第1章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学(BS)·选择性必修第二册 当堂达标 1.AC[当数列{au}为1，l,l,l,…时，数列{aw-an+1}不是等 比数列；当k=0时，数列{kan}不是等比数列，而{|an}和 {}一定是等比数列.] tans 2.D[因为a1=2>0,公比g=- 1 <0,所以数列{an}是摆 动数列.] 3.解析：由题意知(m十1)2=(m-1)(2m十2)，解得m=3. 答案：3 4.解：(1)a1a2a3=a2=216,∴.a2=6,.a1a3=36. 又.∵a1十ag=21-a2=15, 1,a3是方程x2-15.x十36=0的两根 解之得x1=3,x2=12, 当a1=3时，g-2=2,4,=3X201: a 当a=12时分4，=12x(侵）》 (2)'a4g=a3q·a5q3=a3a5g=18q=72, .g=4,.q=±2. 3.2等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和 课前预习学案 知识梳理 [思考] 1.[提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于的指数型 函数 [思考] 2.[提示]根据等比数列的定义，有：2==4=…= an al a2 a3 an-1 =q,再由合比定理， 则得十aa4十a=g:啷4=g,进而可求S a1十a2+ag十…十an-1 Sn-an 预习自测 1.(1)×(2)√(3)/(4)× 2A[由S=1-（-25] 1-(-2) =44,得a1=4.] 3.B[设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S,公比为 9,则由题意知S,=381,9=2S,41-g2)-411-2 1-q 1-2 =381,解得a1=3.所以塔的顶层共有灯3盏.] 4解析：g-S9_27气3=8，所以g=2 3 答案：2 课堂互动学案 [例1】[解]（①由题意知1+g)=30, (a1(1+q+g2)=155, 解得∫a1=5, 1a1=180, 或 5 （g=5 q=-6 从而S=×51-战S 41 11 8 /a1+a1g2=10, 1a1=8, (2)法一：由题意知 193+a1g5= 5解得 1从而 41 19=2 S,=41-9)-31 1-g 2 法二：由a1十agg=a:十a4俗g2=日从两g=分 又a1+a3=a1(1十g2)=10,所以a1=8,从而S5= a1(1-g3)_31 1-9 21 (3)因为a2au-1=a1an=128,所以a1,an是方程x2-66.x +128=0的两根 从而1=2,或0，=2又5，=1a4=126,所以g a,=64,{a1=64. 1-9 为2或 变式训练 1.解：1)由S,=1a4,得12=2-1624，g=-2, 1-g 1-9 又由an=a1g”-1,得16√2=√2(-2)"-1，n=5. (2)若q=1,则Sg=2S4,不合题意，∴q≠1， S,=a10g2=1S。=101g2=17, 1-q 1-q 两式相除得}9-=17=1十，∴g=2或g=-2,∴a1= 1-g4 a,=品×21浅a,=-号X(-2) [例2](1)[解析]{an}为等比数列，.S2,S4-S2,S6 一S4也为等比数列，即7，S4一7,91一S4成等比数列， ∴.(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21. ,S4=a1+a2+ag十a4=a1十a2+a1q2+a2q=(a1十 a2)(1+q)=S2(1+q2)>S2,.S4=28. [答案]A (2)[解析]设S1=a2十a4十a6+…十a80,S2=a1十a3十 a5十+a0.则=g=3,即S13S2 又S+S,=S0=32,号S1=32,解得51=24，即a+ a4十a6十…+a80=24. [答案]24 变式训练 2.(1)A ['.'a2+as+a6+as=a1q+a39+asq+aiq=q(a 十ag十a,十a7)1士ata5a1=1=-3.] a2十a4十a6+a89 (2)B[由等比数列的性质：S3,S6-S3,Sg-S6仍成等 比数列，于是，由S6=3S3,可推出Sg-S6=4S3,Sg= (3)解：设数列{an}的首项为a1,公比为q,所有奇数项、偶 数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇十S锅= 4S偏，即S香=3S偏.因为数列{an}的项数为偶数，所以有q S=1 S3 又因为a1·a1g·a1g2=64,所以a3·g3=64,即a1=12, 故所求道项公式为a,=12×(仔)。 [例3][解]根据题意，每年比上一年销售量增加10%， 所以，从2022年起，每年销售量组成一个等比数列{a}, 其中a1=5000,q=1+10%=1.1,S=30000. 由等比数列前m项和公式得50001-1.1”=30000， 1-1.1 整理得1.1"=1.6，两边取对数，得nlg1.1=lg1.6, 所以据品品品一〔年.故大的5车可俊总结修量 达到30000台. 变式训练 3.D[由题意得：R,=1十25%×4=2，所以经过6轮传播 后由甲引起的得病的总人数约为：2+22十23十24十25十 26-21-20）=126.] 1-2 当堂达标 1.C[当x=1时，S,=:当x≠1且x≠0时S,=子] 3 2.AC[由ag,号a4,2a5成等差数列，得3a4=ag十2a5,设 a,小的公北为9，则2g2-39十1=0，解得g=号或9=1 (舍去)， 所以S5= =31,解得a1=16.所以数列{am}的 1一2 通项公式为，=16×（合）=（合）”，5， -(合)] 32- 12 2,故选AC,] 3.解析：设每天植树的棵数组成的数列为{am},由题意可知 它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得 厂22100，即2”≥51，而29=32,2°=64，n∈N+,所 以n≥6. 答案：6 4.解：设等比数列{a〉的公比为g,由题意得 a19=6, 解得1=3或4=2， (6a1+a1q2=30, (q=2,(q=3. 当a1=3,q=2时，an=3×2"-1, Sn=31-2m) 1-2 =3(2”-1): 当a1=2,q=3时，a1=2X3”-1, Sn=21-3") 1-3 =3”-1. 第2课时数列求和 课堂互动学案 [例1][解](1)am=a1+(a2-a1)十(a3-a2)+…+(an -an-1) =1+3+(合)++（传）=引-（分）] 参考答案 (2)S,=a1十a2十a3+…十a =(-)+号[-（合）]++[-（合）] 2-引-（得）]2-+（合） 变式训练 1.解：5，=2+4日+66++(+2) =(2+4+6+…+2)+(}+g++2) (21+2) 2 1- 2-2+1 [例2][解](1)设数列{an}的公差为d,则a1十a2十a3 =3a1+3d=12. 又a1=2,得d=2,a,=21. (2)由b=an·3”=21·3”,得 Sn=2×3+4×32+…+(21-2)·3"-1+21·3”,① 3S=2X32+4X33+…+(21-2)·3”+21·3+1.② ①-②得-2S=2(3+32+33+…十3")-2·3"+1= 3(3”-1)-22·3n+1, S=30,32+n·3w+1. 2 变式训练 2.解：(1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2十a3,即2a =a1q+a1g2, 所以q2十q-2=0,解得g=1(舍去)或q=-2.故{an}的 公比为一2 (2)记Sw为{1an}的前n项和. 由(1)及题设可得a,=(-2)”-1, 所以Sn=1+2×(-2)+…十n×(-2)”-1, -2S,=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)”-1+1×(-2). 所以3Sn=1+（-2)+(-2)2+…+(-2)”-1-1×( 2)"=1=（22》”-X(-2). 3 所以s,=号-+)-2 9 [例3][解](1)因为a1+3a2十…十(2m-1)a=2, 所以当n≥2时，a1+3a2+…+(21-3)au-1=2(n-1). 两或相或得(21a,-2,故a,2子0≥2》. 又由题设可得a1=2,满足上式，所以{an}的通项公式为 2 an=21-1 (2)这能别{干}的前n项和为5 2 1 由（1)知2+-(2m+1)(21-下-2m2m+' 则s=(-3)十（分一号）十…+（十）=1 2 2+1=21+1:世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 3.2等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 课程标准 素养解读 1.在推导等比数列前n项和公式的过程中达成逻辑推理 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用. 数学抽象的核心素养」 2.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简 2.在运用等比数列前n项和公式的过程中提升逻辑推理和 单的实际问题， 数学运算的核心素养， 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]错位相减法 国际象棋起源于古代印 对首项为a1,公比为g(q≠0)的等比数列{an}, 度.相传国王要奖赏国际象棋 设Sn=a1十a1q十a1g2+…十a1g”-1①， 的发明者，问他想要什么.发 则qSn=a1q+a1q2+…+a1g”-1+a1g"②， 明者说：“请在棋盘的第1个 ①-②得(1-q)Sn=a1-a1q". 格子里放上1颗麦粒，第2个 格子里放上2颗麦粒，第3个 当9≠1时，S.=01一9) 1-q 格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦 又因为an=ag”1,所以上式还可以写成S。= 粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64 al-a,q 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉 1-9 得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质 当q=1时，Sn=na1: 量为40克，据查，2016—2017年度世界年度小麦 ?思考2.等比数列的前n项和公式的推导还有其 产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能 他的方法吗？ 实现他的诺言。 [知识梳理] [知识点一] 等比数列的前n项和公式 已知量首项、公比与项数 首项、公比与末项 na,q=1 求和 [na1,q=1, S.- a(1-g) 1-q S 公式 aa. 1一q ,g≠1且q≠0 q≠1且q≠0 纪思考1.类比等差数列前n项和是关于n的二次 汇预习自测] 1.判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打 型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项 “X”) 和Sn? (1)求等比数列{a,}的前n项和时，可直接套用公 式s.-1g来求 () 1-q (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列， 则其前n项和为Sn=na. () (3)若某数列的前n项和公式为Sn=一ag”十a(a≠ 0,q≠0且q≠1，n∈N+),则此数列一定是等比数 列. () ·26· 第一章数列 五维课堂乡 (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S,,S6,S。成 请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381 等比数列. 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2.等比数列{an}中，公比q=一2，S=44,则a1的值 2倍，则塔的顶层共有灯 ( ) 为 ( A.1盏 B.3盏 A.4 B.-4 C.5盏 D.9盏 C.2 D.-2 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 4.已知数列{an}为等比数列，且前n项和为Sn,S3= 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 3,S。=27,则公比q= 课堂。互动学案 题型一利用等比数列前项和公式计算基本量： 题型三 等比数列前n项和的性质 [例1]在等比数列(an}中， [例2](1)等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=7, (1)S2=30,S3=155,求Sm; S6=91,则S4为 (2)a1十a=10a,十a,=,求5，： A.28 B.32 (3)a1十an=66,a2an-1=128,S,=126,求q. C.21 D.28或-21 (2)等比数列{an}中，公比q=3,Sw=32,则a2十a 十a6十…十a80= 规律方法 1.等比数列前n项和的性质 1)等比数列{a,}中，若项数为2，则=q:若项 S 规律方法 1.在等比数列{an}的五个量a1q,ann,Sn中，已 数为2m十1，则S、-0=g: S 知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外 (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2m 两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的 S,Sm一Sm…成等比数列（其中Sn,Sn 具体应用 Sn,Sn-S2n…均不为0). 2.在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公 比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有可 (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aq”-A 能，则要分类讨论 (A≠0，q≠0，n∈N+),则数列{an}为等比数 ◇[变式训练] 列，即Sn=Aq”一A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈ 1,在等比数列{an}中. N+)台数列{an}为等比数列. (1)若a1=√2，an=16√2，Sn=11√2，求n和q; 2.结合等比数列前n项和的性质解题 (2)已知S4=1,S8=17,求an (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和性质 是基础. (2)运用方程思想、整体化思想是解题的关键， ◇[变式训练] 2.(1)已知等比数列{a}的公比g=一3，则 a1十a,十a,十a1等于 a2十a4十a6十a8 A.-3 B.- C.3 D.3 ·27· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 (2)设等比数列{a,}的前n项和为Sn,若 =3,则 ◇[变式训练] 3.衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数 R。.它指的是，在自然情况下（没有外力介人，同时 所有人都没有免疫)，一个感染某种传染病的人，会 A.2 R号 把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式 是：R。=1十确诊病例增长率×系列间隔，其中系列 c管 D.3 间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时 (3)一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之 间（单位：天）.根据统计，某种传染病确诊病例的平 均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平 和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列 均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染 的通项公式 病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约 为 ( A.30 B.62 C.64 D.126 [当堂达标] 1.等比数列1，x,x2,x3,…的前n项和Sn等于 题型三等比数列前项和公式的实际应用 [例3]某商场2022年销售计算机5000台，如果平 A. 均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那 么从2022年起，大约几年可使总销售量达到 B.12”1 1-x 30000台？(1g1.6≈0.2，lg1.1≈0.04) 1-x" 1-2x≠1且x≠0 [思路点拔]将问题转化为首项为5000、公比为 (n,x=1 1.1的等比数列前n项和问题. ,1-x”- -,x≠1且x≠0 1-x n,x=1 2.(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列 3 {a,满足a,2a,2a,成等差数列，其前n项和为 Sn,且S=31,则 Aa,-(（)】 B.a=2+1 C.S.=32- 1 21-5 D.Sn=2"+4-16 规律方法 3.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植树 解答数列应用题的步骤 2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需 对于一个实际问题，首先要弄清题目中所含 要的最少天数n(n∈N+)等于 的数量关系，考察是否可通过建立数列模型来解 4.设等比数列{an}前n项和为Sn,已知a2=6,6a1十 决，是否可以转化为等比数列的问题，基本思路理 a3=30,求anSn 清晰后再着手解题.要注意： (1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当 的数学模型. (2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及 方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理 ⊙温攀提 解释 学习至此，请完成配套训练 (3)实际问题解答完成后一定要有结论 28·