微专题 平面向量的坐标表示（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

微专题 平面向量的坐标表示 题型一 平面向量正交分解的理解 向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 核心解题方法 1.定义法理解正交分解：正交分解的本质是将向量分解为两个互相垂直的正交基底（如x轴、y轴正方向的单位向量）的线性组合，即，有序数对即为分解后的坐标。 2.坐标直接读取法：若向量在平面直角坐标系中以原点为起点，可直接根据终点在坐标轴上的投影值读取正交分解的坐标；若为非原点起点，先求向量坐标，再对应正交基底的系数。 3.线性运算法求分解坐标：已知标准正交基和向量的线性表达式，通过合并同类项整理为的形式，直接得到坐标。 解题注意点 1.正交基底必须是互相垂直的非零向量，标准正交基还需满足单位长度； 2.正交分解的坐标与向量的位置无关，仅与大小和方向有关。 1．（2026高一·全国·课后作业）如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标 2．（2026高一·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·海南省直辖县级单位·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 4．（2026高一·全国·课后作业）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 题型二 平面向量的坐标表示 1.向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 注：关于平面向量的坐标表示 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． (3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 2.向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 注：点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． 5．（2026高一·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2026高一·全国·专题练习）判断正误，正确的画“正确”，错误的画“错误”． （1）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( ) （2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) （3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( ) （4）终点的坐标与向量的坐标相同.( ) 7．【多选】（2026高一·全国·课后作业）已知，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．当是原点时，点的坐标是 D．当是原点时，点的坐标是 8．（2026高一·吉林四平·月考）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 9．（2026高一·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，，，则向量（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·天津河北·期中）已知向量，且点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（2026高一·新疆喀什·月考）已知平行四边形的三个顶点的坐标为，则顶点的坐标为 . 题型三 平面向量加、减运算的坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 13．（2026高一·河南郑州·期末）已知，，,则（   ） A． B． C． D． 14．（2026高二·山西运城·月考）若向量，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026高一·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 16．（2026高三·湖南·月考）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 17．（2026高一·广东江门·期中）在中，若，，则向量的坐标为 . 18．（2026高一·广东广州·月考）在平行四边形ABCD中，，，，则的坐标为（   ）. A． B． C． D． 题型四 平面向量数乘运算的坐标表示 核心解题方法 1.数乘坐标法则：设，，则，即实数与向量的数乘，等于实数分别乘向量的横、纵坐标。 2.线性运算综合法则：设，，，则，先数乘后加减，分步计算。 3.定比分点坐标法：若点在线段上，且，设，，则；若为靠近的三等分点，则，直接代入公式求解。 解题注意点 1.实数与向量数乘的结果仍为向量，坐标需保留横、纵两个分量，不可单独计算； 2.定比分点问题中，向量的方向决定的正负，同向为正，反向为负。 19．（2026高二·黑龙江·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026高一·重庆长寿·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 21．（2026高一·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 22．（2026高一·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 23．（2026高一·甘肃武威·期中）已知向量，，，则的值为 ． 24．（2026高一·江苏南京·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 25．（2026高一·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 26．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知点，向量，，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型五 向量共线的判定 核心解题方法 1. 坐标法判定共线（核心） 设，，则，此公式适用于所有非零向量，且可避免分母为0的情况。 2. 定理法判定共线 若存在实数，使得（），则，可通过设列方程验证是否存在解。 3. 三点共线的判定方法 设，，，先求，，再利用坐标共线公式判断，若平行且有公共点，则三点共线。 4. 共线单位向量的求法 先根据共线条件求出与已知向量共线的向量，再将其单位化（除以自身模长），注意共线单位向量有两个（同向和反向）。 解题注意点 1.不可用判定共线，若或为0，此式无意义； 2.判定三点共线时，必须验证有公共点，仅向量平行不能直接得出三点共线。 27．（2026高一·上海·课后作业）若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 28．【多选】（2026高一·山西长治·期中）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 29．（2026高二·北京·学业考试）下列向量中，与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 30．（2026高一·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 31．【多选】（2026高一·广东东莞·月考）已知两点，，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 32．（2026高一·北京·期中）已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 33．（2026高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 题型六 利用向量共线的坐标表示求参数 核心解题方法 1.直接列方程法（核心）：根据向量共线的坐标条件，将已知向量坐标代入，列关于参数的一元方程，求解即可。 2.共线定理法：若（），设，根据坐标对应相等列方程组，求解参数和。 3.三点共线转参数法：将三点共线转化为两个向量共线，利用坐标共线公式列方程，求解参数；若涉及方向相反的共线，需在共线基础上增加的条件。 4.共线结合最值法：先由共线条件得到参数间的等量关系，再结合基本不等式（如）或函数性质求参数的最值。 解题注意点 1.若题目要求同向/反向共线，需在共线的基础上对参数进行符号限定，避免多解； 2.涉及多个向量共线时，需逐一验证，确保所有共线条件均满足。 34．（2026高三·全国·专题练习）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．6 D．9 35．（2026高三·福建漳州·月考）已知向量，，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．（2026高一·云南文山·期中）已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 37．（2026高一·陕西咸阳·期末）已知向量，，，若与共线，则的最小值为 . 38．（2026高一·浙江宁波·期末）已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 39．（2026高一·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 题型七 向量数量积的坐标表示 核心解题方法 1.坐标数量积公式（核心）：设，，则，即横坐标相乘加纵坐标相乘。 2.线性运算后求数量积：若所求数量积的向量为线性组合形式（如与的数量积），先利用数乘、加减法则求出向量坐标，再代入数量积公式。 3.坐标法建系求解：对于平面几何中的数量积问题（如三角形、正方形、平行四边形），以某点为原点建立平面直角坐标系，将所有点转化为坐标，再求向量坐标和数量积，此方法为几何问题代数化的核心技巧。 4.动点数量积的范围求法：设动点坐标为，根据动点的约束条件（如在某线段上）确定的取值范围，再将数量积表示为关于的函数，利用函数单调性求范围。 解题注意点 1.数量积的结果为实数，而非向量，计算后无坐标形式； 2.建系时优先选择有垂直关系的边为坐标轴，简化坐标求解（如正方形的边、直角三角形的直角边）。 40．（2026高二·山东潍坊·月考）已知向量，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 41．（2026高三·北京石景山·期末）已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 42．（2026·河北沧州·模拟预测）已知向量，，若，且，则 ． 43．（山西省太原市2025-2026学年高三学期期末数学试题）在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 44．（2026高三·江西·月考）已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．（2026高三·湖南娄底·期末）在平行四边形中，，，.点G在边上满足，点E为线段上的动点（不含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型八 利用坐标解决向量垂直问题 核心解题方法 1.垂直的坐标条件（核心）：设，，则，此为向量垂直的充要条件，直接列方程求参数。 2.线性组合向量的垂直问题：若，先求出的坐标，再利用垂直的坐标条件列方程，求解参数或。 3.几何垂直的坐标转化：平面几何中两直线垂直，可转化为对应的方向向量垂直，利用坐标垂直条件求解点的坐标或参数。 解题注意点 1.零向量与任意向量垂直，但题目中若无特殊说明，向量均为非零向量； 2.若多个向量两两垂直，需分别列出每对向量的垂直条件，形成方程组求解。 46．（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知，向量，，若，则a的值为 ． 47．（2026高三·河北衡水·期末）已知向量，，若，则 . 48．（湖南岳阳市2026届高三年级教学质量监测（一）数学试题）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 49．（2026高三·河北沧州·月考）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－1 50．（2026高三·广东·期末）已知向量满足，若，则 . 51．（2026高三·安徽亳州·期末）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 题型九 利用坐标解决平面向量的模长问题 核心解题方法 1.向量模长的坐标公式（核心）：设，则，即横、纵坐标的平方和开算术平方根。 2.和/差向量的模长求法：先利用加减法则求出的坐标，再代入模长公式，即。 3.模长条件转化法：若已知，先求出的坐标，再代入模长公式得到关于参数的方程（如一元二次方程），求解参数。 4.模长的最值求法 1.几何法：将向量模长转化为平面内两点间的距离，利用几何图形的性质（如垂线段最短）求最值； 2.代数法：将模长的平方表示为关于参数的函数，利用二次函数、基本不等式求最值（模长平方的最值与模长的最值一致，可避免开方，简化运算）。 3.矩形面积与向量模长结合：矩形中，邻边对应的向量垂直，先利用垂直条件求出参数，再通过向量模长求出邻边长度，进而求面积。 解题注意点 1.模长为非负实数，计算结果需保证根号内为非负数； 2.求模长的最值时，优先计算模长的平方，避免根式运算带来的复杂计算； 3.注意区分向量的模长和点到点的距离，只有当向量以原点为起点时，模长才等于终点到原点的距离 52．（2026高三·福建福州·月考）已知向量，，则 ． 53．（2026高一·辽宁·期末）设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若，，则 . 54．（9-10高一·陕西西安·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A． B． C． D． 55．（2026高三·安徽·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 56．（2026高三·河北石家庄·期中）已知平面向量，若，则（   ） A． B．2 C． D．5 57．（2026高三·贵州·开学考试）在矩形中，，，则 ，矩形的面积为 . 58．（2026高一·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 59．（2026·辽宁·模拟预测）已知向量，向量满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十 利用坐标解决向量夹角问题 核心解题方法 1.夹角公式的坐标形式（核心）：设，，夹角为（），则 · 先计算数量积和模长，再求，最后根据的值和的范围求夹角。 2.平方法求夹角：若已知或，先对其平方，结合数量积公式求出，再代入夹角公式求解。 3.几何问题的夹角求法：建立平面直角坐标系，将几何图形中的向量转化为坐标，再利用夹角公式计算，避免几何法的复杂推理。 解题注意点 1.夹角的范围为，需根据的符号判断夹角为锐角、直角或钝角； 2.计算时注意模长的乘积不为0，即两向量均为非零向量（夹角的前提）。 60．（2026高一·辽宁·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 61．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 62．（2026·江西新余·模拟预测）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 63．（2026高三·贵州·开学考试）设，向量且，则（    ） A． B． C． D． 64．（2026高一·广东梅州·期末）如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 题型十一 向量夹角为锐角或钝角问题 核心解题方法 1. 夹角为锐角的条件 设的夹角为，则为锐角，即 原因：若且共线，则夹角为，并非锐角，需排除共线情况。 2. 夹角为钝角的条件 为钝角，即 原因：若且共线，则夹角为，并非钝角，需排除共线情况。 3. 解题步骤 第一步：根据锐角/钝角的数量积条件，列不等式求出参数的初步范围； 第二步：根据不共线条件，排除参数使两向量共线的情况； 第三步：综合两步结果，得到参数的最终取值范围。 解题注意点 1.切勿遗漏共线的排除条件，这是此类题型的易错点； 2.若题目要求“夹角为锐角或直角”，则条件为且不共线；“夹角为钝角或直角”，则为且不共线。 65．（2026高一·湖北·月考）若，且为锐角，则实数的取值范围是 . 66．（2026高一·天津和平·期末）设向量，，若与的夹角为钝角，则实数x的取值范围为 ． 67．（2026高一·重庆·月考）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 68．（2026高一·山东潍坊·期末）已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 69．（2026高一·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 70．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，，则当与的夹角为钝角时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．无法确定 题型十二 利用坐标法解决投影向量问题 核心解题方法 设，（），求在方向上的投影向量，核心步骤为先求的单位向量，再结合数量积计算，具体分三步： 1. 求的模长：，模长为后续单位向量求解的基础； 2. 求方向的单位向量：与同向的单位向量，单位向量是投影向量的方向依据； 3. 计算投影向量：投影向量，代入、和的坐标，化简后得到投影向量的最终坐标。 投影向量条件求参数的方法 若已知投影向量的具体坐标，将上述投影向量的坐标表达式与已知坐标联立，列关于参数的方程（组），求解即可得到参数值。 解题注意点 1.投影向量是与同向的向量，其坐标形式需保留横、纵两个分量，不可仅计算实数； 2.计算过程中注意根式的化简，避免计算错误； 3.若本身为单位向量，则，投影向量可直接化简为，大幅简化运算 71．（2026高三·山东东营·期末）已知向量，若向量在方向上的投影的数量为，则（   ） A． B． C．1 D．2 72．（2026高三·江西上饶·月考）记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 73．（2026·安徽淮南·模拟预测）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 74．（2026高三·河南南阳·期中）已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．1 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 平面向量的坐标表示 题型一 平面向量正交分解的理解 向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 核心解题方法 1.定义法理解正交分解：正交分解的本质是将向量分解为两个互相垂直的正交基底（如x轴、y轴正方向的单位向量）的线性组合，即，有序数对即为分解后的坐标。 2.坐标直接读取法：若向量在平面直角坐标系中以原点为起点，可直接根据终点在坐标轴上的投影值读取正交分解的坐标；若为非原点起点，先求向量坐标，再对应正交基底的系数。 3.线性运算法求分解坐标：已知标准正交基和向量的线性表达式，通过合并同类项整理为的形式，直接得到坐标。 解题注意点 1.正交基底必须是互相垂直的非零向量，标准正交基还需满足单位长度； 2.正交分解的坐标与向量的位置无关，仅与大小和方向有关。 1．（2026高一·全国·课后作业）如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标 【答案】答案见解析 【分析】根据图中数据可得各向量的坐标. 【详解】， ， ， . 2．（2026高一·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 3．（2026高一·海南省直辖县级单位·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标表示求解即得. 【详解】由，，得，由，得， 因此，所以. 故选：B 4．（2026高一·全国·课后作业）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】判断与的正负，从而可得点A所在的象限. 【详解】因为分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，，，所以可知点A位于第四象限. 故选：D 题型二 平面向量的坐标表示 1.向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 注：关于平面向量的坐标表示 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． (3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 2.向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 注：点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． 5．（2026高一·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示相关概念和性质得到答案. 【详解】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误， 根据向量的坐标表示方法得到②③④正确． 故选：C 6．（2026高一·全国·专题练习）判断正误，正确的画“正确”，错误的画“错误”． （1）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( ) （2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) （3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( ) （4）终点的坐标与向量的坐标相同.( ) 【答案】 错误 正确 错误 错误 【分析】根据向量的坐标表示逐一判断. 【详解】（1）两个向量的终点不同，这两个向量的坐标也有可能相同，（1）错误； （2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标，（2）正确； （3）两向量差的坐标跟两向量的顺序有关，（3）错误； （4）终点的坐标与向量的坐标可能相同，可能不同.（4）错误. 故答案为：错误；正确；错误；错误. 7．【多选】（2026高一·全国·课后作业）已知，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．当是原点时，点的坐标是 D．当是原点时，点的坐标是 【答案】ABC 【分析】根据向量的概念，以及向量的坐标表示，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量与终点、始点的坐标差有关， 所以点的坐标不一定是，故A错误； 同理点的坐标不一定是，故B错误； 当是原点时，点的坐标是，故C错误； 当是原点时，点的坐标是，故D正确. 故选：ABC 8．（2026高一·吉林四平·月考）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 【答案】B 【分析】根据向量坐标定义可判断AD；根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标可判断BC. 【详解】设，由可得， 由平面向量的坐标定义可知，由向量坐标无法确定点A和点B的坐标，故AD错误； 当，则，即B点的坐标为，B正确； 当，，即，即A点的坐标是，C错误. 故选：B． 9．（2026高一·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标”即可求得. 【详解】因为，，所以. 故选：A. 10．（2026高一·天津河北·期中）已知向量，且点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量坐标运算求解即可. 【详解】因为，点，所以点的坐标为. 故选：A 11．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点 ，求出，再列出方程，即可得解. 【详解】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A 12．（2026高一·新疆喀什·月考）已知平行四边形的三个顶点的坐标为，则顶点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，根据得到方程组，求出答案. 【详解】根据题意得，设， 则，解得，， 所以顶点的坐标为. 故答案为：. 题型三 平面向量加、减运算的坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 13．（2026高一·河南郑州·期末）已知，，,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解判断. 【详解】由，，，得， 所以. 故选：B 14．（2026高二·山西运城·月考）若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由即可求解. 【详解】因为，向量，所以， 故选：B. 15．（2026高一·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 16．（2026高三·湖南·月考）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 17．（2026高一·广东江门·期中）在中，若，，则向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可得到结果. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以， 故答案为： 18．（2026高一·广东广州·月考）在平行四边形ABCD中，，，，则的坐标为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】,又，故, 故, 故选：A 题型四 平面向量数乘运算的坐标表示 核心解题方法 1.数乘坐标法则：设，，则，即实数与向量的数乘，等于实数分别乘向量的横、纵坐标。 2.线性运算综合法则：设，，，则，先数乘后加减，分步计算。 3.定比分点坐标法：若点在线段上，且，设，，则；若为靠近的三等分点，则，直接代入公式求解。 解题注意点 1.实数与向量数乘的结果仍为向量，坐标需保留横、纵两个分量，不可单独计算； 2.定比分点问题中，向量的方向决定的正负，同向为正，反向为负。 19．（2026高二·黑龙江·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】由向量可得 . 故选：B 20．（2026高一·重庆长寿·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：C 21．（2026高一·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果.. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，， 所以. 22．（2026高一·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法表示，进而得到，再根据向量加法的坐标运算法则计算即可. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：C 23．（2026高一·甘肃武威·期中）已知向量，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示建立方程组，解之可得，即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以，解得， 所以. 故答案为：-14 24．（2026高一·江苏南京·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 25．（2026高一·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】由题意转化为，再根据坐标表示向量，即可求解. 【详解】设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 故答案为： 26．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知点，向量，，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算得，然后根据向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】由题意得，所以，即， 设，则，所以. 故选：B 题型五 向量共线的判定 核心解题方法 1. 坐标法判定共线（核心） 设，，则，此公式适用于所有非零向量，且可避免分母为0的情况。 2. 定理法判定共线 若存在实数，使得（），则，可通过设列方程验证是否存在解。 3. 三点共线的判定方法 设，，，先求，，再利用坐标共线公式判断，若平行且有公共点，则三点共线。 4. 共线单位向量的求法 先根据共线条件求出与已知向量共线的向量，再将其单位化（除以自身模长），注意共线单位向量有两个（同向和反向）。 解题注意点 1.不可用判定共线，若或为0，此式无意义； 2.判定三点共线时，必须验证有公共点，仅向量平行不能直接得出三点共线。 27．（2026高一·上海·课后作业）若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】令，则，，即向量与共线； 取，，满足与共线，而不成立， 所以是与共线的充分不必要条件. 故选：A 28．【多选】（2026高一·山西长治·期中）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不共线的向量可以作为基底即可逐项判断． 【详解】A选项：，∴不共线，可以作为基底； B选项：，∴不共线，可以作为基底； C选项：，∴不共线，可以作为基底； D选项：，∴共线，不能作为基底； 故选：ABC． 29．（2026高二·北京·学业考试）下列向量中，与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对A：因为，故与共线； 对B：因为，故与不共线； 对C：因为，故与不共线； 对D：因为，故与不共线. 故选：A 30．（2026高一·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单位向量的意义和共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对于A，因为向量的模为，故A错误； 对于B，因为，且向量的模为，故B正确； 对于C，因为向量的模为，故C错误； 对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误. 故选：B. 31．【多选】（2026高一·广东东莞·月考）已知两点，，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量的坐标运算得，再根据向量共线的坐标关系逐项判断即可得结论. 【详解】已知两点，，则， 对于A，，所以符合题意，A是； 对于B，，所以不符合题意，B不是； 对于C，，所以不符合题意，C不是； 对于D，，所以符合题意，D是. 故选：AD. 32．（2026高一·北京·期中）已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】B 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 33．（2026高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 题型六 利用向量共线的坐标表示求参数 核心解题方法 1.直接列方程法（核心）：根据向量共线的坐标条件，将已知向量坐标代入，列关于参数的一元方程，求解即可。 2.共线定理法：若（），设，根据坐标对应相等列方程组，求解参数和。 3.三点共线转参数法：将三点共线转化为两个向量共线，利用坐标共线公式列方程，求解参数；若涉及方向相反的共线，需在共线基础上增加的条件。 4.共线结合最值法：先由共线条件得到参数间的等量关系，再结合基本不等式（如）或函数性质求参数的最值。 解题注意点 1.若题目要求同向/反向共线，需在共线的基础上对参数进行符号限定，避免多解； 2.涉及多个向量共线时，需逐一验证，确保所有共线条件均满足。 34．（2026高三·全国·专题练习）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】C 【分析】求出、的坐标，再由向量共线的坐标运算可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 又，则，解得. 故选：C. 35．（2026高三·福建漳州·月考）已知向量，，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】首先利用向量的加减法则求出向量的坐标，然后根据向量平行求出参数即可. 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 解得. 故选：D. 36．（2026高一·云南文山·期中）已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】分析可知向量、不共线，根据题意可知，所以存在实数使，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，结合可解得的值. 【详解】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使， 即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 37．（2026高一·陕西咸阳·期末）已知向量，，，若与共线，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用两向量共线得出，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 向量，，，与共线， ∴， ∴， 当且仅当即时，等号成立， ∴， 故答案为：2. 38．（2026高一·浙江宁波·期末）已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】依题意，，且，则， 所以. 故选：A 39．（2026高一·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 【答案】A 【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可. 【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足， 可知且， 解得，此时，满足题意. 故选：A 题型七 向量数量积的坐标表示 核心解题方法 1.坐标数量积公式（核心）：设，，则，即横坐标相乘加纵坐标相乘。 2.线性运算后求数量积：若所求数量积的向量为线性组合形式（如与的数量积），先利用数乘、加减法则求出向量坐标，再代入数量积公式。 3.坐标法建系求解：对于平面几何中的数量积问题（如三角形、正方形、平行四边形），以某点为原点建立平面直角坐标系，将所有点转化为坐标，再求向量坐标和数量积，此方法为几何问题代数化的核心技巧。 4.动点数量积的范围求法：设动点坐标为，根据动点的约束条件（如在某线段上）确定的取值范围，再将数量积表示为关于的函数，利用函数单调性求范围。 解题注意点 1.数量积的结果为实数，而非向量，计算后无坐标形式； 2.建系时优先选择有垂直关系的边为坐标轴，简化坐标求解（如正方形的边、直角三角形的直角边）。 40．（2026高二·山东潍坊·月考）已知向量，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式求解. 【详解】由向量，得， 由，得，所以. 故选：B 41．（2026高三·北京石景山·期末）已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量加减的坐标运算求出，再根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，，两式联立可得，， . 故选：B. 42．（2026·河北沧州·模拟预测）已知向量，，若，且，则 ． 【答案】 【分析】根据求出的值，结合进行验证，最后代入求值即可. 【详解】因为，所以，即，解得或. 当时，，，此时，，满足； 当时，，，此时，，不满足，舍去； 因此，，， 所以． 故答案为：. 43．（山西省太原市2025-2026学年高三学期期末数学试题）在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则， 设，由得：，即 解得，故， 所以， 故选：C 44．（2026高三·江西·月考）已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，建立平面直角坐标系，设和，利用向量的数量积的坐标运算公式，得到，即可求解. 【详解】以点为原点，以和所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，， 可得，则． 故选C． 45．（2026高三·湖南娄底·期末）在平行四边形中，，，.点G在边上满足，点E为线段上的动点（不含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，利用坐标法表示出，结合的范围，即可得解. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，设， 所以，， 所以，因为，所以， 所以的取值范围为. 故选：A    题型八 利用坐标解决向量垂直问题 核心解题方法 1.垂直的坐标条件（核心）：设，，则，此为向量垂直的充要条件，直接列方程求参数。 2.线性组合向量的垂直问题：若，先求出的坐标，再利用垂直的坐标条件列方程，求解参数或。 3.几何垂直的坐标转化：平面几何中两直线垂直，可转化为对应的方向向量垂直，利用坐标垂直条件求解点的坐标或参数。 解题注意点 1.零向量与任意向量垂直，但题目中若无特殊说明，向量均为非零向量； 2.若多个向量两两垂直，需分别列出每对向量的垂直条件，形成方程组求解。 46．（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知，向量，，若，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据条件得出两个向量的数量积为0，再使用向量数量积的坐标运算解决即可. 【详解】由，得，即，解得． 故答案为： 47．（2026高三·河北衡水·期末）已知向量，，若，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求出即可. 【详解】因为，所以， 又向量，， 所以，解得：， 故答案为：. 48．（湖南岳阳市2026届高三年级教学质量监测（一）数学试题）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，所以， 若，则，解得， 故选：D. 49．（2026高三·河北沧州·月考）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】由已知得， 因为 ， 所以，解得， 故选：B． 50．（2026高三·广东·期末）已知向量满足，若，则 . 【答案】 【分析】先求出向量坐标，再应用向量垂直的坐标公式计算求解即可. 【详解】，， 由题意可得， 又，， 解得． 故答案为：. 51．（2026高三·安徽亳州·期末）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算，可求得，再利用向量的基底表示法，即可求解. 【详解】由，得， 将坐标代入得，解得， 故， 设， 则解得 即． 故选：C 题型九 利用坐标解决平面向量的模长问题 核心解题方法 1.向量模长的坐标公式（核心）：设，则，即横、纵坐标的平方和开算术平方根。 2.和/差向量的模长求法：先利用加减法则求出的坐标，再代入模长公式，即。 3.模长条件转化法：若已知，先求出的坐标，再代入模长公式得到关于参数的方程（如一元二次方程），求解参数。 4.模长的最值求法 1.几何法：将向量模长转化为平面内两点间的距离，利用几何图形的性质（如垂线段最短）求最值； 2.代数法：将模长的平方表示为关于参数的函数，利用二次函数、基本不等式求最值（模长平方的最值与模长的最值一致，可避免开方，简化运算）。 3.矩形面积与向量模长结合：矩形中，邻边对应的向量垂直，先利用垂直条件求出参数，再通过向量模长求出邻边长度，进而求面积。 解题注意点 1.模长为非负实数，计算结果需保证根号内为非负数； 2.求模长的最值时，优先计算模长的平方，避免根式运算带来的复杂计算； 3.注意区分向量的模长和点到点的距离，只有当向量以原点为起点时，模长才等于终点到原点的距离 52．（2026高三·福建福州·月考）已知向量，，则 ． 【答案】 【分析】先利用向量减法求出，再利用向量模的计算公式求解． 【详解】， ， ． 故答案为：． 53．（2026高一·辽宁·期末）设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若，，则 . 【答案】 【分析】本题首先运用向量的加法求出向量的坐标，根据向量模的公式求解. 【详解】由题意可得，故. 故答案为：. 54．（9-10高一·陕西西安·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 . 故选：B 55．（2026高三·安徽·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由向量的坐标运算及模长公式求得，即可求解. 【详解】， 由题意：， 所以. 故选：C. 56．（2026高三·河北石家庄·期中）已知平面向量，若，则（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】利用向量平行的判定可得到，再利用向量的模长计算公式计算即可. 【详解】平面向量， 因为，所以，解得 因此，， . 故选： C. 57．（2026高三·贵州·开学考试）在矩形中，，，则 ，矩形的面积为 . 【答案】 2 10 【分析】根据垂直关系得到方程，求出，利用求出矩形面积. 【详解】显然，，解得； 矩形的面积为. 故答案为：2，10 58．（2026高一·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先利用向量坐标的加减运算求出和，然后利用向量模的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 由得，即， 解得. 故选：B 59．（2026·辽宁·模拟预测）已知向量，向量满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意可得：，，根据向量减法的运算性质即可得结果. 【详解】由题意可得：， 因为，则， 当且仅当反向时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：A. 题型十 利用坐标解决向量夹角问题 核心解题方法 1.夹角公式的坐标形式（核心）：设，，夹角为（），则 · 先计算数量积和模长，再求，最后根据的值和的范围求夹角。 2.平方法求夹角：若已知或，先对其平方，结合数量积公式求出，再代入夹角公式求解。 3.几何问题的夹角求法：建立平面直角坐标系，将几何图形中的向量转化为坐标，再利用夹角公式计算，避免几何法的复杂推理。 解题注意点 1.夹角的范围为，需根据的符号判断夹角为锐角、直角或钝角； 2.计算时注意模长的乘积不为0，即两向量均为非零向量（夹角的前提）。 60．（2026高一·辽宁·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式列式求解. 【详解】依题意，. 故选：C 61．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，然后对两边平方即可求出的值，然后即可求出的值，最后得出答案． 【详解】因为，所以， 又，，，解得， ，且，， 即向量与的夹角为． 故选：A． 62．（2026·江西新余·模拟预测）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量线性运算的坐标表示，根据数量积与模长的坐标表示，可得答案. 【详解】由，，得，，所以. 故选：B. 63．（2026高三·贵州·开学考试）设，向量且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直关系求出，再利用向量夹角的坐标表示求得答案. 【详解】由向量且，得，则， 所以. 故选：B 64．（2026高一·广东梅州·期末）如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立适当的平面直角坐标系，求出，结合计算即可. 【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 而，从而， 所以. 故选：A. 题型十一 向量夹角为锐角或钝角问题 核心解题方法 1. 夹角为锐角的条件 设的夹角为，则为锐角，即 原因：若且共线，则夹角为，并非锐角，需排除共线情况。 2. 夹角为钝角的条件 为钝角，即 原因：若且共线，则夹角为，并非钝角，需排除共线情况。 3. 解题步骤 第一步：根据锐角/钝角的数量积条件，列不等式求出参数的初步范围； 第二步：根据不共线条件，排除参数使两向量共线的情况； 第三步：综合两步结果，得到参数的最终取值范围。 解题注意点 1.切勿遗漏共线的排除条件，这是此类题型的易错点； 2.若题目要求“夹角为锐角或直角”，则条件为且不共线；“夹角为钝角或直角”，则为且不共线。 65．（2026高一·湖北·月考）若，且为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】把为锐角转化为与的夹角为锐角，然后利用数量积列不等式组求解即可. 【详解】因为为锐角，所以与的夹角为锐角， 又，所以， 解得且. 故答案为：. 66．（2026高一·天津和平·期末）设向量，，若与的夹角为钝角，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围. 【详解】因为与夹角为钝角， 可以得出, 且不平行，则 即且. 即得. 故答案为： 67．（2026高一·重庆·月考）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】两向量的夹角为钝角，等价于两向量的数量积小于零且两向量不反向共线，由此可求参数的取值范围. 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以且不反向共线， 由； 由； 所以，的夹角为钝角，可得的取值范围是：. 故答案为： 68．（2026高一·山东潍坊·期末）已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示与共线的坐标表示计算即可求得的取值范围. 【详解】因为，，所以， 的夹角为钝角； ，且不平行； ； 解得，且； 的取值范围为：． 故选：B． 69．（2026高一·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【详解】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 70．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，，则当与的夹角为钝角时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意有且与不共线，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有且， 故选：C． 题型十二 利用坐标法解决投影向量问题 核心解题方法 设，（），求在方向上的投影向量，核心步骤为先求的单位向量，再结合数量积计算，具体分三步： 1. 求的模长：，模长为后续单位向量求解的基础； 2. 求方向的单位向量：与同向的单位向量，单位向量是投影向量的方向依据； 3. 计算投影向量：投影向量，代入、和的坐标，化简后得到投影向量的最终坐标。 投影向量条件求参数的方法 若已知投影向量的具体坐标，将上述投影向量的坐标表达式与已知坐标联立，列关于参数的方程（组），求解即可得到参数值。 解题注意点 1.投影向量是与同向的向量，其坐标形式需保留横、纵两个分量，不可仅计算实数； 2.计算过程中注意根式的化简，避免计算错误； 3.若本身为单位向量，则，投影向量可直接化简为，大幅简化运算 71．（2026高三·山东东营·期末）已知向量，若向量在方向上的投影的数量为，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先求出，再由向量在方向上的投影的数量为计算可得. 【详解】由向量，可得， 因为向量在方向上的投影的数量为， 由题意可得，解得. 故选：B 72．（2026高三·江西上饶·月考）记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】由题意可得， 故向量在向量方向上的投影向量的坐标为 ， 故选：C 73．（2026·安徽淮南·模拟预测）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法求得，然后利用投影向量的公式求得结果. 【详解】， ∴. 故选：A. 74．（2026高三·河南南阳·期中）已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义列式计算即得. 【详解】因为向量， 则向量在向量上的投影向量为：， 故有，解得. 故选：C. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $