19.3 二次根式的加法与减法（讲本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

古·aG瓜=-abv瓜.6.①⑥7d 8解：原式=√=四②原式-√- =30 6 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 知识梳理 2.(1)最简二次根式被开方数 例题导学 【例1】Vs和√分【例2】解：1原式=45+3-E -2)原式-后+5-4v万--4反 2 3 变式练习 1D2-13解：1原式=号+5+25-号-号+ 82)原式=45-反-万+2万=85+厄 4解W4-√号+尽=2-昌万+E=2-E “-√4号十号压=a十b厄，a,6为有理数，a=2,b 是6-6=厄-√日=E-9-9 第2课时二次根式的混合运算 知识梳理 2.a-ba±2/ab+b 例题导学 【例1】解：(1)原式=3√-32-35=-3√2.(2)原式 (6-3压+)×顶=4-3v丽+85-0 3 3 -3√30.(3)原式=(60√6-16√6+2√6)÷2√6=46√6 ÷2V6=23.【例2】(1)√3+√E(2)√1T-2 【例3】解：(1)原式=8-4√6+3=11-4√6.(2)原式=5 3=2.(3)原式=(5-2√6)(5+2√6)=25-24=1.(4)原式 =[(W2+1)-√3][(W2+1)+√3=(W2+1)2-3=2+2√2 +1-3=2√2. 变式练习 1.C2.解：1)原式=(25-5)×6=号后×6 号×6=-5(2)原式=65-45)÷万-32= (-3√5)÷√3-3√2=-3-3√2.3.解：(1)原式= √1+2√3+3=√12+23+(W3)2=√(1+√3)2=1+ √5.(2)原式=√1-2√2+2=12-2√2+(W2)2= 参考答案第 √/(1-√2)2=2-1.4.解：(1)原式=1-12+3-2√5+ 1=-7-2.(2)原式=V27X3+√27×号+12-1=9 +3+12-1=23.(3)原式=(-6+3√2)（√3-√6 3√2)=(W5-√6)2-(3√2)2=3-6√2+6-18=-9 6√2.(4)原式=[(10-√T)(√0+√T)]·(√10 √)=(10-11)22（√0-√）=√0-√.5.解：x =3+√7，y=3-√7，∴x十y=6,xy=2.(1)原式=(x十y)2- 2y=60-2X2=32.(2原式=Y+工=2=16. xy 2 专题突破二次根式中常见的化简求值技巧 例题导学 【例1】解：原式=(x+1)2=(√5-1+1)2=（√3）2=3. 【例2】解：原式=a)十六x市=-1)(x+· 士-六当x=+1时，原式=后 1 3 √5+1-131 【例3】解：由题可知，号≥0且一}>0，解得x=之 将x=号代入求得>1，则1x-11--1) 亞-1x-1川-1x-1川-亚=-y= y-1 y1 3y-1 变式练习 1.14√22.解：：x=√2-√3，y=2+3,∴.x十y=(W2-√5) 十W2+3)=2√2，x-y=W2-5)-(W2+3)=-23.原式 =√(x+y)+(x-y)-4=√/(2W2)2+(-2W3)-4= √4-2√5=√3-1.3.解：由题意可知：4x-1≥0,1-4x≥ 0x=子y=3.原式=(2xE+2网）-(x匠+ 5√y)=2x反+2√y-x匠-5√y=xE-3√y =√F-3V√X8-号-3y9.4解：由题意，得 2 (x-2)2+√y-3=0.:(x-2)2≥0，√y-3≥0，∴.(x 2)2=0,√y-3=0.∴x-2=0,y-3=0.解得x=2,y=3. .(3x十y)2-3(3x-y)(x+y)-(x-3y)(x+3y)=9.x2+6.xy +y-3(3x2+2xy-y)-(x2-9y2)=9x2+6xy+y2-9x -6xy十3y2-x2+9y2=-x2十13y2.当x=2,y=3时，原 式=-22+13×32=-4+117=113. 第十九章整合与提升 考点突破 【例1】(1)A(2)a≥-1且a≠2(3)2【例2】解：(1)原 式=(65-25+4月)÷25=28÷25=兰(2)原 式=5-53+(15-12)=5-5√3+3=8-5√5.(3)原式 =(8√元-2√元)÷3√元=6√元÷3√(=2.【例3】解： 页（共55页）19.3二次根 第1课时二 A知识梳理 1.二次根式合并的条件 几个二次根式化成最简二次根式以后，如 果被开方数相同，那么这几个二次根式就 能合并. 2.二次根式的加减运算 (1)法则：一般地，二次根式加减时，先将 二次根式化成 ,再将 相同的二次根式进行合并. (2)步骤：①先化简，②再合并（被开方数 相同的二次根式) 注意：(1)在进行二次根式的加减运算的 时候，首先要将不是最简二次根式的化简 为最简二次根式； (2)合并同类二次根式与整式中的合并同 类项类似，只需把同类二次根式前面的有 理数（或有理式）相加减. B例题导学 知识点1 二次根式合并的条件 1 【例1】在4⑧，√区中，可以合并的是 【方法点拨】先把前两个二次根式化成最简 二次根式，再根据被开方数进行判断. 【变式练习】 1.化成最简二次根式后与√2的被开方数相 同的二次根式是 B.√/20 C. D.√32 2.如果最简二次根式√1一a与√4+2a可以 合并，那么a= 式的加法与减法 次根式的加减 知识点2 二次根式的加减运算 【例2】计算： (1)22+27-48 4 -32. (2)6+3 【方法点拨】先把二次根式化成最简二次根 式，再进行同类二次根式的合并. 【变式练习】 3.计算： 1)v5+2√+a-1西， 2s-4√)-3月-4经) 4若a,6为有理数，且A-√4+言区 a+b√2，求a-√-b的值. 第2课时二为 A知识梳理 1.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺 序一样，先乘除，后加减，同级运算从左到 右，有括号的先算括号里面的. 2.乘法公式在二次根式混合运算中的应用 平方差公式：(a-√b)(√a+√b)= 完全平方公式：(a土√b)2= 注意：(1)有理数（或整式）中的运算律（分 配律、结合律、交换律等)、运算法则及所 有的乘法公式在二次根式的运算中仍然 适用； (2)二次根式的运算结果必须是最简二次 根式 B例题导学 知识点1 二次根式的混合运算 【例1】计算： (1)√27-√3×(W6+3): 2(-3+22)×: (3)(20√54-8√24+2√6)÷2√6. 【方法点拨】进行二次根式的混合运算时，需 要注意以下几点：(1)运算顺序；(2)运算法 则；(3)运算律与乘法公式的灵活运用； (4)最后结果要化到最简. 根式的混合运算 【例2】化简： (1)W5+2√6= (2)W/15-4√11= 【方法点拨】双重二次根式的化简，观察根号 下的式子，将这个式子构造成一个完全平方 式，然后进行开方. 【变式练习】 1.估计√12×， +而÷E的运纯结 果在 ( A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 2.计算： (2)-2@÷-6√ 3.化简： (1)√4+2√3； 8· (2)√3-2√2. (2)v2z×(5+√)+28-1D28+1D: 知识点2利用乘法公式进行二次根 式的运算 (3)(5+3√2-√6)(3-3√2-√6)： 【例3】计算： (1)(2√2-√3)2； (2)(5+√3)(5-√3)： (3)(3-√2)2(5+2√6)； (4)(√2-√3+1)（√2+3+1）. 【方法点拨】在对二次根式进行计算时，要根 据二次根式的特，点，灵活利用乘法公式计 (4)(√/10-√/T)2025(√/10+√/T)2024. 算，使运算更简便 5.已知x=3十√7，y=3一√7，求下列各式的值： (1)x2+y2; (2)义+ xy 【变式练习】 4.计算： (1)(1-2√3)(1+23)+（√3-1）2； ·9·