21.3.1 第2课时 矩形的判定（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

等边三角形ABC的边长为2，AB=BC=AC=2.D 为AB的中点，BD=号AB=I,CD⊥AB,在R△BCD 中，CD=√/BC一BD=√5.：四边形CDEF为平行四边 形，∴.EF=CD=√3. 创新拓展 13.解：(1)证明如下：在△AED和△CEF中， DE=FE, ∠AED=∠CEF,.△AED≌△CEF(SAS)..AD= AE=CE, CF,∠A=∠ECF,AB∥CF.AD=BD,.BD=CF ∴.四边形DBCF为平行四边形..DF∥BC,DF=BC. ∴DE∥BC,DE=号BC.(2):点E,M分别是AD,AC的 中点，∴EM是△ADC的中位线，∴.EM=号CD=4,EM∥ CD..∠EMC+∠ACD=180°.∠ACD=125°， ∴∠EMC=55.同理可得：MF=AB=-3,MF∥AB, ∴.∠CMF=∠BAC.'∠BAC=35°，∴.∠CMF=35. ∴.∠EMF=∠FMC+∠EMC=35°+55°=90°.∴.EF= √/EMP+FM=√/4+3z=5. 专题特训构造三角形中位线的四种常用技巧 1B2.号3.1.5【变式题1】6【变式题274.C 5.46.B7.1<EF4 【变式题】号 21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形 第1课时矩形的性质 分点训练 1.D2.B3.B4号5.(D证明：四边形是ABCD 矩形，.AB∥CD,即AE∥CD.又CE∥DB,.四边形 CDBE是平行四边形.(2)解：·四边形ABCD是矩形， ∴.BD=AC=8.四边形CDBE是平行四边形，∴.CE= BD=8.6.B7.48.4 综合运用 9.C10.20°11.解：(1)如图所示. 4D(2)①AB B =CD②∠BAE=∠CDF③BE=CF 创新拓展 12.解：(1)：四边形OABC是矩形，.BC=OA=4,∠OCB =∠ABC=∠OAB=90°，AB=OC,AB∥OC.:∠BOC= 30°.∴.OB=2BC=8,.AB=OC=√OB-BC=4√3. AB∥OC,∴∠ABO=∠BOC.,把矩形OABC沿对角线 OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E, ,.∠BOC=∠BOD,.∠ABO=∠BOD,.EO=EB.设 参考答案第 AE=x,则EO=EB=AB-AE=4√3-x,:在Rt△AEO 中，∠OAE=90°，.OA2+AE=OE,.42+x2= （4后-，解得=5.E(4小2以0G为 边，在OG下方作∠GOH=30°，且∠GHO=90°.∴.GH= 合0GBG+之0G的最小值即为BG+GH的最小值，当 点B,G,H三点共线时，BG十GH取得最小值.，∠BOC= 30°，∴.∠BOH=∠BOC+∠GOH=60°.此时在Rt△BHO 中，∠OBH=30,OB=8,OH=2OB=4.GH= 70G,0C2=G+0,0G2=(70G+4华，0 =8点G的坐标是（色50） 3 第2课时矩形的判定 分点训练 1.C2.解：(1)答案不唯一，如：选择①.证明：，AD∥BC, AB∥CD,.四边形ABCD是平行四边形.：∠ABC=90°， .四边形ABCD是矩形.(2)在Rt△ABC中，AB=3,AC =5,.BC=√/AC-AB=4.由(1)知四边形ABCD是矩 形，∴.S矩形BD=AB·BC=12.3.C4.证明：四边形 ABCD是平行四边形，OA=OC=号AC,OB=OD= BD,:∠OAB=∠AB0,OB=OA.AC=BD.四 边形ABCD是矩形.5.A6.证明：：AB=AC,AD是 ∠BAC的平分线，·AD⊥BC,∠CAD=号∠BAC ∴∠ADC=90°.AN是∠CAM的平分线，∴∠CAN= ∠CAM:∠DAE=∠CAD+∠CAN=(∠BAC+ ∠CAM)=90°.：CE⊥AN,∴.∠AEC=90°..四边形 ADCE是矩形. 综合运用 7.A8.C9.(1)证明：.CE∥BF,.∠BFD=∠CED. :D是边BC的中点，BD=CD.:∠BDF=∠CDE, .△BDF≌△CDE(AAS),(2)解：四边形BFCE是矩形. 证明如下：由(I)知△BDF≌△CDE,∴.DF=DE=号EF. 又，BD=CD,.四边形BFCE是平行四边形.DE= BC,EF=BC.∴四边形BFCE是矩形 创新拓展 10.解：(1)如图所示. A ED(2)①CD②∠DCF ③∠BAE=∠CDF=90°④该平行四边形为矩形 专题突破矩形中的折叠问题 1.B2.C3.20°4.108°5.2√56.解：设线段EF= x.四边形ABCD是矩形，.AB=CD=3,AD=BC=4, 8页（共55页）第2课时 ④分点训练 。夯实基础 知识点①有一个角是直角的平行四边形是矩形 1.如图，要使口ABCD成为矩形，可以添加的 条件是 A.∠A+∠B=180° B.∠B+∠C=180° C.∠A=90° D.∠B=∠D 2.新趋势半开放性题)如图，四边形ABCD的对 角线AC与BD相交于点O,AD∥BC, ∠ABC=90°.有下列条件：①AB∥CD: ②AD=BC. (1)请从①②两个条件中任选一个，求证：四 边形ABCD是矩形； (2)在(1)的条件下，若AB=3,AC=5,求四 边形ABCD的面积， 知识点2对角线相等的平行四边形是矩形 3.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,OA=2.若要使口ABCD为矩形，则 OB的长应为 A.4 B.3 C.2 D.1 58 数学八年级下册人教版 矩形的判定 4.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,∠OAB=∠ABO.求证：四边形ABCD 是矩形 知识点3有三个角是直角的四边形是矩形 5.(八中阶段练习)活动课上，小明用四根细木 条搭成一个四边形，现要判断这个四边形是 否是矩形，以下测量方案正确的是() A.测量是否有三个角是直角 B.测量对角线是否相等 C.测量两组对边是否分别相等 D.测量对角线是否互相垂直 6.(教材P71练习T3变式)如图，在△ABC 中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线，AN 是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥ AN,垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形. M B D B综合运用 。提升能力 7.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C= ∠D,AB=12,BC=5,则四边形ABCD的面 积为 A.60 B.34 C.30 D.不能确定 8.(南川区期未)如图，在 △ABC中，点P是边 BC上一个动点，过点 P作直线MN∥AB.MN交∠ABC的平分 线于点E,交△ABC的外角∠CBD的平分 线于点F.下面给出了四个结论：①PE PF;②△EBF是直角三角形；③若BE=12, BF=5,则PB=6;④若PC=PB,则四边形 CEBF是矩形.其中正确的是 () A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 9.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E,F 分别在AD及其延长线上，CE∥BF,连接 BE,CF. (1)求证：△BDF≌△CDE; (2)若DE=号BC,试判断四边形BFCE的 形状，并证明你的结论 C创新拓展 0发展素养 10.(巴蜀中学二模)小南在学习矩形的判定之 后，想继续研究判定一个平行四边形是矩 形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻 内角的平分线，与两内角公共边的对边相交， 如果这相邻内角的顶点到对应交点的距离相 等，则可论证该平行四边形是矩形 (1)如图，用直尺和圆规，作射线CF平分 ∠BCD交AD于点F. (2)已知：在平行四边形ABCD中，BE平分 ∠ABC交AD于点E,CF平分∠BCD 交AD于点F,且BE=CF.求证：平行 四边形ABCD是矩形. 证明：，·BE,CF分别平分∠ABC, ∠BCD, .∠ABE=∠CBE,∠BCF=∠DCF. .'四边形ABCD为平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD,AB=① .∠AEB=∠CBE,∠DFC=∠BCF, ∴.∠AEB=∠ABE,∠DFC=② ∴.AB=AE,DF=DC,∴.AE=DF. (AB=DC, 在△ABE和△DCF中，AE=DF, BE=CF. .△ABE≌△DCF(SSS). ∴.∠BAE=∠CDF. .AB∥CD,∴.∠BAE+∠CDF=180°， ∴.③ ,∴.平行四边形ABCD是 矩形. 小南再进一步研究发现，若这组邻角的 角平分线与公共边的对边延长线相交， 结论仍然成立.因此，小南得出结论：作 平行四边形两相邻内角的平分线，与两 内角公共边的对边（或对边延长线）相 交，若这相邻内角的顶点到对应交点的 距离相等，则④ 第二十一章四边形 59