2.6.1 第2课时 函数单调性的综合应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

　 第 二 章 6.1 函数的单调性 第2课时 函数单调性的综合应用 §6　用导数研究函数的性质 学习目标 1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系．　 2.能求简单的含参的函数的单调区间．　 3.能根据函数的单调性求参数的取值范围． 随 堂 演 练 课 时 精 练 综 合 应 用 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 例1 应用一　求含参函数的单调区间 已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋2)x＋1，其中a∈R.求函数f(x)的单调区间． f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋2)x＋1，定义域为(0，＋∞)， 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间； 利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤 第一步：确定函数f(x)的定义域； 第二步：求导数f′(x)； 第三步：分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； 第四步：在不同的参数范围内，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，确定函数f(x)的单调区间．　　 方法技巧 f′(x)＝－ax2＋2x＝－x(ax－2)， ②当a<0时， ①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，f′(x)＝2x，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞). 应用二　已知函数的单调性比较大小(或解不等式) (2023·陕西西安期中)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，则 A．ef (2)>f(1)，f(2)>ef(1) B．ef(2)>f(1)，f(2)<ef(1) C．ef(2)<f(1)，f(2)<ef(1) D．ef(2)<f(1)，f(2)>ef(1) √ 例2 已知不等式构造函数，常利用乘积或商的导数，然后对构造的函数判断单调性，最后根据单调性比较大小或解不等式即可．　 方法技巧 A．{x|x>－2 020} B．{x|x<－2 020} C．{x|－2 023<x<0} D．{x|－2 023<x<－2 020} √ 解得－2 023<x<－2 020.即不等式的解集为{x|－2 023<x<－2 020}．故选D. y′＝3x2－a. 应用三　已知函数的单调性求参数的取值范围 已知关于x的函数y＝x3－ax＋b. (1)若函数y在(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； 例3 若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上单调递增， 则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2在x∈(1，＋∞)上恒成立， 则a≤(3x2)min. 因为x>1，所以3x2>3. 所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]. (2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值． 此时，函数y＝x3－ax＋b在R上单调递增，与题意不符． 因为(1，＋∞)是函数y的一个单调递增区间， 变式探究 (变条件)将本例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，求a的取值范围． y′＝3x2－a， 当a<0时，y′＝3x2－a>0恒成立，函数y在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根． 所以a>3，所以a的取值范围是(3，＋∞). 1．已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． 2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).　　 方法技巧 依题意f′(x)＝ex－a≥0，a≤ex，由于ex>0，所以a≤0.故选D. 即时练3.函数f(x)＝ex－ax＋1是R上的单调增函数，则a的取值范围是 A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．[0，＋∞) D．(－∞，0] √ (0，＋∞) 索引 索引 由已知f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，x<2时，f′(x)<0，x>2时，f′(x)>0，所以f(x)的减区间是(－∞，2)，增区间是(2，＋∞).故选A. √ 1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是 A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞) 2．若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则 A．a≤0 B．a<1 因为f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A. √ 3．(2023·山东泰安高二期末)已知