第1章 5 数学归纳法（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 §5数学归纳法 课程标准 素养解读 1.了解数学归纳法的原理。 在学习数学归纳法的过程中达成数学抽象、逻辑推理的 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题， 核心素养 课前。预习学案 [情境引入] [预习自测] 如图是多米诺骨牌游戏， 1.判断下列说法是否正确（正确的里打“/”，错误的 码放骨牌时，要保证任意相 打“X”) 邻的两块骨牌，若前一块骨牌 (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学 倒下，则一定导致后一块骨牌 归纳法。 ( 倒下.这样，只要推倒第1块 骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下， (2)数学归纳法的第一步。的初始值一定为1. 就可导致第3块骨牌倒下；…，总之，不论有多少块 骨牌，都能全部倒下.根据多米诺骨牌游戏原理，本节 (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( 我们就来介绍一种重要的证明方法—数学归纳法. 2.下面四个判断中，正确的是 ( [知识梳理] A.式子1+k+2+…+k"(n∈N+)中，当n=1时， [知识点一]数学归纳法 式子的值为1 数学归纳法是用来证明某些与 有关的数学 B.式子1+k+2+…+”-1(n∈N+)中，当n=1 命题的一种方法. 时，式子的值为1十 [知识点二]数学归纳法的证明步骤 1.(归纳奠基)证明：当n取 (n,∈N+)时，命 C.武子1++日+时naeN,)中，当n 题成立； 2.（归纳递推)假设n=k(k∈N+,k≥n,)时命题成立， 1时，式子的值为1十号+号 证明当 时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从。开 D设fm)=中十2++nu∈N 1 始的所有正整数n都成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n,开始的正整 则f(k+1)=f(k)+3欢十2十3k+3十3k+4 数n都成立. ?思考数学归纳法的第一步，的初始值是否一定 3已知”为正偶数，用数学归纳法证明1一号十了 为1？ 十…+2+t…时：起 假设n=(≥2为偶数)时命题为真，则还需要用 归纳假设再证n= 时等式成立() A.n=k+1 B.n=k+2 C.n=2k+2 D.n=2(k+2) 4已知了m=1+号+子十…十(n∈N,计算得 f2)= 2,f40>2,f8)>3,f16)>3f(32)> 子，由此推测，当>2时，有 34· 第一章数列 五维课堂兰 课堂。互动学案 题型一 用数学归纳法证明等式」 题型二 归纳二猜想二证明 [例1]用数学归纳法证明：1×4+2×7+3×10+ [例2] 已知数列 1 1X4’4X77X10’…, …+n(3n+1)=n(n十1)2（其中n∈N+). 3-2)3m十的前n项和为S。,计算S,S,S, 1 S4,根据计算结果，猜想S,的表达式，并用数学归 纳法进行证明. 规律方法 1.“归纳一猜想一证明”的一般环节 规律方法 (计算 根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜 用数学归纳法证明等式的方法 想的基础 归纳 通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出 看等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项， 项的多少与n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时， 猜想 一般的结论 等式两边会增加多少项 证明 对一般结论用数学归纳法进行证明 将n=k+1时的式子转化成归纳假设的结 凑假设 2.“归纳一猜想一证明”的主要题型 构相同的形式 凑 ①已知数列的递推公式，求通项或前n项和. 凑结构 利用归纳假设，经过恒等变形，得到结 论所需的形式 ②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问 题，求使命题成立的参数值是否存在】 ◇[变式训练] ③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想 12 22 1.用数学归纳法证明：X3十3X十…+ 并证明对任意正整数n都成立的二般性命题. n nm+1D(n∈N+), ◇[变式训练] (2n-1)(2n+1)2(2n+1) 2.数列{an}满足S,=2n一an（Sn为数列{an}的前n项 和)，先计算数列的前4项，再猜想a。,并证明. 35· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 题型额 数学归纳法的综合应用 [当堂达标] [例3]已知{an}为等比数列且a。=2-1,记b,= 1.满足1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=3n2- 2(log2an十1)(n∈N+),用数学归纳法证明对任意 3n十2的自然数n等于 () 的n∈N,不等式6十1.s+1..6+1 A.1 B.1或2 b C.1,2,3 D.1,2,3,4 √n+1成立. 2知o=日+2++则（ A.fm共有n项，当=2时，f2)=+号 Bf()共有n十1项，当=2时，f(2)=名十号 + Cm)共有发-n项，当=2时，2)=十号 D.f(n)共有-n十1项，当n=2时，f(2)=号十 号+号 规律方法 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两 3用数学归结法证明：宁十京+叶中市>号 凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标 时，比较法、综合法、分析法都适用。 十2假设刀=时，不等式成立，则当=中1时， 应推证的目标不等式是 ⊙[变式训练] 3.已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N均有a≤ 4.已知数列a,}满足a1=2。.u∈N,,且a am一am+1成立. =0. (1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1； (1)计算a2,a3,a4的值，并猜想an的表达式： (2)探究a,与】的大小关系，并证明你的结论. (2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想. n ·36·数学(BS)·选择性必修第二册 4.解：设共有n个水龙头，每个水龙头开放时间依次为x1, 2,. 由已知x2一x1=x3一x2=x4一x3=…=xn一工-1，数列 {x}是等差数列，每个水龙头1min放水2m所以 1+,t…+=1,即S=24,即1+2n)”=24,所 24n 2 以2（十x)=24,十x,=48.又因为x=51,所以 6.x1=48,x1=8,xw=5.x1=40. 故最后关闭的这个水龙头放水的时间是40min. §5数学归纳法 课前预习学案 知识梳理 知识点一、正整数n 知识点二、1.第一个值2.n=k十1 [思考] [提示]不一定.如证明n边形的内角和为(1一2)·180，第 一个值0=3. 预习自测 1.(1)×(2)×(3)/ 2.C[A中，n=1时，式子=1+k;B中，n=1时，式子=1：C 中m=1时，式子=1十2+子D中，+D=f)+3十2 十3动十3十欢十4中故正确的是C.] 3.B[若已假设1=k(k>2为偶数)时命题为真，因为n只能取 偶数，所以还需要证明=k十2成立.故选：B.] 4.f(2")>0+2 2 课堂互动学案 [例1门证明当n=1时，左边=1×4=4，右边=1×22=4，左 边=右边，等式成立. 假设当=k(k∈N+)时等式成立，即1×4十2×7+3×10+ +k(3k+1)=k(k+1)2, 那么，当n=k+1时，1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+ (k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k +1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2, 即当n=k十1时等式也成立. 综上所述，可知等式对任何∈N都成立 变式训练 1证明@当=1时，主 ②假设当M=k(n∈N+)时等式成立，即有X3十3X5 22 …十 1222 D2中则当n=k+1时X33×万 (k+1)2 k(k+1) …+2h-D2k+D+2k十12k+3=22+D (k+1)2 (k+1)(k十2) (2k+1)(2k+3)2(2k+3) 即当=k十1时等式也成立. 由①②可得对于任意的∈N+等式都成立. ·9 [例2】[解]S=文4=4 11 s=+ 12 =7； 2113 S3=7+7X0=01 s品+02是· 4 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致， 分母可用项数1表示为31十1. 于是可以猜想S一3十· 下面用数学归纳法证明这个猜想， (①当=1时，左边=S=子，右边=3动3X1币 骨猪想成立 (②)假设当1=k(∈N,)时猜想成立，即又+☆十 1 1 k 7X0+.+(3k-2)(3+D3k+: 则当n=k十1时， 1 1+X7+7X0+…+8-2(3+D k [3k+D-23k+1)+D=3染中1 十8k+1D(30+④ 3k2+4k+1(3k+1)(k+1)k+1 +ID3+④3+Dk+=3k+D+7,所以当n=k+ 1时猜想也成立. 根据(1)和(2)，可知猜想对任意∈N+都成立. 变式训练 2.解：由a1=2-a1,得a1=1: 由a十ay=2X2-a2得a,=号： 由a十ay+a,=2X3-a,得a=子； 15 由a1十a2十a3十a4=2×4-a4,得a4=8 2”-1 猜想an=2n了· 下面证明猜想正确： ①当n=1时，由上面的计算可知猜想成立. 四机夜当=大时特想底立，剥有，-， 20-1 当n=k+1时，Sk十ak+1=2(k+1)一ak+1, :1[2+1)51=+1-(-） 2k+1-1 2+10-7, 所以，当n=k十1时，等式也成立 由D和②可知，时任意正套数点成主 [例3][证明]由已知条件可得bn=2m(n∈N+),∴.所证 不等我为岁.中…币 2 4 ①当川=1时，左边=号，右边=厄，左边>右边，小不等 式成立. ②假设当n=k(k∈N+)时，不等式成立.即2十1.4十1. 2 4 .2k+1+, 2k 附当=+1时，2安.中…2出·2> 4 2k·2(k+1) T器品号 要证当n=k十1时，不等式成立，只需证2张十3≥ 2√R十I √+2，即证2+3>k+D+2. 2 由基本不等式，得2牛3=十1)十+2)≥ 2 2 √(k+1)(k十2)成立， 2张十3≥√十2成主，当n=十1时，不等式 “2√+T 成立， 由①②可知，对一切n∈N+,原不等式均成立. 变式训练 3.证明：(1)由a≤aw一au+1,得a+1≤a,一a 在数列{an}中，an>0,.a+1>0,.an-a号>0，.0< aw<1, 故数列{am}中的任何一项都小于1. (2)由(1)知，0<a<1=十，那么ag≤a-ai= -(a-）+≤<分由此猜海a,<分 下面用数学归纳法证明：当≥2，且n∈N+时猜想正确. ①当n=2时已证； ②假设当=k(k≥2，且k∈N)时，有a4<石成立， 那么≤a1≤a-=-(a:-)+< -(传)+片京号点…当 n=k十1时，猜想正确. 综上所述，对于一切n∈N,海有a,<7 当堂达标 1.C[当n=1时，左边=2，右边=2，等式成立； 当1=2时，左边=1X2十2×3=8，右边=3×22-3×2十 2=8,等式成立： 当=3时，左边=1×2十2×3十3×4=20，右边=3×32 一3×3+2=20，等式成立， 当1=4时，左边=1×2+2×3+3×4十4×5=40，右边3 ×42-3×4+2=38,等式不成立.故选：C.] 2.D[结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n, 1十1，…，n2的连续自然数共有n2一n+1个，且f(2)= +3+ 3.解析：从不等式结构看，左边n=k十1时，最后一项为 十2严，前面的分母的底数是连续的整数，右边=k十1 ·9 参考答案 时，式子为号一顶即不等式为是十京十…十 1 1 11 k+22>2k+3 1 4解1=分=号a4= 1 1 1 子由此猜想a,=”(u∈N) (2)证明：①当n=1时，a1=0,等式成立. ②假设n=k(k≥1，且k∈N+)时等式成立，即ak= k-1 1 =1一=(k+1)-1 当n=k十1时，ak+1-2-a2一 k+1 k ∴.当n=k十1时等式也成立. 由①和②知，对于任意的n∈N+a,=”二恒成立. 章末复习课 [例][解析]1}=1+子3号=3+号5是=5 +是a,=(2n-1D+中1 7 [答案]B [例2][解]，a2-a1=3-1=2, a3一a2=7-3=4, a4-a3=13-7=6, … an-a1-1=2(-1)(n≥2). 以上n一1个等式左右两边分别相加，得 am-a1=2×[1+2+3+…+(n-1)]=(n-1)n, a=n2-n十1(n≥2)，且n=1时，a1=1适合上式. .an=n2-n+1. [例3】[解]：a1=2,a+1=2m+1, 2=2X2,3=2X3 a11 以上一1个等式左右两边分别相乘得=·2”1， an=n·2"(n≥2)，且n=1时，a1=2适合上式.an= n·2". [例4][解]，aw+1-a,十an+1·an=0, 1 an+1 an =1. 又=1“{纪}是首项为1，公差为1的等差数列 a 1 =n.a=n 1 [例5][解]方法-：a+1=2a十1au+2=立4u+1 +1. 两式相减得am+2一am+1=2(au+1一a), 令b。=an+1-a,n=12,3…),得61=ag-a1=号-1