第1章 4 数列在日常经济生活中的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世五维课堂 12.解：(1)证明：对2an=a,-1-n-1两边加2n得2(an十 n)=an-1十n-1, 所以a,十n=号[a,1十(n-1],即6=立6- 1 因为6=a十1=-合十1=子，所以教列么是首 项，公比均为号的等比数列，所以6=（侵）广 (2d,=n…(合）=安. =+++++0 工++++叶号+品@ =1 是票以T=2号 (3)迪1)得a,=(合)一，所以c=元 c十cn n2十n P: (+片)+（+名) (1+号-）+…+（1+202s202）=2024 2024· 所以不超过P202的最大的整数是2023. 13.解：(1)设等差数列{an}的公差为d, 依题意有2a,十3d=8, 解得a=1, (a+4d=3a+3d,(d=2, 从而{an}的通项公式为an=2n-1. 2 1 1 （2)因为6，=aa-2n2m市 所以8=（片号）中（付）十…中 (）=1 1、2020 令12m中>202，解得m>1010,故取1=101. 14.解：(1)因为{an是首项为1的等比数列且a1,3a2,9a 成等差数列， 所以6a2=a1十9a,两边同时除以a1得9q2一6g十1= 0,解得g=3 1 所以a=()6，=学-品 (2)法一：由(1)可得Sn= 1 1一3 3 工=方+景+…++0 3” ·5 数学(BS)·选择性必修第二册 0-@得号工=合+子十十…十-3品 1一3 所以工=是(1-安）2 所以.受=(-寺）厂2”(-） 2·3<0, 所以工，<受 法二周为么号※所以工 音-〔受)（品效） 2X3<0 所以T,<受 §4数列在日常经济生活中的应用 1.B[设2021年年底总产值为a,年平均增长率为x,则Q (1十x)2=4a,得x=27-1.] 2.C[定期自动转存属于复利问题，5年末的本利和是8 ×(1+2.50%)5=8×1.0255万元.] 3.D[,b·(1+1.005+1.0052+…+1.0051)=a(1+ 0.005)126<a1+0.005).6a1+0.5%)2 12 又里然12b>a即b>是.] 4.B[大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成等比数列{an, {bn},a1=b1=1,数列{an子的公比为q1=2,数列{bn}的 公比为=子，设需要n天能打穿墙，则a十@十…中 1-2" a.)+(h十b,十…十b,)=12十 =2”+1 1一2 2m=10时，2+1-2=1025-号≈1025< 120.n=1时，2+1-2=2049-2品≈2049> 1200,因此需要11天才能打穿.] 5.A[设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a,乙 每个月比前一个月增加产值的百分比为x,甲、乙两车间 的月产值在2022年1月份同为m, 则由题意得m十6a=m·(1十x),① 4月份甲的产值为m十3a,4月份乙的产值为m·(1+ x),由①知，(1十x)=1+60,即4月份乙的产值为m √+e-m-6a 因为(m十3a)2-(m2十6ma)=9a>0, 参考答案 所以m十3a>√m十6ma,即4月份甲的产值大于乙的 产值.] 6.解析：2021年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在 2021年的垃圾量的基础之上增长了αb吨，所以下一年 的垃圾量为a(1十b)吨；2026年是从2021年起再过5 年，所以2026年的垃圾量是a(1十b)5吨. 答案：a(1十b)a(1十b) 7.解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一 个数列{an},则a1为全部资金，第一名领走资金后剩a2, a=2a-1,依次类推，a,+1=2a,-1,a,+1十2= 号(a,十2.a,十2是一个等比数列，公比为2，首 项为a1十2.a,十2=(a1十2)· 2) .an=(a1十2) (2)】 一2..第6名领走资金后剩 余为a:=(a1+2)×(2) -2=0..a1=126,即全部 资金为126万元. 答案：126 8.解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1 =a,公比g=1-10%=0.9, an=a·0.9m-1 (2)10年的出口总量S。=a-0.g)=10a1 1-0.9 0.91). S1o≤80，.10a(1-0.91°)≤80， 8 即a≤1-0.9，六a≤12.3.故2022年最多出口 12.3吨. 9.ABC[设第n十1分钟之内新感染的文件数为an+1,前 n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn,则am+1=2(Sn 十1)，且a1=2,由a+1=2(S,十1)可得an=2(S,-1十 1),两式相减得：an+1一an=2an, 所以an+1=3an,所以每分钟内新感染的病毒构成以a1 =2为首项，3为公比的等比数列， 所以a,=2×3”-1,在第3分钟内，该计算机新感染了a =2×3-1=18个文件，故选项A正确：经过5分钟，该 计算机共有1十a十a,十a,十a,十a:=1+2X132 1-3 3=243个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机 感染病毒的总数为1十a1十a2十…十a10=1十 2032-3>号×10， 1-3 所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫 痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数 列，故选项D不正确；故选：ABC] 10.解析：购买时付了150元，欠款1000元.每月付50元： 分20次付完，设每月付款数顺次组成数列{an,则a1= 50十1000×0.01=60，a2=50+(1000-50)×0.01= 60-0.5,a3=50+(1000-50×2)×0.01=60-0.5× 2,类推，得an=60-0.5(n-1)(1≤n≤20). ·53 课时作业马 所以付款数{an}组成等差数列，公差d=一0.5，全部贷 款付清后，付款总数为150+S。=150+20a1+20X19 2 ×(-0.5)=150+20×60-20X19=1255. 4 答案：1255 11.解析：设引进设备n年后总盈利为f(n)万元，设除去设 备引进费用，第n年的成本为Qm万元， 则由题意，知{an}为等差数列，其中首项a1=24,公差d= 8,前n年成本之和为[24m十nnDX8]万元， 2 故f(n)=100n-[24n十4n(n-1)+196]=-4n+80n -196=-4(n-10)2+204,n∈N, 所以当n=10时，f(n)mx=204,即总盈利的最大值为 204万元. 答案：204 12.解：设该学生能工作n天，每天领的工资为an元，所有 的工资为Sn元，则第一种方案：anw=38,SnD=38n; 第二种方案：an2,=4n,Sn2)=4(1十2十…十n)=2n +2n: 第三种方第：a=0.4×21,S0=04122) 1-2 0.4(2-1). 令Sna,≥Sn2,即38n≥2n2十2n,解得0≤n≤18. 令Sn1≥Sna,即38n≥0.4(2”-1). 利用计算器求得小于或等于9天时，第一种方案领取报 酬高， 所以当n<10时，选择第一种方案领取报酬. 因为当n≥10时，Sn≤Sa,Sn2,≤Sna, 所以当n≥10时，选择第三种方案领取报酬」 13.解：(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，则a1= 400,an+1= （+子）a=所以。=， 5 所以数列a是公比为子的等比数列。 所以S,=11-g) 4oo-()] 1-q 1- =160[(停)广-]，脚n年内旅游业总收入为 160[(保)广-1]万元. 2②)1D知8=160[（停）广-小 令s,>800.即160[()广-1]>800. 所以（）>6，所以1g()>1g6 所以n 1g6 ≈8.0296.所以大约第9年后，旅游业总 g 收入超过8000万元. 巴五维课堂 14.解：(1)由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位： 万吨)构成数列{an,每年以环保方式处理的垃圾量（单 位：万吨)构成数列{b, ∴.{an}是以20(1十5%)为首项，1十5%为公比的等比 数列；{bn}是以6十1.5=7.5为首项，1.5为公差的等 差数列，.an=20(1十5%)”，b=6十1.5n. (2)设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量 为Sn, .Sn=(a1-b1)十…十(an-bn)=(a1十a2十…十an)- (b1十b2十…+bn) =(20×1.05十20×1.052十…+20×1.05”)-[7.5十9 +…+(6+1.5n)] -20x1.02X01.052-Ξ(7.5+6+1.5m）= 1-1.05 420×1.05-￥d-￥0-420. 当n=5时，Sn≈63.5. ,今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨. §5数学归纳法 1.C[因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n =k到n=k十1时，等式左边增加了[1十2十3十…十2k 十(2k+1)+2(k+1)]-(1十2+3十·十2k)=(2k+1) 十(2k+2).] 2.C[由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n=3 是否成立.] 3.C[因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S。= 十2十叶① 11 得S+1=千2十6十3十…十26十2十十2(k+D@ 1 1 由@-0，得S+1-S,=2k十十2+D市= 2市一2(k+D,故S+1=S十2k+中12+D] 4.B[依题意得，由n个圆增加到n十1个圆，增加了2n个 交点，这2n个交点将新增的圆分成2n段孤，而每一段孤 都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域， 因此f(n十1)=f(n)十2n.] 5.D[取n=1,则罗号日=之号片 不成立； 取，哈号号片号多清不成 取3子中是多成2 取=，密停=号等计成2 下证：当28时号开成2 当n=3时， 号号片早异片成： 设当n=(k23)时，有二>名成立，则当n=十1 ·5 数学(BS)·选择性必修第二册 3· 2-1+1 2+1 13图为可23 t+3 =4k十1 4k+3 因为禁4路西>0所以 2+1+11 k十1k十1 k十2(k十1)十1' 所以当n=k十1时，不等式也成立， 由数李加销建可加号片对任唐的≥目部成 立，故选：CD.门 6.解析：当n=k时，左端为：(1十1)(2十2)…(k十k),当n =k十1时，左端为：(1十1)(2十2)…(k十k)(k十1十k十 1),由k到k十1需添加的因式为：(2k十2). 答案：2k十2 元解折a=2,=号a=后4=品结测a=己5 2 2 答案：a,一6n-5 8.证明：(1)①当n=1时，左边=1=1， 右边=(-1)°×1X)+)=1,左边=右边，等式成立 2 ②假设n=k(k∈N)时，等式成立，即 12-22+32-42十…+（-1)-12=(-1)-1 .(k+1) 2 则当n=k十1时， 1-22+32-4十…+(-1)-1k2十(-1)(k十1)2= （-1)1.kD+(-1)(k+1) 2 =(-1+D·[+1)-冬] =(-1).6+1)[k+1)+1 2 ∴.当n=十1时，等式也成立， 根据①②可知，对于任何n∈N等式成立. .D[由题意m=长时，最后一项为立n=十1时，菜后 一项为点一2X22干2 1 1 所以由n=k变到n=k十1时，左边增加的项为2干 1 1 2+2十…十2+2，增加了2项.] 10.C[不等式左端共有n十1项，且分母是首项为n,公差 为1，末项为2m的等差数列，当n=k时，左端为万 中广叶宝：当=十1时，在端为十十 1 11 1 1 中2十千3十…十2+2k中1十2十2，对此两式，可得 结论.]世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 空 数 课时 间 第2课时 数列求和 纠错空间 学作业 [基础达标练] 1.数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3 [能力提升练] -4十…十（-1)”1·n,则S12= ( A.9 B.8 9.已知数列a,)的前n项和为S,a=子·对任 C.17 D.16 意的n∈N+都有nan=(n十2)am+1,则S221= 2.已知数列{an}的前n项和为Sn,若am= 1 2019 ,Sn=10,则n等于 √n+n+ A.2020 020 A.90 B.119 c. n删 C.120 D.121 10.有穷数列1,1十2,1+2+4，…，1+2+4十… 3.设有穷数列{am}的前n项和为Sn,令Tn= 十2”1所有项的和为 S十S十…十S,称T。为数列a1a…,a n 11.已知数列{an}满足a+1= an 的“凯森和”.已知数列1,2,4，a的“凯森和”为 6,则a= 列{b}满足b,=2-1aa+1,{b}的前n项和 A.6 B.5 为Sn,则Sw= 方法总结 C.4 D.3 12.在数列{an}中，a1=一 2 ,2am=an-1-n-1 4.数列{an}满足a1=1,a2=3,且an+1十2an十 a。-1=0(n≥2)，则{an的前2022项( (n≥2，n∈N+),设bn=an+n. (1)证明：数列{bn}是等比数列： A.8088 B.4044 (2)求数列{nbn}的前n项和Tm; C.-4044 D.0 (3)若c。 an,P。为数列 5在数列{a.}中，a,= n(n+1) ,其前n项和为 的前n项和，求不超过P223的 10 ,则在平面直角坐标系中，直线（十1）x十y ca十cm +n=0在y轴上的截距为 最大的整数. A.-10 B.-9 C.10 D.9 6.数列{an}满足a1=1,且an+1一an=n十1(n∈ 的前10项的和为 7.数列(a,}满足a+2十（-1)"am=3n-1,前16 项和为540，则a1= 8.在等差数列{an}中，a2=4,a4十a,=15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=2。-2+n,求b1十b2十b3+…+b1 的值. ·16· 第一章数列 课时作业乡 [素养培优练] 14.(2021·全国乙卷)设{a}是首项为1的等比 13.已知数列{a,}为等差数列，其中a2十a3=8, a5=3a2: 数列，数列}满足6.="学，已知a,a 幽空 间 (1)求数列{an}的通项公式； 9a3成等差数列. 纠错空间 (1)求{a,}和{bn}的通项公式： 《2)记b=。一，设b,}的前n项和为S。 (2)记S,和T,分别为{am}和{bn}的前n 求报小的正整致使得5，一院 项和. 正明：不<受 44 年44年年44月年144号年144号 4年 年年年年年年年年年 方法总结 ++++++++0+++ 44+年+++4+4+ 。。。。 444+4444+041444444444 ·17·