逐步用基底替代，最终合并同类项； 例：在中，，表示时，拆分为。 2. “中点/分点性质法”：利用线段中点、定比分点的向量性质简化运算，如： 中点：若为中点，则； -定比分点：若，则。 3. “重心/中心性质法”：结合特殊点（三角形重心、平行四边形对角线交点）的向量性质，如： 三角形重心：； 平行四边形对角线交点：。 4. “方程法”：若直接拆分困难，可设待表示向量为基底的线性组合，结合已知条件列方程求解系数。 解题注意点 1.运算时注意向量的方向，避免符号错误（如）； 2.多个向量表示时，优先统一“起点”，便于利用法则运算； 3.梯形、正多边形等特殊图形中，先利用图形的边长比例、平行关系转化向量，再用基底表示。 9．（2026·江苏南通·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 10．【多选】（2026高一·广东深圳·月考）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026高三·广东·学业考试）如图，在中，，用表示，则 ．    12．【多选】（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 13．（2026高二·贵州·月考）如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 题型四 利用平面基本定理求参数 核心解题方法 此类题型的核心依据是基底表示的唯一性：若，且（为基底），则必有，，据此列方程/方程组求参数，常用步骤： 1. 化归：将题目中所有向量统一用指定基底表示，合并同类项，得到待求向量的唯一线性表示式； 2. 对比：根据题中给出的向量线性表示形式，对比同一基底的系数，列出关于参数的方程/方程组； 3. 求解：解方程组，得到参数的值（若为多解问题，需结合几何图形分析参数的取值范围）。 常见考法与技巧 1.单参数求解：直接通过一次系数对比列一元一次方程求解； 2.多参数求解：对比两个基底的系数，列二元一次方程组求解； 3.定比分点型参数：先利用定比分点的向量公式表示向量，再结合基底唯一性求参数； 4.图形动态型参数：结合图形的几何特征（如中点、三等分点、平行）转化向量，再表示、对比系数。 解题注意点 1.先统一基底再对比系数，避免基底不统一导致的错误； 2.若向量涉及点在直线上的条件，可结合“三点共线的向量性质”（如共线，则）简化参数求解； 3.求解后可将参数代入验证，确保向量表示的一致性。 14．（2026高一·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 15．【多选】（2026高三·辽宁·期末）在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 16．【多选】（2026高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在中，为线段的一点，且，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 17．【多选】（2026·广东梅州·模拟预测）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 18．（2026高三·广东惠州·月考）所在平面内一点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026高三·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 题型五 平面向量基本定理的综合应用 核心解题方法 此类题型是前四类的综合，常结合向量数量积、三点共线、三角形性质（重心、垂心、外心）、代数最值等知识点，核心解题思路为： 1. 基底化：将所有待处理向量（如求数量积、模长的向量）统一用一组确定的基底表示，转化为基底的线性运算； 2. 代数化：利用向量的数量积、模长公式，将向量问题转化为代数运算问题（如求函数最值、解三角方程）； 例：求时，先将用基底表示，再展开为、、的组合，代入已知条件计算。 3. 几何化：结合图形的几何性质（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形），简化基底的数量积、模长计算（如等边三角形中）； 4. 最值化：若涉及参数最值，将待求式表示为关于参数的函数（如一次函数、二次函数、分式函数），利用基本不等式、二次函数性质求最值。 20．（2026高三·湖南长沙·月考）已知在中，是的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2026高一·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，，D为BC中点，则 ． 22．（2026高三·河北沧州·期末）已知是边长为4的等边三角形，点，满足，，则（   ） A． B．0 C．3 D．6 23．（2026高三·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 24．（2026高三·河北邯郸·期中）在平行四边形中，，是的中点，是上靠近的三等分点，交于点，若，则 . 25．（2026高三·天津蓟州·期末）在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示 ；向量在上的投影向量的模的最小值为 . 26．（2026高一·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 平面向量基本定理 题型一 平面向量基本定理概念辨析 平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 注：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 核心解题方法 1.紧扣定义判正误：牢牢抓住平面向量基本定理的核心条件——基底是同一平面内不共线的两个非零向量、平面内任一向量都能被基底唯一线性表示，以此为依据判断选项。 2.反例法排错：对于错误选项，通过举反例快速排除（如判断“有无数对实数表示向量”时，结合“唯一性”直接否定）。 3.共线充要条件辅助：若出现（为基底），则必满足，此结论可直接用于判断系数关系。 解题注意点 注意区分“存在实数”和“有且只有一对实数”，前者是向量线性表示的前提，后者是基底表示的核心特性；同时明确基底向量一定在同一平面内，且必为非零向量。 1．（2026高一·陕西咸阳·月考）如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（    ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使的实数有无数对 【答案】B 【分析】根据基底的概念和平面向量共线的充要条件可判断选项A；根据平面向量基本定理即可逐一进行判断选项B、C、D.. 【详解】对于A，因为是平面内所有向量的一个基底，所以，不共线. 根据向量共线的充要条件可得：若存在实数使成立，则，故A错误； 对于B，根据平面向量基本定理可判断B正确； 对于C，根据平面向量基本定理可得：一定在平面内，故C错误； 对于D，根据平面向量基本定理可得：对于平面内任意向量，使的实数有且只有一对，故D错误； 故选：B. 2．【多选】（2026高一·甘肃武威·月考）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对 C．均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，使，则 【答案】BC 【分析】运用平面向量基本定理可判断A项、B项、D项，通过举反例可判断C项. 【详解】由题意可知：可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A项、D项正确，B项不正确； 对于C项，当时，则， 此时任意实数均有，故C项不正确. 故选：BC. 题型二 基底的概念及辨析 核心解题方法 判断两向量能否作为基底，本质是判断两向量是否共线，常用以下3种方法： 1. 定义法：若存在唯一实数，使得（），则两向量共线，不能作为基底；若无此实数，则不共线，可作为基底。 2. 系数法：已知基底，若待判断向量可表示为，，则与共线。 3. 几何法：结合图形（如平行四边形、正多边形、梯形等）的几何性质，判断向量的方向是否平行/共线（如平行四边形的对边向量共线，不能作为基底）。 解题注意点 1.基底不唯一：一个平面内有无数组不共线向量可作为基底，只要满足不共线即可； 2.零向量不可作为基底：零向量与任意向量共线，无法表示平面内所有向量； 3.基底确定后，向量的线性表示唯一，此特性可反向验证基底的有效性。 3．【多选】（2026高一·全国·随堂练习）下列选项中，正确的是（    ） A．基中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 【答案】CD 【分析】理解平面内一组不共线的向量可以作为一个基底，对平面内任意向量进行线性表示即可依次判断各选项． 【详解】A．基中的向量是非零向量，错误，不符合题意； B．一个平面内只要有一组不共线的向量就可作为表示该平面内所有向量的基，有无数组，选项错误，不符合题意； C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基，正确，符合题意； D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的，正确，符合题意； 故选：CD． 4．（2026高一·上海·课后作业）下面三种说法：①一个平面内只有一对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；③零向量不可为基中的向量.其中正确的说法是 .（填序号） 【答案】②③ 【分析】平面向量基本定理，因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，判断即可. 【详解】一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基,①错误；②正确； 可以作为基底的向量需要是不共线的向量，零向量不可为基中的向量.③正确； 故答案为：②③. 5．【多选】（2026高一·辽宁·期末）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 6．【多选】（2026高三·全国·专题练习）若是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平面向量基底的定义可逐一判断. 【详解】因为是平面内的一个基底，所以不共线， 对于A，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于B，因，所以与共线，不能作为基底； 对于C，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于D，因不共线，与不共线，所以可以作为基底.. 故选：ACD 7．（2026高一·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 8．（2026高三·吉林·月考）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．和能构成一组基底 【答案】B 【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量的线性运算，对每个选项逐一分析即可判断. 【详解】在正八边形中， 对于A，，所以选项A正确； 对于B，，所以选项B错误； 对于C，在正八边形中，因为，，所以以向量和向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线长度为，因为，所以的方向与向量方向相同，且长度为向量长度的倍，所以，所以选项C正确； 对于D，由图可知向量和为相等向量，所以向量和不共线，故和能构成一组基底，所以选项D正确. 故选：B. 题型三 用基底表示向量 平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量. 核心解题方法 用基底表示向量的本质是向量的线性运算，核心依托三角形法则和平行四边形法则，常用技巧如下： 1. “拆桥法”：将待表示向量拆分为若干个首尾相连的向量（三角形法则），逐步用基底替代，最终合并同类项； 例：在中，，表示时，拆分为。 2. “中点/分点性质法”：利用线段中点、定比分点的向量性质简化运算，如： 中点：若为中点，则； -定比分点：若，则。 3. “重心/中心性质法”：结合特殊点（三角形重心、平行四边形对角线交点）的向量性质，如： 三角形重心：； 平行四边形对角线交点：。 4. “方程法”：若直接拆分困难，可设待表示向量为基底的线性组合，结合已知条件列方程求解系数。 解题注意点 1.运算时注意向量的方向，避免符号错误（如）； 2.多个向量表示时，优先统一“起点”，便于利用法则运算； 3.梯形、正多边形等特殊图形中，先利用图形的边长比例、平行关系转化向量，再用基底表示。 9．（2026·江苏南通·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 10．【多选】（2026高一·广东深圳·月考）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：CD 11．（2026高三·广东·学业考试）如图，在中，，用表示，则 ．    【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，由向量的三角形法则，得 ． 故答案为： 12．【多选】（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由平面向量运算法则逐项计算即可. 【详解】对于A：，故选项 A 正确； 对于B：由 知 在 上，且 ，则 ， 计算得：，故选项B错误； 对于C： 为 中点，则 ，于是： ，故选项C正确； 对于D： ，其中 ， 则：，故选项 D 正确. 故选：ACD 13．（2026高二·贵州·月考）如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形、三角形重心等性质结合平面向量的线性运算即可得所求. 【详解】在平行四边形中，因为为的重心，所以， 则，且， 所以：. 故选：A. 题型四 利用平面基本定理求参数 核心解题方法 此类题型的核心依据是基底表示的唯一性：若，且（为基底），则必有，，据此列方程/方程组求参数，常用步骤： 1. 化归：将题目中所有向量统一用指定基底表示，合并同类项，得到待求向量的唯一线性表示式； 2. 对比：根据题中给出的向量线性表示形式，对比同一基底的系数，列出关于参数的方程/方程组； 3. 求解：解方程组，得到参数的值（若为多解问题，需结合几何图形分析参数的取值范围）。 常见考法与技巧 1.单参数求解：直接通过一次系数对比列一元一次方程求解； 2.多参数求解：对比两个基底的系数，列二元一次方程组求解； 3.定比分点型参数：先利用定比分点的向量公式表示向量，再结合基底唯一性求参数； 4.图形动态型参数：结合图形的几何特征（如中点、三等分点、平行）转化向量，再表示、对比系数。 解题注意点 1.先统一基底再对比系数，避免基底不统一导致的错误； 2.若向量涉及点在直线上的条件，可结合“三点共线的向量性质”（如共线，则）简化参数求解； 3.求解后可将参数代入验证，确保向量表示的一致性。 14．（2026高一·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【详解】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 15．【多选】（2026高三·辽宁·期末）在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分两种情况，分别画出图形，利用平面向量基本定理求解即可. 【详解】由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 故选：BC. 16．【多选】（2026高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在中，为线段的一点，且，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由以及向量减法运算法则得，再根据平面向量基本定理可得结果. 【详解】因为，所以，即， 又，所以，故CD正确. 故选：CD. 17．【多选】（2026·广东梅州·模拟预测）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平行向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解. 【详解】因为，，所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以，. 可知：AD错误，BC正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，要求考生了解平面向量基本定理及其意义. 18．（2026高三·广东惠州·月考）所在平面内一点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的基本定理，求得，，再根据二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】由，得， 所以， 因为， 所以，， 则. 故选：D. 19．（2026高三·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 【答案】/0.4 【分析】设，在中，利用向量加减法的三角形法则表示出，进而表示出；设，同理，在中表示出，根据平面向量基本定理列出方程组，求出，即可得到的值，即可得解. 【详解】因为， 所以. 设，所以①. 因为为的中点，所以. 设，又， 所以 ②. 由①②可得，解得. 所以，所以. 故答案为： 题型五 平面向量基本定理的综合应用 核心解题方法 此类题型是前四类的综合，常结合向量数量积、三点共线、三角形性质（重心、垂心、外心）、代数最值等知识点，核心解题思路为： 1. 基底化：将所有待处理向量（如求数量积、模长的向量）统一用一组确定的基底表示，转化为基底的线性运算； 2. 代数化：利用向量的数量积、模长公式，将向量问题转化为代数运算问题（如求函数最值、解三角方程）； 例：求时，先将用基底表示，再展开为、、的组合，代入已知条件计算。 3. 几何化：结合图形的几何性质（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形），简化基底的数量积、模长计算（如等边三角形中）； 4. 最值化：若涉及参数最值，将待求式表示为关于参数的函数（如一次函数、二次函数、分式函数），利用基本不等式、二次函数性质求最值。 20．（2026高三·湖南长沙·月考）已知在中，是的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算可得，根据长度可求得结果. 【详解】 . 故选：C. 21．（2026高一·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，，D为BC中点，则 ． 【答案】 【分析】利用基底向量表示向量，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】∵D为BC中点，∴， ∵，∴，即，∴， ∴. 故答案为：. 22．（2026高三·河北沧州·期末）已知是边长为4的等边三角形，点，满足，，则（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】C 【分析】利用三角形中位线得到，从而得到，则有，故计算得解. 【详解】解析：如图，作，垂足为， 是边长为4的等边三角形，是的中点，， ，是的中点， ，，， . 故选：C. 23．（2026高三·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设,依题得分别由三点共线和三点共线，利用平面向量基本定理得两个向量方程，求得，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】 如图，不妨设，则 因三点共线，故存在，使, 又因三点共线，故存在，使, 对照可得：，解得， 即， 于是 故选：C. 24．（2026高三·河北邯郸·期中）在平行四边形中，，是的中点，是上靠近的三等分点，交于点，若，则 . 【答案】或 【分析】设，利用三点共线，分别表示出和，根据建立关于的方程组，求出的值，即得，结合，运用数量积的运算律化简得，记，，将其化成，求解即得答案. 【详解】 如图，设，记， ，则，， 是上靠近的三等分点，则， 由图知，三点共线，故存在，使得， 又是的中点，则， 由图知，三点共线，故存在，使得， 因为，所以得，解得， 故，又， 由可得， 展开得，即， 也即，设，则，解得或. 故答案为：或. 25．（2026高三·天津蓟州·期末）在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示 ；向量在上的投影向量的模的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得到，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】设 如图，因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 向量在上的投影向量的模的最小值为 故答案为：，. 26．（2026高一·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由题可得，结合重心性质及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因，则. 又，由平面向量基本定理可得： . 则，，故三角形是等腰直角三角形. 故选：D 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $