第1章 3.2 第2课时 数列求和（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章数列 五维课堂 第2课时 数列求和 课程标准 素养解读 1.能用分组转化方法求数列的和. 2.掌握错位相减法求和的基本方法。 1.通过求解数列的前n项和培养数学运算的核心素养. 3.掌握裂项相消法求和的基本方法。 2.通过学习数列求和的方法提升逻辑推理的核心素养. 4.掌握等差数列与等比数列的综合应用 课堂 ⊙互动学案 题型一 分组求和法 ◇[变式训练] [例1]已知数列{an}构成一个新数列：a1,(a2 1.求数列246…,2m十…的前项 a),…,(an一a。-1),…此数列是首项为1，公比为 和Sn 子的等比数列。 (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn 汇思路点拨了通过观察，不难发现，新数列的前n 项和恰为am,这样即可将问题转化为首项为1，公 此为了的等比数列的前n项和，数列口，}的通项 公式求出后，计算其前n项和S,就容易多了. 题型三 错位相减法 [例2]已知数列{an}是等差数列，且a1=2,a1十a, +a3=12, (1)求数列{a.}的通项公式： (2)令bn=a。·3”,求数列{bn}的前n项和. [思路点拨](1)通过前3项和并结合首项求出 公差，确定数列{an}的通项公式；(2)由数列{bn》 的通项公式的结构形式，可考虑错位相减法求和. 规律方法 分组转化求和法的应用条件和解题步骤 (1)应用条件 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比 数列或可求和的数列的通项公式相加组成. (2)解题步骤 <分组 分析通项公式或对通项公式适当变形 分为可求和数列相加的形式 规律方法 应用错位相减法的注意事项 求和 分别对分组后的数列求前n项和 (1)在写出S.与gS。的表达式时，应使两式对齐， 便于作差，正确写出(1一q)S,的表达式。 相加 相加得原数列的前n项和 (2)要讨论公比q是否等于1的情况. 29· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 ◇[变式训练] 规律方法 2.设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2,a的等 1.数列中的每一项平分成前后可以相互抵消的两 差中项 项之差的求和方法，叫裂项相消法. (1)求{an}的公比： 2.常见的裂项形式（其中n为正整数）. (2)若a1=1,求数列{na,}的前n项和. 1 (1) 个 711 n(n十k)-kn n十k 1 (2)2n-1)(2n+1① 2 2n-1 2n+1 1 1 1 nn+iD0m+2=2[nm+D0+10m+2】 (3) 1 1 (4 6 (Wn+k-√n). √mn十√n十 题型目 裂项相消法求和 s1+】 =log.(n十1)-logn. [例3]设数列{an}满足a1十3a2十…十(2n一1)a。 ⊙[变式训练] =2n 3.设S.= (1)求{an}的通项公式； 1X2十 n(n+1)(n∈ (2)求数列{品} 的前n项和. N.且s,51=吾则n [当堂达标] 1.1002-992+982-972+…+22-12的值是() A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 2.数列{an}的通项an=n·2”,则数列{an}的前n项 和S,为 () An·2+1 B.n·2+1-2 [母题变式] C.(n-1)·2m+1+2 D.n·2+1+2 1.(变条件)把本例中数列{an}满足的条件“a1十3a2 1 2 十…+(2n-1)an=2n”换为“an-an+1=2am+1an, 的前n项和为 a1=1”,试解答(1)(2)两题. 4.求数列 (n+2)(n+3)) 的前n项和. 2.(变结论)本例的条件不变，设b= 1 ,若 2+2 an+ 数列h,的前n项和为S。,S>9,求n的最 2 小值. C温攀提污 学习至此，请完成配套训练 ·30·又因为a1·a1g·a1g2=64,所以a3·g3=64,即a1=12, 故所求道项公式为a,=12×(仔)。 [例3][解]根据题意，每年比上一年销售量增加10%， 所以，从2022年起，每年销售量组成一个等比数列{a}, 其中a1=5000,q=1+10%=1.1,S=30000. 由等比数列前m项和公式得50001-1.1”=30000， 1-1.1 整理得1.1"=1.6，两边取对数，得nlg1.1=lg1.6, 所以据品品品一〔年.故大的5车可俊总结修量 达到30000台. 变式训练 3.D[由题意得：R,=1十25%×4=2，所以经过6轮传播 后由甲引起的得病的总人数约为：2+22十23十24十25十 26-21-20）=126.] 1-2 当堂达标 1.C[当x=1时，S,=:当x≠1且x≠0时S,=子] 3 2.AC[由ag,号a4,2a5成等差数列，得3a4=ag十2a5,设 a,小的公北为9，则2g2-39十1=0，解得g=号或9=1 (舍去)， 所以S5= =31,解得a1=16.所以数列{am}的 1一2 通项公式为，=16×（合）=（合）”，5， -(合)] 32- 12 2,故选AC,] 3.解析：设每天植树的棵数组成的数列为{am},由题意可知 它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得 厂22100，即2”≥51，而29=32,2°=64，n∈N+,所 以n≥6. 答案：6 4.解：设等比数列{a〉的公比为g,由题意得 a19=6, 解得1=3或4=2， (6a1+a1q2=30, (q=2,(q=3. 当a1=3,q=2时，an=3×2"-1, Sn=31-2m) 1-2 =3(2”-1): 当a1=2,q=3时，a1=2X3”-1, Sn=21-3") 1-3 =3”-1. 第2课时数列求和 课堂互动学案 [例1][解](1)am=a1+(a2-a1)十(a3-a2)+…+(an -an-1) =1+3+(合)++（传）=引-（分）] 参考答案 (2)S,=a1十a2十a3+…十a =(-)+号[-（合）]++[-（合）] 2-引-（得）]2-+（合） 变式训练 1.解：5，=2+4日+66++(+2) =(2+4+6+…+2)+(}+g++2) (21+2) 2 1- 2-2+1 [例2][解](1)设数列{an}的公差为d,则a1十a2十a3 =3a1+3d=12. 又a1=2,得d=2,a,=21. (2)由b=an·3”=21·3”,得 Sn=2×3+4×32+…+(21-2)·3"-1+21·3”,① 3S=2X32+4X33+…+(21-2)·3”+21·3+1.② ①-②得-2S=2(3+32+33+…十3")-2·3"+1= 3(3”-1)-22·3n+1, S=30,32+n·3w+1. 2 变式训练 2.解：(1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2十a3,即2a =a1q+a1g2, 所以q2十q-2=0,解得g=1(舍去)或q=-2.故{an}的 公比为一2 (2)记Sw为{1an}的前n项和. 由(1)及题设可得a,=(-2)”-1, 所以Sn=1+2×(-2)+…十n×(-2)”-1, -2S,=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)”-1+1×(-2). 所以3Sn=1+（-2)+(-2)2+…+(-2)”-1-1×( 2)"=1=（22》”-X(-2). 3 所以s,=号-+)-2 9 [例3][解](1)因为a1+3a2十…十(2m-1)a=2, 所以当n≥2时，a1+3a2+…+(21-3)au-1=2(n-1). 两或相或得(21a,-2,故a,2子0≥2》. 又由题设可得a1=2,满足上式，所以{an}的通项公式为 2 an=21-1 (2)这能别{干}的前n项和为5 2 1 由（1)知2+-(2m+1)(21-下-2m2m+' 则s=(-3)十（分一号）十…+（十）=1 2 2+1=21+1: 数学(BS)·选择性必修第二册 母题变式 1.[解】(1)由a,-au+1=2a+1an,得，1-1=2，所以 an+1 an 数列侣}是公差为2，首项为品-1的等差数别，即 an +2(nD=211.所以a。20- (2)设数列{2十}的前n项和为S,由I)知 2-2-2+D(2) 则5，=号[1-号)+（合-）++(2n高2市)门 =（-）=,所以20是演数列的第10项。 2.[解】由例3的解析可知4，一22故品=21一1， 2 ,n-十Vg,后专(wT-a). 所以5=是(5-1+后-++2m中 2m可)=是(m+-1). 由S>婴特号（干-1D>9郎样>89又n ∈N+,故n的最小值为450. 变式训练 3解析8十效十…十十=1一名十 551=吾可得年2音解异=10 答案：10 当堂达标 1.B[原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+ …+(2+1)(2-1)=100+99+98+97+…+2+1= 7×100×1+10)=5050.] 2.C[Sn=1·2+2·22+…+n·2",2S=1·22+2·23+ …十n·2”+1,两式相减得-S,=2十22十23十…十2”-n ·2+1=212”）-·2m+1=2+1-2-n·2+1,故 1-2 Sn=(n-1)2+1+2.] ·88 11 3.解析：通项an= 1一2 前m项和s.=(0-)+(-)十…+(1-安) 答案：-1+ 4.解：因为(7m十2)(m+3)+2n+3' 所以数列{m十2n+3}的前n项和为（行一）十 1 (付吉）+叶（中2）名 11 §4数列在日常经济生活中的应用 课前预习学案 知识梳理 知识点一、1.本利和2.本利和 知识点二、l.P(1+r)2.P(1+r)”3.N(1+r) [思考] [提示]单利和复利两种方法， 预习自测 1.(1)×(2)×(3)× 2.C[由题意每层所铺瓦片数构成一个以1为公差、以21为 首项的等差数列，求前20项的和，所以共铺了S20=20×21十 20×19×1=610块瓦片.] 2 3.C[由复利公式得S=10000×(1+1.5%)5=10000 ×1.0155.] 4解析：纸的厚度相同，∴各层同心圆直径成等差数列 ∴1=d+d2十…+d6=60m.4+1=480x=1507.2md 2 ≈15(m). 答案：15 课堂互动学案 [例1][解]购买时付款300万元，则欠款2000万元，依 题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次构成数列 {an}, 故a1=100十2000×0.01=120（万元）， a2=100+(2000-100)×0.01=119(万元)， a3=100+(2000-100×2)×0.01=118(万元)， a4=100+(2000-100×3)×0.01=117(万元)， a=100+[2000-100(-1)]×0.01=121-(万元)(1 ≤n20,n∈N+). 因此{an}是首项为120，公差为-1的等差数列. 故a10=121-10=111(万元)， a20=121-20=101(万元). 20次分期付款的总和为 Sw-@+a0)X20_120+101)×20=2210(万元. 2 2