第1章 5 数学归纳法-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世五维课堂 数 课时 间 §4数列在 学 纠错空间 作业 [基础达标练] 1.某工厂2021年年底制订生产计划，要使工厂 的总产值到2028年年底在原有基础上翻两 番，则总产值年平均增长率为 A.2-1 B.2-1 C.37-1 D.3-1 2.现存人银行8万元，年利率为2.50%，若采用 1年期自动转存业务，则5年末的本利和是 ( A.8×1.025万元 B.8×1.0254万元 C.8×1.0255万元 D.8×1.025万元 3.某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期 付款，每期付款b万元，每期为一月，共付12 次，若按月利率0.5%，每月复利一次，则a,b 满足 () Ab-是 方法总结 B.b=a(1+0.5%)12 12 C.b=a(1+0.5%) 12 D <b<a1+0.5%)2 12 4.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不 足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺， 两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自 倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译 过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两 边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进 尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后 两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的 研究，现将墙的厚度改为1200尺，则需要几 天时间才能打穿（结果取整数） () A.12 B.11 C.10 D.9 5.已知甲、乙两车间的月产值在2022年1月份 相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产 值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分 比相同.到2022年7月份发现两车间的月产 值又相同，比较甲、乙两个车间2022年4月份 月产值的大小，则 () A.甲大于乙 B.甲等于乙 C.甲小于乙 D.大小不确定 数学(BS)·选择性必修第二册 日常经济生活中的应用 6.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率 为b,2021年产生的垃圾量为a吨，由此预测， 该区下一年的垃圾量为 吨，2026年 的垃圾量为 吨， 7.某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名 得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的 一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多 一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿 出资金 万元 8.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出 口总量不能超过80吨，该矿区计划从2022年 开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均 比上一年减少10%. (1)以2022年为第一年，设第n年出口量为an 吨，试求a,的表达式； (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问 2022年最多出口多少吨？(0.91°≈0.35，保留 一位小数) [能力提升练] 9.(多选题)计算机病毒危害很大，一直是计算机 学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感 染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染 文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机 病毒传染指数C。即一个病毒文件在一分钟内 平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指 数C。=2,若一台计算机有105个可能被感染 的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感 染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现 只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处 理，则下列说法中正确的是 () A.在第3分钟内，该计算机新感染了18个 文件 B.经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C.10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D.该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文 件数成公比为2的等比数列 第一章数列 10.用分期付款方式购买家用电器一件，价格为 1150元，购买当天先付150元，以后每月这 一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率 为1%.若交付150元后的第一个月开始算分 期付款的第一个月，全部欠款付清后，买这件 家电实际付款 元 11.近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发 展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力 总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁 电机的技术已处于国际领先水平.某公司计 划今年年初用196万元引进一条永磁电机生 产线，第一年需要安装、人工等费用24万元， 从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需 费用比上一年增加8万元，该生产线每年年 产值保持在100万元.则引进该生产线后总 盈利的最大值为 12.某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学， 该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每 天支付38元；第二种，第一天支付4元，第二 天支付8元，第三天支付12元，以此类推；第 三种，第一天支付0.4元，以后每天比前一天 翻一番（即增加一倍）.他选择哪种方案领取 报酬更合算？ [素养培优练] 13.某地本年度旅游业收入估计为400万元，由 于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游 业，预计今后旅游业的收人每年会比上一年 增加子。 (1)求n年内旅游业的总收入； (2)试估计大约几年后，旅游业的总收人超过 8000万元. ·19 课时作业乡 14.去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14 万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环 空 保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增 间 5%,同时，通过环保方式处理的垃圾量每年 增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的 纠错空间 总量（单位：万吨）构成数列{an},每年以环保 方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列 {bn}. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式； (2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从 今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量 年4年开144月号年44号#卡4年# 的计算公式，并计算从今年起5年内通过填 埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. (参考数据1.054≈1.215,1.055≈1.276,1. 1+ 05≈1.340) 年年年年年年年男年年年年年手年年年年于 :e年。年。年年。：年年e 方法总结 ++4+1+十+1++++++ 444+444+4 ++年+。+年。++。 444+4444+441+4444+444 年年4e4+4巴五维课堂 14.解：(1)由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位： 万吨)构成数列{an,每年以环保方式处理的垃圾量（单 位：万吨)构成数列{b, ∴.{an}是以20(1十5%)为首项，1十5%为公比的等比 数列；{bn}是以6十1.5=7.5为首项，1.5为公差的等 差数列，.an=20(1十5%)”，b=6十1.5n. (2)设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量 为Sn, .Sn=(a1-b1)十…十(an-bn)=(a1十a2十…十an)- (b1十b2十…+bn) =(20×1.05十20×1.052十…+20×1.05”)-[7.5十9 +…+(6+1.5n)] -20x1.02X01.052-Ξ(7.5+6+1.5m）= 1-1.05 420×1.05-￥d-￥0-420. 当n=5时，Sn≈63.5. ,今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨. §5数学归纳法 1.C[因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n =k到n=k十1时，等式左边增加了[1十2十3十…十2k 十(2k+1)+2(k+1)]-(1十2+3十·十2k)=(2k+1) 十(2k+2).] 2.C[由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n=3 是否成立.] 3.C[因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S。= 十2十叶① 11 得S+1=千2十6十3十…十26十2十十2(k+D@ 1 1 由@-0，得S+1-S,=2k十十2+D市= 2市一2(k+D,故S+1=S十2k+中12+D] 4.B[依题意得，由n个圆增加到n十1个圆，增加了2n个 交点，这2n个交点将新增的圆分成2n段孤，而每一段孤 都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域， 因此f(n十1)=f(n)十2n.] 5.D[取n=1,则罗号日=之号片 不成立； 取，哈号号片号多清不成 取3子中是多成2 取=，密停=号等计成2 下证：当28时号开成2 当n=3时， 号号片早异片成： 设当n=(k23)时，有二>名成立，则当n=十1 ·5 数学(BS)·选择性必修第二册 3· 2-1+1 2+1 13图为可23 t+3 =4k十1 4k+3 因为禁4路西>0所以 2+1+11 k十1k十1 k十2(k十1)十1' 所以当n=k十1时，不等式也成立， 由数李加销建可加号片对任唐的≥目部成 立，故选：CD.门 6.解析：当n=k时，左端为：(1十1)(2十2)…(k十k),当n =k十1时，左端为：(1十1)(2十2)…(k十k)(k十1十k十 1),由k到k十1需添加的因式为：(2k十2). 答案：2k十2 元解折a=2,=号a=后4=品结测a=己5 2 2 答案：a,一6n-5 8.证明：(1)①当n=1时，左边=1=1， 右边=(-1)°×1X)+)=1,左边=右边，等式成立 2 ②假设n=k(k∈N)时，等式成立，即 12-22+32-42十…+（-1)-12=(-1)-1 .(k+1) 2 则当n=k十1时， 1-22+32-4十…+(-1)-1k2十(-1)(k十1)2= （-1)1.kD+(-1)(k+1) 2 =(-1+D·[+1)-冬] =(-1).6+1)[k+1)+1 2 ∴.当n=十1时，等式也成立， 根据①②可知，对于任何n∈N等式成立. .D[由题意m=长时，最后一项为立n=十1时，菜后 一项为点一2X22干2 1 1 所以由n=k变到n=k十1时，左边增加的项为2干 1 1 2+2十…十2+2，增加了2项.] 10.C[不等式左端共有n十1项，且分母是首项为n,公差 为1，末项为2m的等差数列，当n=k时，左端为万 中广叶宝：当=十1时，在端为十十 1 11 1 1 中2十千3十…十2+2k中1十2十2，对此两式，可得 结论.] 参考答案 11.解析：(k十1)3+5(k+1)=k3十1十3k2十3k十5k+5 =(k3+5k)十3k+3k+6 =(k8十5k)十3k(k+1)+6. :k(k十1)为偶数，3k(k十1)能被6整除， .(k十1)3+5(k十1)应变形为(k3+5k)+3k(k十1) +6. 答案：(k3十5k)十3k(k+1)十6 12.解：1)当n=1时，(S,-1)=,S=号，当m≥2 时，(S-1)2=(S,-S1)SS,=2-S 8=号5= 精想S一nEN: (2)下面用数学归纳法证明： ①当=1时，S=宁片一合猪起正确： ②假设1=人时，猜想正确，即S=片 那么当n=k十1时， 可得812方2高 1 1 k+1 (k+1)+1' 即n=k十1时，猜想也成立， 综上可知，对任意的正整数m,S=都成主 1BABD[a1=-a+a,=-(a,-合)广+若a,∈ (0,）则a1∈(0，）a1-a.=-a<0. .0<an+1<an,A正确；由已知a=an-an+i, ∴ai十a+…十a=(a1-a2)+(a2-ag)+…+(an a,+1)=a1-a1<a1,B正确：由a∈(0，分)及选项A 得<1-a,<1,1<22, 6存在正整数m,使得m>6,此时。十 1一十 …叶。>b成立C正确： 1 已知a<号成立，()级设a<则a1= a=-）)+<-()+又 1 (m十1)+市n+2=一m+2(m+D<0,即 1 思想得D正确.] 3×1 14证明：0当n=1时，左边=1，右边=2-=1，不等 式成立 ②假设当m=k时，不等式成主，即1+号十子 十…十 3k ·5 课时作业兰 剥=十1时，要运1空十十…十是 3(k十1) +1)≥2+1)五， 只需证21十6十1)≥6大1) 1 2k+3 因为3(k士1) 3k 11 3 2k+3 [2k市++1)] =4k+1)-1 1-(k+1)2 k+1)=(k+1)'[4(k+1)'-万 -k(k十2) （k+1)严(4k+8k+3)≤0， 2中7+D≥36 所以。3k 1 2k+3 3(k+1) ++h+D≥2+D片 所以当n=k十1时不等式成立. 由①②知，不等式对一切n∈N+都成立. 第二章导数及其应用 §1平均变化率与瞬时变化率 1.1平均变化率 1.2瞬时变化率 1.D[0=L5-31+△)21-(5-3X12=-6-34.] △t 2.A[ay=3)-1=3-8=24,尉是告=12 故选：A.] 3.B[由已知得m-1--D=3,m+1=3, m-1 ∴.m=2.] 4.B[Ay=f(2+Ax)-f(2)=4(2+Ax)+1-(4×2+1) =4a,则会-袋-4，当4x趋于0时，会趋于3. △x△x 故选B.] 5.BD[设产量与时间的关系为y=f(x),由题图可知 f(3)-f(2)<f(2)-f(1),则前三年该产品产量增长速 度越来越慢，故A错误，B正确，由题图可知从第四年开 始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确， 故说法正确的有BD.] 6.解析：如图，设S为路灯，人的 高度AB,则AB=1.6m,84 8 、B min=子n/ls时人的彩 1.6 子长AC=h,由直角三角形相0 84t A 似得发-卢乞=品m则人影长度的变化建率为 7 7 出_2047 答案：20