5.2.3简单复合函数的导数（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

5.2 导数的运算 第五章 导数及其应用 5.2.3 简单复合函数的导数 学 习 目 标 1 2 3 理解复合函数的概念，掌握复合函数的分解. 结合具体简单复合函数的求导，观察并归纳出简单复合函数的求导法则，并能用导数的定义进行验证. 能应用简单复合函数的求导法则求函数的导数. 复习回顾 导数的四则运算 素养方法 逻辑推理、数学运算. 导数的四则运算 → 导数的四则运算的应用 1 想一想：在上节课中我们如何求函数 的导数？ 2 新知探究 先把函数表达式展开，得 f(x)=x2﹣4x+4 ，再用和、差的求导公式以及幂函数与常数函数的求导公式，得到 追问：还有其他方式求该函数的导数？ 从另一个角度看，函数 也可以看作由两个函数 、 “套”在一起所构成的新函数. 如果一个函数y=f(u)的自变量u又是另一个变量x的函数，那么就可将y直接看作变量x的函数而得到一个新函数y=f(g(x))，这个新函数被称为两个函数的复合函数（composite function）. 3 新知讲解 在对复合函数求导数时，需要先引进一个中间变量，把原来的函数看作两个相对简单的函数的复合，再利用复合函数的求导法则求其导数. 如： 我们不讨论一般复合函数的求导问题，仅考虑由 与 复合而成的型复合函数的求导法则. 因为当 时，有 且注意到h趋近于0当且仅当ah趋近于0，所以 其中， 3 新知讲解 这就给出了 型复合函数的如下求导法则： 3 新知讲解 例9 求 y=ln(2-5x) 的导数. 解：将 y=ln(2-5x) 看作由 y=lnu 与u=2-5x复合而成， 4 举例应用 因为 则 例10 设实数a > 0且a ≠ 1，求证： 4 举例应用 因为 则 解：因为， 解：将 看作由 y=eu 与u=xlna复合而成， 所以 5 巩固练习 利用y=f(ax+b)型复合函数的求导法则求下列函数的导数: 1 解：(1) 将 y=(3﹣2x)2 看作由 y=u2 与u=3﹣2x复合而成， 因为 则 5 巩固练习 利用y=f(ax+b)型复合函数的求导法则求下列函数的导数: 1 解：(2) 将 y=sin2x 看作由 y=sinu 与u=2x复合而成， 因为 则 5 巩固练习 尝试用两种不同的方法求 的导数. 2 解：方法一：因为 将 y=(2x﹣1)﹣1 看作由 y=u﹣1 与u=2x﹣1复合而成， 因为 则 5 巩固练习 尝试用两种不同的方法求 的导数. 2 解：方法二：因为 则 5 巩固练习 求曲线 在点(0,2)处的切线方程 3 解：将 y=21﹣3x看作由 y=2u 与u=1﹣3x复合而成， 因为 则 则曲线 在点(0,2)处切线的斜率为 所以曲线 在点(0,2)处的切线方程为 即 5 巩固练习 求下列函数的导数： 4 解：(1) 将 看作由 与 u=2﹣x 复合而成， 因为 则 5 巩固练习 求下列函数的导数： 4 解：(1) 所以 5 巩固练习 求下列函数的导数： 4 解：(2) 将 看作由 与 u=2x+1 复合而成， 因为 则 5 巩固练习 求下列函数的导数： 4 解：(1) 所以 其中 想一想：按以下步骤探究复合函数求导的一般规律： 6 探究实践 1. 分别求y=(x3﹣2)2、y=u2与u=x3﹣2的导数，并探索三个导数之间的联系？ 解：将 y=(x3﹣2)2 =x6﹣4x3 + 4， 又 则 而 又 则 发现 想一想：按以下步骤探究复合函数求导的一般规律： 6 探究实践 2. 分别求y=sin2x+sinx﹣1、y=u2+u﹣1与u=sinx、的导数，并探索三个导数之间的联系？ 解：因为 sin2x = 又 则 而 又 则 同样有 则 所以 想一想：按以下步骤探究复合函数求导的一般规律： 6 探究实践 3. 根据上述两个特例，猜想复合函数求导的一般规律，并用一些实例验证你的猜想. 复合函数的求导规律： 课堂小结 复合函数 素养方法 逻辑推理、数学运算. 特殊 → 一般 7 y=f(g(x)) y=f(ax+b)型复合函数的求导法则 一般复合函数的求导法则 补充强化练 7 1．求下列函数的导数. 补充强化练 7 2．函数 及其导函数 满足 ， 则 ___________ . 补充强化练 7 3．若函数 为偶函数，其函数图像在点 处的切线方程为 ，则 （    ）. A．－ B． C．－2 D．2 A 感谢聆听!