第2章 4.1 导数的加法与减法法则&4.2 导数的乘法与除法法则（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学(BS)·选择性必修第二册 (2)[解]设两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),两条 曲线在P(x0,y0）处的斜率分别为k1=cosx0, k2=-sin Io. 要使两条切线互相垂直，必须满足cos zo(一sin zo)=一1， 即sin zocos xo=1,也就是sin2.xo=2,这是不可能的. 两条曲线不存在公共，点，使在这一点处的两条切线互 相垂直. 变式训练 B[=含=4欧，=×示 1 1 . 10/网 (2)解：设切点P(x0yo),由直 f(x) 线1与曲线y=f(x)相切于点 P,得切线1的斜率为f'(xo) =4x0. P g(x) 由直线l与曲线y=g(x)也相 切于点P,得切线1的斜率为g 70 (x0)=20 1 由f(xo)=g'(xo),得4x0= 解得w=子 2√x0 0=四=合即点P的坐标为（仔）月 由点P(什，)在肉线y=f)上.得2X(宁”+a 解得a= 六点P的坐标为（什，号）a的值为受 当堂达标 1.B[由题意得f'(x)=一sinx,故ina=一子又a← (受，）故a后] 2.ABD[(cosx)'=-sinx,故A不正确；(3)y=3·ln3, 1 故B不正确：gx)/=·n0故C正确：(x2)y=- 2x2-1=-2x3,故D不正确.] 3.解析：由导数的公式知，f(x)=2x,g(x)=3x2.因为 f'(x)+1=g'(x),所以2.x十1=3x2,即3.x2-2x-1=0, 解得x=1或x=-3: 1 答案：1或-日 4.解：因为y=sinx,所以y=cosx. 国为向线在点P(后·号)处的切线针率是0s吾-。 2 所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为一昌 所以所来的直线方整为y一日=一后（一合），即“ +5y9=0 ·9 §4导数的四则运算法则 4.1导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则 课前预习学案 知识梳理 知识点一这两个函数导数f(x)十g'(x)f(x)一g(x) 知识点二kf(x) 预习自测 1.(1)/(2)×(3)× 2.D[y=(x3·2r)'=(x3)'·2r+x3·(2)/=3x2·2+2 ·x3ln2.] 3.解析：W'(t)=3t2-12t+16,W'(1)=7/s),W(2)=4J/s). 答案：74 4解折：D(货)-22n2_1-2。 (22)2 2 (2)(xe2)'=e+xe=(1+x)e. 答案：(1)一xln2 (2)(1+x)e 课堂互动学案 [例1[解]1y=(行-号+3x+②)=（传x) (侍）+3r+② =x-4x2+3. (2)法-：y=(3x5-4x3)'(4x5+3x3)+(3.x5-4x3)(4x5+ 3x3)y=(15x4-12.x2)(4x5+3x3)+(3x5-4x3)(20x4+9x2) =60x9-48x7+45.x7-36.x5+60x9-80x7+27.x7-36x5= 120x9-56.x7-72x5. 法二：y=12x10-7x8-12x5,y'=120x9-56.x7-72x5. (3)y'=(3x+4√π3)'=(3x)'+(4x)'=4x寸+6x立= 4匠+6√元 变式训练 1.解：(1)y=2x-2x3. (2)y=(ln3+1)·(3e)r-2rln2. (3y=2+1-2x2.nz x(x2+1)2 (④：y=2-m号ws号=2-如，y=2x [例2][解析](1)由函数y=3sinx,得y'=3cosx, 所以画数在=子处的切线斜丰为3Xms晋-子 [答案]多 (2)解：①由题意，函数的定义域为(0，十o∞)，由f(x)=ax2十 n,得f)=2a叶2，所以K+f)=a+1 ②因为曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜 率为0，问题转化为在x∈(0，十∞)内导函数f(x)=2ax十 存在零点，即(x)=0,所以2ax十上=0有正实数解，即 x 2ax2=-1有正实数解，故有a<0,所以实数a的取值范围 是(-∞，0). 变式训练 2.解：(1)由题可知，当x=一1时，y=一3，故点在曲线上.求 导得： y=2x+2)-(2x=1D= 5 (x十2)2 (x十22，所以当x=-1时得 切线斜率k=5.故切线方程为5x一y十2=0. 答案：5x-y+2=0 (2)解：设P(x0,y%)为切点，则切线斜率为k=f(x)= 3x8-2, 故切线方程为y-%=(3.x-2)(x一x0).① (x0yo)在曲线上，∴y0=x8-2x0.② 又，(1，一1)在切线上， ∴.将②式和(1，-1)代入①式得-1-(x-2x0)=(3.x -2)(1-x0). 督得0=1或w=一子6=1或=一号 故所求的切线方程为y十1=x一1或y十1 =-号(-1D,即xy-2=0或5x+4y-1=0. [例3][解析]因为点P是曲线y=x2-lnx一1上任意 一点，所以当点P处的切线和直线y=x一3平行时，点P 到直线y=x一3的距离最小，因为直线y=x一3的斜率 等于1，肉线y=2-nx一1的学数y=2x-子令y 1,可得x=1或=2（舍去），所以在商线y=2-hx 一1与直线y=x一3平行的切线经过的切，点坐标为(1， 0),所以点P到直线y=x-3的最小距离为d=1一3 √2 =√2. [答案]C 变式训练 3.解析：.y=(x十a)e,∴y=(x十1十a)e, 设切点为(x0yo),则y%=(.x0十a)e。,切线斜率k=(x0 +1+a)ex。, 切线方程为：y-(xo十a)e'o=(xo十1十a)e(x-xo), 切线过原点，∴.-(x0十a)e。=(x0十1十a)e。(-x0), 整理得：x号十ax0一a=0, 切线有两条，.△=a2十4a>0,解得a<-4或a>0, .a取值范围是（一∞，一4）U(0,十o). 答案：(-o∞，-4)U(0,十∞) 当堂达标 1.B[点(1，一1)在曲线y=x3-3.x2十1上，该点处切线 的斜率为k=y'1x=1=(3.x2-6.x)x=1=3-6=-3,.切 线方程为y十1=-3(x-1),即y=-3x十2.] 2.C[.f(x)=2x+2f'(1),∴.f'(1)=2+2f(1),解得 f(1)=-2. ∴.f(x)=2x-4..f(0)=-4.] 3.解析：因为y=a·x“1,所以在点(1,2)处的切线斜率k =a,切线方程为y一2=a(x一1).又切线过原点，故0一2 =a(0-1),解得a=2. 答案：2 ·9 参考答案 4.解：(1)y=(.x3e2)'=(.x3)'e+x3(e2)'=3.x2e+x3e. (2)y= (2sin2sinr2sin( (x2)2 2x2 cos x-4x sin x 2xcos x-4 sin x x §5简单复合函数的求导法则 课前预习学案 知识梳理 知识点一x的函数复合函数y=f((x) [思考] 1.[提示]函数y=log2(x十1)是由y=log2u及u=x十1两个 函数复合而成的. 预习自测 1.(1)/(2)/(3)×(4)X 2.A 3.D[f'(x)=3x2+cos3x·(3x)/=3x2+3cos3x.] 4解析：=[os(至-3x)门=-n(至-3x）(-3) 3sim(径-3x） 答案：3sin(-3x) 课堂互动学案 [例1][解](1)函数y=e2x+1可看作函数y=e“和u= 2x十1的复合函数， ∴.yz'=yw'·uz'=(e“)'(2x+1)'=2e“=2e2x+1 (2)函数y= (2x-1)可看作函数y=u3和u=2x-1的 1 复合函数， yz'=yw′·uz=(u3)'(2.x-1)/=-6u-4= -6(2.x-1)-4=-6 (2x-1)4 (3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1 一x的复合函数， .yz'=yw'·Wx=(5log2u)'·(1-x)'= -5 uln 2 5 =x-1)1n2 (4)函数y=sin(元x十g)可以看成函数y=sinu,u=元x 十口的复合函数 ∴yz'=yw'·u′=(sinu)′·（πx+9)'=cosu·π= πcos(πx十9). 变式训练 1.解：(1)令u=3x-2,则y=10“, 所以yx=y'u·ux'=10ln10·(3.x-2)'=3×103x-2 ln10. (2)令u=ex+x2,则y=lnu, 所以，=.山=子(e+2)y e2+.x2 ·(e+ 2x)=e+2x e2+x2 （3)授y=2sinu,u=3x-吾， 则y,=y。·d,=2cosu×3=6cos(3x-吾）世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 §4导数的四则运算法则 4.1 导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则 课程标准 素养解读 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的1.通过运用导数四则运算法则求解简单的导数问题，培 导数. 养数学运算的核心素养。 2.进一步理解导数的运算与几何意义的综合2.通过导数的综合应用，达成逻辑推理和数学运算的核 应用. 心素养 课前。预习学案 [情境引入] [预习自测] 上节课学习了基本初等函数求导公式和它们的 1.判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打 “X”) 应用.那么导数可以进行四则运算吗？这是我们这节 (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差. 课要研究的问题。 [知识梳理] (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商. [知识点一]导数的加法与减法法则 ( 两个函数和（或差）的导数等于 (3)(z2cos z)'=-2xsin 2. 2.函数y=x3·2的导函数是 的和（或差），即[f(x)十g(x)]'= ,[f(x) A.y=3x2·2 g(x)]丫= B.y'=2x3·2 [知识点二]导数的乘法与除法法则 C.y=3x2·2+21n2 般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是 D.y'=3x2·2+2·x31n2 3.某人拉着一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是 f(x)和g'(x),则[f(x)g(x)了=f(x)g(x)十f(x)g'(x), 时间t(单位：s)的函数，这个函数可以表示为W= -P(2)g(z)-f(z)g(z(g(x)-0). W(t)=t-6t+16t,则W(1),W'(2)分别为 g(z) J/s, J/s. 特别地，当g(x)=k时，有[kf(x)]'= 4.(1) ;(2)(xe)'= 课堂。互动学案 ● 题型一 导数四则运算法则的应用 ◇[变式训练] [例1]求下列函数的导数： 1.求下列函数的导数， (1)y=x2+x2;(2)y=3e-2+e; (2)y=(3x5-4x3)·(4x5+3x3); 3y=片440y=-sm专os受 (3)y=3+4√元. 规律方法 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便 2.含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再 求导. ·50· 第二章导数及其应用 五维课堂兰 题型二利用亭数求曲线的切线方程 题型】 亭数运算法则的综合应用 [例2](1)函数y=3sinx在x=号处的切线斜率为 [例3]若点P是曲线y=x2一lnx一1上任意一点， 则点P到直线y=x一3的最小距离为 () (2)已知函数f(x)=a.x2+lnx的导数为f'(x). A.1 B② ①求f(1)+f(1): C.2 D.2 ②若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数 规律方法 a的取值范围. 解决与切线有关的问题时，要充分运用切点 的坐标.特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标 与导数有着直接的联系。 ◇[变式训练] 3.(2022·新高考I卷)若曲线y=(x+a)e有两条 过坐标原点的切线，则a的取值范围是 [当堂达标] 1.曲线y=x3一3.x2+1在点(1，一1)处的切线方程为 () A.y=3x-4 B.y=-3x+2 规律方法 C.y=-4x+3 D.y=4x-5 求切线的注意点 2.已知f(x)=x2+2f'(1)x,则f(0)等于() 1.求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P A.2 B.-2 处的切线方程，还是求过点P与曲线相切的直 C.-4 D.0 3.若曲线y=x°+1(a∈R)在点(1,2)处的切线经过 线方程 2.本题中点(1，一1)虽然在曲线上，但经过该点的 坐标原点，则a= 切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可 4.求下列函数的导数 能是切线与曲线的交点 (1)y=x3e;(2)y= 2sin x 22 ⊙[变式训练] 2.12021·全国甲卷)围线y--号在点(-1-3) 处的切线方程为 (2)求过点(1，一1)与曲线f(x)=x3一2x相切的 直线方程. C温馨提 学习至此，请完成配套训练 51·