微专题 平面向量在几何与物理中的应用（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

微专题 平面向量在几何与物理中的应用 题型一 用向量证明平行问题 核心解题方法 1.坐标法：建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量坐标，若两向量坐标满足共线条件（，则），可证明向量平行，结合直线是否有公共点，证明直线平行。 2.向量线性运算法：利用平面向量基本定理，将相关向量用基底表示，若能推出，则两向量平行，再结合几何条件证明直线平行。 3.三点共线证明：证明两点构成的向量与另两点构成的向量共线，且两向量有公共点，即可证三点共线（平行的延伸应用）。 解题注意点 1,。证明直线平行时，需注意两直线是否重合，若向量平行且直线有公共点，则直线重合，无公共点才是平行。 2.建立坐标系时，尽量选择特殊点（如直角顶点、中点）为原点，特殊边为坐标轴，简化坐标计算。 3.用线性运算法时，基底的选择要简洁，优先选题目中给定的向量或几何图形中的邻边向量。 1．（2026高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，求得坐标，即可得，且，即可得证 【详解】证明：由题意得， 所以，即， 又，即， 所以四边形ABCD是梯形. 2．（2026高一·全国·课后作业）在梯形ABCD中，，P，Q分别是AC，BD的中点，用平面向量证明. 【答案】证明见解析. 【分析】建立平面直角坐标系，计算出的坐标，得到，进而得到 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设.    由中点坐标公式，得，即，即. 【点睛】本小题主要考查利用向量法证明两条直线平行，属于基础题. 3．（2026高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证. 【详解】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 4．（2026高一·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故 5．（2026高一·河北邯郸·月考）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、相等向量的定义进行证明即可. 【详解】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即； （2）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 6．（2026高二·江西·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近C的三等分点，点F是CD的中点，设，． (1)试用，分别表示与； (2)利用向量法证明：B，E，F三点共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量的三角形合成法则，即可得出答案. （2）用，分别表示出，证明共线，从而证明B，E，F三点共线. 【详解】（1）； ． （2）证明：因为， 所以，所以， 又B是公共点，所以B，E，F三点共线． 题型二 用向量证明线段垂直 核心解题方法 1.数量积法：若两非零向量的数量积为0（），则两向量垂直，进而证明对应的线段垂直，分为坐标形式（）和线性运算形式（将向量用基底表示后计算数量积）。 2.坐标法：建立坐标系，求出线段对应的向量坐标，直接计算数量积，若结果为0则垂直。 解题注意点 1.零向量与任意向量数量积为0，证明时需先说明所证向量为非零向量。 2.利用基底计算数量积时，需熟记基底的模长和夹角，准确运用数量积的运算律（分配律、交换律）。 3.几何图形中，注意利用图形性质（如中点、菱形边长相等、等腰三角形三线合一）转化向量，简化计算。 7．（2026高一·全国·随堂练习）用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 【答案】证明见详解 【分析】根据向量的线性运算结合数量积分析证明. 【详解】对于菱形，可知，即， 因为， 可得，则， 所以菱形的两条对角线互相垂直. 8．（2026高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】用表示出，，然后求数量积即可证明. 【详解】证明：在等腰三角形ABC中，，， 因为D为底边BC的中点，所以， 所以， 所以，即. 9．（2026高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】先得到，，从而利用数量积公式求出，得到垂直关系. 【详解】由题意得，，      故， 因为，所以， 故. 10．（2026高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 11．（2026高一·北京丰台·期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点. ，设. (1)用表示； (2)如果，用向量的方法证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量基本定理结合平面向量的线性运算即可得解； （2）利用数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）由题意， ， ； （2）由（1）得 ， 所以. 12．（2026高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 题型三 用向量解决线段的长度问题 核心解题方法 1.向量模长公式：线段的长度对应向量的模，若，则；若用基底表示，則。 2.坐标法：建立坐标系，求出线段端点坐标，转化为向量坐标后求模。 3.数量积结合几何性质：利用菱形、正方形、等腰三角形等图形的向量关系，结合数量积求模长。 解题注意点 1.求模长时，常通过平方将模长问题转化为数量积问题，避免开方运算，计算后再开方。 2.涉及中点、中线的问题，优先利用向量的中点公式（）转化向量。 3.几何图形中，注意向量的夹角与几何角的关系（相等或互补），避免夹角符号错误。 13．（2026高一·新疆哈密·期末）在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为 . 【答案】 【分析】利用菱形的特点建立平面直角坐标系，再写出点的坐标，最后利用数量积的坐标运算即可求出答案. 【详解】由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，   为菱形，设菱形的边长为，又， ，，，， 是的中点，，， ，即， 菱形的边长为， 故答案为：. 14．（2026高二·广东汕头·月考）如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线定理表示出，然后利用平面向量基本定理求得，，从而求得，即，利用余弦定理求出，即可求解． 【详解】设，因为B，F，E共线， 所以 ， 又因为，所以， 所以，解得， 所以，得， ， 所以，所以，所以， 在中，，，，所以， 所以， 所以． 故选：A 15．（2026高三·内蒙古包头·月考）在中，，为边上的中线，为的中点，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理得又由在方向上的投影向量为，得，又，根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【详解】 如图，在中，为边上的中线，为的中点， 则（*）， 由在方向上的投影向量为，得，则， 由（*）两边平方，可得： ，所以， 故选：D. 16．（2026·河南郑州·模拟预测）在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由平方得：，再由可得，进而利用基本不等式可得最小值． 【详解】由平方得：． 又，所以． 所以． 当且仅当时，取最小值． 故答案为：． 17．（2026高二·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 【答案】 【分析】将求向量的模的最小值转换为求向量的平方的最小值，进而用的代数式表示，最后利用配方法求解. 【详解】 进而化简得 将代入上式， 得. 又因为，故，代入上式化简， 得 故当时，取最小值，即模的最小值为. 故答案为：. 题型四 用向量解决夹角问题 核心解题方法 1.向量夹角公式：设两非零向量的夹角为，则，分为坐标形式（）和线性运算形式。 2.坐标法：建立坐标系，求出夹角对应的向量坐标，代入夹角公式计算。 3.共线定理结合几何条件：先通过向量共线确定点的位置，再求出相关向量，计算夹角。 解题注意点 1.向量夹角的范围是，而几何图形中线段的夹角范围是，计算后需根据几何实际情况取舍夹角（取锐角或直角）。 2.若向量夹角为钝角，需注意排除反向共线的情况（此时，数量积为）。 3.计算时注意向量的方向，确保所求向量是夹角两边对应的向量（共起点）。 18．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 19．（2026高一·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 20．（2026高三·四川成都·月考）在中，为的中点，，与相交于点F，则 ． 【答案】 【分析】先由余弦定理确定形状，建立平面直角坐标系，计算向量的夹角，弦化切计算即可. 【详解】由余弦定理可知, 所以为直角三角形， 不妨以C为中心分别为轴，建立平面直角坐标系，    则由题意可知：， 即，且， 易知， 即是钝角， 所以. 故答案为： 21．（2026高一·陕西西安·月考）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而求解； （2）如图，根据勾股定理和相似三角形的性质可得，结合建立方程，解得，进而求解； （3）由（2），根据计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即， 解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 22．（2026高三·天津静海·月考）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 ．若，则正切的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】利用向量的加法、数乘向量的运算即可化简得出；利用，表示，根据得出，再利用公式以及基本不等式求出其最小值，最后利用求出最大值. 【详解】由题意可得， ； ， 因，则， 即， 则， 等号成立时， 则为锐角， 则， 则正切的最大值为.    故答案为：； 题型五 判断几何图形的形状 核心解题方法 1.向量平行/垂直判定：通过证明向量平行/垂直，判断图形的边是否平行、垂直，确定图形是平行四边形、矩形、菱形、直角三角形等。 2.向量模长判定：通过计算向量的模长，判断图形的边是否相等，确定等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等。 3.数量积判定角的性质：通过数量积的符号，判断角是锐角、直角或钝角，辅助判断图形形状。 4.向量线性运算判定：利用向量的和、差运算，结合几何图形的定义（如平行四边形：对边向量相等）判断。 解题注意点 1.判断图形形状时，需综合判定，如判断矩形需先证是平行四边形，再证有一个直角；判断正方形需先证是矩形，再证邻边相等。 2.利用向量条件转化时，注意等价性，如仅能说明为直角，不能直接判定为直角三角形（需结合三角形定义）。 3.涉及三角形形状判断时，优先将向量条件转化为边或角的关系，结合正余弦定理辅助判断。 23．（2026高一·河南·月考）在中，若 ，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】应用向量数量积的运算律得，即，即可得三角形的形状. 【详解】由题设，则， 而的数量关系无法确定，所以一定是直角三角形，且. 故选：A 24．（2026高三·辽宁·期中）中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（    ） A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】由推导得的平分线垂直于边，进而得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而， 所以，即，于是得是等腰三角形，即， 令直线交于点，则是边的中点，， 而，因此，从而得， 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 25．（2026高一·江苏南通·月考）是所在平面上一点满足的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用向量的减法，数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得， 即， 两边平方得， 所以，则，即， 所以是直角三角形. 故选：B. 26．（2026高三·全国·专题练习）已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 【答案】C 【分析】作的边上的中线，过点作于点，过点作于点，根据数量积的几何意义可得，结合重心性质可得点重合，从而得解. 【详解】作的边上的中线， 因为为的外心，所以． 因为为的重心，所以． 过点作于点，过点作于点． 由及，由于为在方向上的投影向量， 由数量积的几何意义，得．    由及，得．而， 所以点重合，故． 故选：C． 27．（2026高三·山东菏泽·期末）已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质得出，推导出，即可得出结论. 【详解】因为 ， 即，故， 所以为等腰三角形. 故选：B. 题型六 向量在几何中的其他应用 核心解题方法 1.面积问题：利用向量共线判定三点共线，结合三角形中位线、相似三角形等性质，转化面积关系；或利用（为的夹角）计算三角形面积。 2.向量数量积的综合运算：结合几何图形的对称性、正多边形性质（如正六边形、正三角形），利用向量的加减、数量积运算求解定值、和值问题。 3.直线与三角形交点问题：利用向量共线定理设出向量表达式，结合平面向量基本定理列方程，求解点的位置。 解题注意点 1.正多边形中，注意利用向量的对称性和夹角的特殊性（如正六边形内角120°，边长与外接圆半径相等）简化计算。 2.面积比问题中，常转化为线段比（同高三角形面积比等于底边长比），再通过向量共线转化为向量系数比。 3.涉及多个向量求和时，优先利用向量的多边形法则（首尾相连的向量和为零向量）简化运算。 28．（2026高二·辽宁·开学考试）若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以三点共线，根据面积关系得到. 【详解】如图，设分别是的中点． 因为，所以， 即，所以三点共线， 又，故， 为的中位线，故，故， 又，， 所以． 故选：D 29．（2026高一·湖南永州·期中）已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（   ） A．48 B．36 C．24 D．52 【答案】A 【分析】由已知可得，再利用互补的角的余弦值相加等于0，即可求得答案. 【详解】由已知六边形的边长及到各个顶点的长度均为2， 由图可知，同理，   ．又 ， 又由图知，， ． 所以． 故选：A. 30．（2026高一·北京平谷·月考）如图，是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有5个不同的点，设，则 ． 【答案】 【分析】根据已知有为等腰三角形，，，延长交于点，则，应用向量数量积的运算律有，即可求. 【详解】由是三个边长为1的等边三角形， 所以为等腰三角形，，， 所以，， 延长交于点，如下图示，易知， 所以，故， 所以 ， 所以. 故答案为： 31．（2026高一·江苏南通·月考）记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． (1)已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； (2)记，用向量方法证明：． 【答案】(1)①， ；②，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①利用平面向量的线性运算可得出、关于基底的表达式； ②利用平面向量的数量积的运算性质计算的值，即可得出结论； （2）设单位向量，根据结合平面向量数量积的定义和运算性质可证得结论成立. 【详解】（1）①因为，，记，， 则，. ②，证明如下： 因为，，则， 所以，， 且、均为非零向量，则，即； （2）在中，， 设单位向量，则，（*） 又根据数量积的定义得，， ，， 代入（*）式得，， 所以． 题型七 向量与几何最值 核心解题方法 1.坐标法转化为函数最值：建立坐标系，将所求向量的模长、数量积等表示为变量的函数（如一次函数、二次函数、分式函数），利用函数单调性、基本不等式、配方法求最值。 2.向量模长的几何意义：将向量模长转化为平面上两点间的距离，结合几何图形（如圆、直线）的性质，利用数形结合求最值（如垂线段最短）。 3.数量积的最值：利用，结合的范围，或转化为函数求最值。 4.基本不等式法：若所求表达式满足“一正、二定、三相等”，利用基本不等式（）求最值。 解题注意点 1.用函数法求最值时，需先确定变量的取值范围（由几何条件限制），避免忽略定义域导致最值错误。 2.数形结合时，准确把握向量的几何意义，如表示点P到点A的距离。 3.利用基本不等式时，需验证等号成立的条件，确保在几何范围内能取到等号。 4.涉及动点的问题，优先设出动点的坐标（或向量系数），将所求量表示为动点的函数。 32．（2026高三·河南·月考）已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，点在原点，任取两点作为向量坐标，求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 9个点的坐标为，，，，，，，，， 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值， 故的最大值为6. 经检验可知，当，，取其他坐标时，的值均不会超过6. 故选：C. 33．（2026·湖北·模拟预测）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 令，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为40， 故选：D． 34．（2026高三·北京海淀·月考）在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，，表达出其他各边长度，利用计算出数量积为，从而求出最小值. 【详解】设，， 因为为边长为2的等边三角形，， 所以，，，，， 因为，所以为等边三角形，，⊥， 故 ， 故当时，取得最小值. 故答案为： 35．（2026·云南·模拟预测）已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到，两边平方，结合向量数量积公式和，得到，求出答案. 【详解】由已知得， 所以 ， 因为，则， 所以，即. 故选：D. 36．（2026高二·贵州遵义·期中）已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用平行四边形原则作平行四边形，得出其为菱形，根据面积求出点到直线的距离，数形结合可求. 【详解】如图，作平行四边形，设的交点为，点到直线的距离为， 因，，则四边形为菱形，且， 因的面积为，则，得， 则点在与直线平行的直线上，且两直线之间的距离为， 则的最小值为. 故选：C 37．（2026高三·陕西咸阳·月考）在平面四边形中，点，分别是和的中点，且，向量与的夹角为，若，，则的最大值为 . 【答案】16 【分析】根据平面向量的线性运算，以向量与为基底，表示出向量，进而根据向量模长的概念，求出参数的关系式，根据基本不等式，求出参数范围，进而根据二次函数性质，求出结果. 【详解】 如图所示，可知，且， 两式相加得， 由，得，即， 由向量与的夹角为，，，代入得，化简得， 可得，即， 由基本不等式可知时，，当且仅当时取等号， 即，代入得，解得， 由得， 由得，即，得， 可知， 令， 设函数，可知二次函数开口向上，对称轴为， 则在函数单调递增，即在时取最大值， 此时，，最大值为. 故答案为：16. 题型八 奔驰定理与三角形的四心 奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式 是的重心 是的内心 是的外心 是的垂心 备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 38．【多选】（2026高一·云南昆明·期末）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 39．【多选】（2026高二·贵州遵义·月考）已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】因为G为的重心，利用重心的性质依次判断ABCD即可. 【详解】G为的重心（三角形三条中线的交点）， ，而不一定相等， 故不能推出，A错误； 如图：设的中点分别为 则，，，B正确； ，； 同理可得,，C错误； ，D正确. 故选：BD 40．（2026高三·全国·专题练习）已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据可得，同理根据可得：，所以为的垂心. 【详解】由， ，所以. 同理由可得：. 所以为的垂心. 故选：D 41．（2026高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 42．（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 43．（2026高三·全国·专题练习）已知O是斜三角形所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的 心． 【答案】垂 【分析】将已知等式移项，通过向量的减法运算变形，再利用数量积为0说明垂直关系进而判断. 【详解】由 ， 又因为， ， ， 所以，所以， 所以点P在的高线上，即P的轨迹过的垂心. 故答案为：垂. 44．（2026高三·全国·专题练习）已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】令的中点，利用向量的线性运算及数量积的运算律、数量积的定义计算判断. 【详解】令的中点，则，由， 得，即， 因此 ，则，点在的垂直平分线上， 所以动点的轨迹一定经过的外心. 故选：B 45．【多选】（2026高一·湖北·月考）已知O，H在所在平面内，，，记，则下列说法正确的是（    ） A．O为的外心 B．H为的内心 C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角形四心的向量表示，可知O，H分别为的外心和垂心，对于C，运用向量的叠加关系可验证，对于D，对进行平方计算可确定. 【详解】因为 所以O为的外心，故A正确； 由可得 即同理可得 所以H为的垂心，故B错误； 如图， 作直径BD，连接AD， 则 又为三角形ABC的垂心则 同理四边形AHCD为平行四边形， 故C正确； 因为 两边平方可得 故 即 故 由向量的数量积定义： 同理 所以 在中，根据余弦定理得 同理 所以故D错误. 故选：AC. 46．【多选】（2026高一·黑龙江佳木斯·期中）已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（    ） A．是的外心 B．是的重心 C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量的共线定理及运算法则，结合三角形面积公式逐项判断即可求解. 【详解】∵点为的中点，，，∴，，. 又，∴. 取的中点，的中点，连接，，如图所示. 则由向量的加法法则可知：，，∴，. ∴，，三点共线，，，三点共线，∴点为中线和的交点，即是的重心，故选项A错误，选项B正确； 又，故选项C正确； ∵，∴，故选项D错误. 故选：BC. 47．【多选】（2026高一·山东泰安·期中）已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若是的重心，则 C．若为的垂心，，则 D．若分别表示的面积，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由数量积的定义，可得夹角余弦值小于零，可得其正误；对于B，由重心的性质，根据平面向量的加法，可得其正误；由垂心的定义，根据数量积定义式以及锐角三角函数，可得其正误；对于D，由平面向量的加法与数乘，可得点的位置，根据三角形的等积变换，可得其正误. 【详解】对于A，由，则，即， 所以仅仅只可得一个角为锐角，故A错误； 对于B，由题意可作图如下： 则为的中点，且，所以，故B正确； 对于C，由题意可作图如下： 则，所以，故C正确； 对于D，由题意可作图如下： 则分别为的中点，， 可得为上靠近的三等分点，易知，即，故D正确. 故选：BCD. 48．【多选】（2026高三·全国·专题练习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断；对于D，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 49．【多选】（2026高三·全国·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，进而求出余弦值. 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 50．【多选】（2026高三·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则．如图，设是内一点，的三个内角分别为，，，的面积分别为，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】AD 【分析】根据奔驰定理即可求解A，根据重心的性质即可求解B，根据外心的性质，结合三角形面积公式可求解C，利用面积公式，结合内心的性质求解D. 【详解】对于A，由奔驰定理可得，， 因为不共线，所以，故A正确； 对于B，若是的重心，则，因为， 消去，可得，即三点共线，与题意不符，故B错误； 对于C，当为的外心时，，所以， 故由A项结论，， 即，故C错误； 对于D，当为的内心时，， 因，（为内切圆半径，分别为角的对边）， 则，所以，即，故D正确． 故选：AD 题型九 力的合成 力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. 51．（2026高三·山西吕梁·期末）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为三个力作用处于平衡状态，且，，所以， 所以. 故选：B． 52．（2026高一·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 53．（2026高一·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 54．（2026高一·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    【答案】100 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 55．【多选】（2026高一·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 题型十 速度、位移的合成 速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. 56．（2026高三·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，从而得到方程，结合诱导公式求出答案. 【详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短， 则， 又，故，. 故选：C 57．（2026高三·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 58．（2026·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出船的实际速度，用向量表示水流速度，实际船速与船的静水速度的关系，利用向量的数量积的有关运算法则可求水流速度. 【详解】如图： 船的实际过河速度为：.即. 又，即. 所以， 所以， 所以. 即水流速度为：. 故选：B 59．（2026·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B 题型十一 功、动量的计算 功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量.在解决问题时要注意数形结合 60．（2026高二·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积可得到共点力对物体做的功. 【详解】由题意得，共点力的合力为， 对物体做的功为. 故选：B. 61．（2026高一·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 62．（2026·浙江温州·模拟预测）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用条件，先求出两个力的合力及，再利用功的计算公式即可求出结果. 【详解】因为，，所以，又，，所以，故. 故选：A. 63．（2026高一·湖南长沙·期中）如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理得出，再根据求功公式计算即可. 【详解】在中，由正弦定理， ， ∴. 故选：B 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 平面向量在几何与物理中的应用 题型一 用向量证明平行问题 核心解题方法 1.坐标法：建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量坐标，若两向量坐标满足共线条件（，则），可证明向量平行，结合直线是否有公共点，证明直线平行。 2.向量线性运算法：利用平面向量基本定理，将相关向量用基底表示，若能推出，则两向量平行，再结合几何条件证明直线平行。 3.三点共线证明：证明两点构成的向量与另两点构成的向量共线，且两向量有公共点，即可证三点共线（平行的延伸应用）。 解题注意点 1,。证明直线平行时，需注意两直线是否重合，若向量平行且直线有公共点，则直线重合，无公共点才是平行。 2.建立坐标系时，尽量选择特殊点（如直角顶点、中点）为原点，特殊边为坐标轴，简化坐标计算。 3.用线性运算法时，基底的选择要简洁，优先选题目中给定的向量或几何图形中的邻边向量。 1．（2026高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形． 2．（2026高一·全国·课后作业）在梯形ABCD中，，P，Q分别是AC，BD的中点，用平面向量证明. 3．（2026高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 4．（2026高一·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 5．（2026高一·河北邯郸·月考）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 6．（2026高二·江西·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近C的三等分点，点F是CD的中点，设，． (1)试用，分别表示与； (2)利用向量法证明：B，E，F三点共线． 题型二 用向量证明线段垂直 核心解题方法 1.数量积法：若两非零向量的数量积为0（），则两向量垂直，进而证明对应的线段垂直，分为坐标形式（）和线性运算形式（将向量用基底表示后计算数量积）。 2.坐标法：建立坐标系，求出线段对应的向量坐标，直接计算数量积，若结果为0则垂直。 解题注意点 1.零向量与任意向量数量积为0，证明时需先说明所证向量为非零向量。 2.利用基底计算数量积时，需熟记基底的模长和夹角，准确运用数量积的运算律（分配律、交换律）。 3.几何图形中，注意利用图形性质（如中点、菱形边长相等、等腰三角形三线合一）转化向量，简化计算。 7．（2026高一·全国·随堂练习）用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 8．（2026高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 9．（2026高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 10．（2026高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    11．（2026高一·北京丰台·期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点. ，设. (1)用表示； (2)如果，用向量的方法证明：. 12．（2026高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 题型三 用向量解决线段的长度问题 核心解题方法 1.向量模长公式：线段的长度对应向量的模，若，则；若用基底表示，則。 2.坐标法：建立坐标系，求出线段端点坐标，转化为向量坐标后求模。 3.数量积结合几何性质：利用菱形、正方形、等腰三角形等图形的向量关系，结合数量积求模长。 解题注意点 1.求模长时，常通过平方将模长问题转化为数量积问题，避免开方运算，计算后再开方。 2.涉及中点、中线的问题，优先利用向量的中点公式（）转化向量。 3.几何图形中，注意向量的夹角与几何角的关系（相等或互补），避免夹角符号错误。 13．（2026高一·新疆哈密·期末）在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为 . 14．（2026高二·广东汕头·月考）如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 15．（2026高三·内蒙古包头·月考）在中，，为边上的中线，为的中点，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 16．（2026·河南郑州·模拟预测）在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是 ． 17．（2026高二·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 题型四 用向量解决夹角问题 核心解题方法 1.向量夹角公式：设两非零向量的夹角为，则，分为坐标形式（）和线性运算形式。 2.坐标法：建立坐标系，求出夹角对应的向量坐标，代入夹角公式计算。 3.共线定理结合几何条件：先通过向量共线确定点的位置，再求出相关向量，计算夹角。 解题注意点 1.向量夹角的范围是，而几何图形中线段的夹角范围是，计算后需根据几何实际情况取舍夹角（取锐角或直角）。 2.若向量夹角为钝角，需注意排除反向共线的情况（此时，数量积为）。 3.计算时注意向量的方向，确保所求向量是夹角两边对应的向量（共起点）。 18．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 19．（2026高一·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 20．（2026高三·四川成都·月考）在中，为的中点，，与相交于点F，则 ． 21．（2026高一·陕西西安·月考）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 22．（2026高三·天津静海·月考）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 ．若，则正切的最大值为 ． 题型五 判断几何图形的形状 核心解题方法 1.向量平行/垂直判定：通过证明向量平行/垂直，判断图形的边是否平行、垂直，确定图形是平行四边形、矩形、菱形、直角三角形等。 2.向量模长判定：通过计算向量的模长，判断图形的边是否相等，确定等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等。 3.数量积判定角的性质：通过数量积的符号，判断角是锐角、直角或钝角，辅助判断图形形状。 4.向量线性运算判定：利用向量的和、差运算，结合几何图形的定义（如平行四边形：对边向量相等）判断。 解题注意点 1.判断图形形状时，需综合判定，如判断矩形需先证是平行四边形，再证有一个直角；判断正方形需先证是矩形，再证邻边相等。 2.利用向量条件转化时，注意等价性，如仅能说明为直角，不能直接判定为直角三角形（需结合三角形定义）。 3.涉及三角形形状判断时，优先将向量条件转化为边或角的关系，结合正余弦定理辅助判断。 23．（2026高一·河南·月考）在中，若 ，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 24．（2026高三·辽宁·期中）中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（    ） A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 25．（2026高一·江苏南通·月考）是所在平面上一点满足的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 26．（2026高三·全国·专题练习）已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 27．（2026高三·山东菏泽·期末）已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 题型六 向量在几何中的其他应用 核心解题方法 1.面积问题：利用向量共线判定三点共线，结合三角形中位线、相似三角形等性质，转化面积关系；或利用（为的夹角）计算三角形面积。 2.向量数量积的综合运算：结合几何图形的对称性、正多边形性质（如正六边形、正三角形），利用向量的加减、数量积运算求解定值、和值问题。 3.直线与三角形交点问题：利用向量共线定理设出向量表达式，结合平面向量基本定理列方程，求解点的位置。 解题注意点 1.正多边形中，注意利用向量的对称性和夹角的特殊性（如正六边形内角120°，边长与外接圆半径相等）简化计算。 2.面积比问题中，常转化为线段比（同高三角形面积比等于底边长比），再通过向量共线转化为向量系数比。 3.涉及多个向量求和时，优先利用向量的多边形法则（首尾相连的向量和为零向量）简化运算。 28．（2026高二·辽宁·开学考试）若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 29．（2026高一·湖南永州·期中）已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（   ） A．48 B．36 C．24 D．52 30．（2026高一·北京平谷·月考）如图，是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有5个不同的点，设，则 ． 31．（2026高一·江苏南通·月考）记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． (1)已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； (2)记，用向量方法证明：． 题型七 向量与几何最值 核心解题方法 1.坐标法转化为函数最值：建立坐标系，将所求向量的模长、数量积等表示为变量的函数（如一次函数、二次函数、分式函数），利用函数单调性、基本不等式、配方法求最值。 2.向量模长的几何意义：将向量模长转化为平面上两点间的距离，结合几何图形（如圆、直线）的性质，利用数形结合求最值（如垂线段最短）。 3.数量积的最值：利用，结合的范围，或转化为函数求最值。 4.基本不等式法：若所求表达式满足“一正、二定、三相等”，利用基本不等式（）求最值。 解题注意点 1.用函数法求最值时，需先确定变量的取值范围（由几何条件限制），避免忽略定义域导致最值错误。 2.数形结合时，准确把握向量的几何意义，如表示点P到点A的距离。 3.利用基本不等式时，需验证等号成立的条件，确保在几何范围内能取到等号。 4.涉及动点的问题，优先设出动点的坐标（或向量系数），将所求量表示为动点的函数。 32．（2026高三·河南·月考）已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 33．（2026·湖北·模拟预测）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 34．（2026高三·北京海淀·月考）在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为 ． 35．（2026·云南·模拟预测）已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（2026高二·贵州遵义·期中）已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．（2026高三·陕西咸阳·月考）在平面四边形中，点，分别是和的中点，且，向量与的夹角为，若，，则的最大值为 . 题型八 奔驰定理与三角形的四心 奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式 是的重心 是的内心 是的外心 是的垂心 备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 38．【多选】（2026高一·云南昆明·期末）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 39．【多选】（2026高二·贵州遵义·月考）已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 40．（2026高三·全国·专题练习）已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 41．（2026高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 42．（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 43．（2026高三·全国·专题练习）已知O是斜三角形所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的 心． 44．（2026高三·全国·专题练习）已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 45．【多选】（2026高一·湖北·月考）已知O，H在所在平面内，，，记，则下列说法正确的是（    ） A．O为的外心 B．H为的内心 C． D． 46．【多选】（2026高一·黑龙江佳木斯·期中）已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（    ） A．是的外心 B．是的重心 C． D． 47．【多选】（2026高一·山东泰安·期中）已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若是的重心，则 C．若为的垂心，，则 D．若分别表示的面积，则 48．【多选】（2026高三·全国·专题练习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 49．【多选】（2026高三·全国·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 50．【多选】（2026高三·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则．如图，设是内一点，的三个内角分别为，，，的面积分别为，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 题型九 力的合成 力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. 51．（2026高三·山西吕梁·期末）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，则（    ） A． B． C． D． 52．（2026高一·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 53．（2026高一·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 54．（2026高一·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    55．【多选】（2026高一·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 题型十 速度、位移的合成 速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. 56．（2026高三·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 57．（2026高三·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 58．（2026·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 59．（2026·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 题型十一 功、动量的计算 功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量.在解决问题时要注意数形结合 60．（2026高二·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 61．（2026高一·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 62．（2026·浙江温州·模拟预测）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 63．（2026高一·湖南长沙·期中）如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $