第6章 3.1 3.2 第2课时 基本事实4与异面直线的夹角-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

第2课时　基本事实4与异面直线的夹角 知识点一　基本事实4的应用 1．如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是________． 答案　平行 解析　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG. 2．如图，已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若＝＝，＝＝，试判断四边形EFGH的形状． 解　在△ABD中，∵＝＝， ∴EH∥BD且EH＝BD. 在△BCD中， ∵＝＝， ∴FG∥BD且FG＝BD， ∴EH∥FG且EH>FG， ∴四边形EFGH为梯形． 知识点二　异面直线的判定 3．a，b是空间中两条不同的直线，“a，b是异面直线”是“a，b没有公共点”的________条件． 答案　充分不必要 解析　若a，b是空间中两条不同的直线，且a，b是异面直线，则a，b没有公共点；若a，b是空间中两条不同的直线，且a，b没有公共点，则a，b是异面直线或a∥b，故“a，b是异面直线”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件． 4．a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是________． 答案　相交、平行或异面 解析　如图，a，c的位置关系可以是相交、平行或异面． 5．在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对． 答案　8 解析　以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线． 知识点三　等角定理及应用 6．给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案　B 解析　对于①，这两个角也可能互补，故①错误；②显然正确；对于③，如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．故选B. 7．不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形(　　) A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形 C．一定是相似或全等的三角形 D．不一定不全等或相似 答案　C 解析　根据等角定理可知，这两个三角形的三个角，分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全等．故选C. 8．[易错题]已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝30°，则β＝________． 答案　30°或150° 解析　由题意知α＝β或α＋β＝180°，则β＝30°或150°. [易错分析]　在求解本题时，容易忽略对两组边的方向的考虑而得出错误答案． 知识点四　异面直线的夹角 9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线D1C与BD的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　如图，连接B1D1与B1C，因为BD∥B1D1，则∠CD1B1即为所求，又△CD1B1是正三角形，所以∠CD1B1＝60°.故选C. 10．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN夹角的余弦值为________． 答案　 解析　直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则MN綊B1C1.如图，取BC的中点为O，连接ON，OA，则OB綊B1C1，∴MN綊OB，则四边形MNOB是平行四边形，BM与AN的夹角就是∠ANO，∵BC＝CA＝CC1，设BC＝CA＝CC1＝2，∴CO＝1，AO＝，AN＝，MB＝＝＝.在△ANO中，由余弦定理可得，cos∠ANO＝＝＝. 一、选择题 1．两等角的一组对应边平行，则(　　) A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边不可能垂直 D．以上都不对 答案　D 解析　另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．故选D. 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 答案　C 解析　如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故选C. 3．如图，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是(　　) A．①④ B．②③ C．②④ D．①② 答案　C 解析　①中，GH∥MN；③中，GM∥HN，且GM≠HN，故GH，MN必相交；②④符合题意．故选C. 4．如图，正棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1的夹角．设AB＝a，AA1＝2a，∴A1B＝BC1＝a，A1C1＝a，cos∠A1BC1＝ ＝.故选D. 5．[多选]如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ，则下列结论正确的是(　　) A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形 B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形 C．当λ＝μ＝时，四边形EFGH是平行四边形 D．当λ＝μ≠时，四边形EFGH是梯形 答案　ABC 解析　如图所示，连接BD.∵＝＝λ，∴EH∥BD，且EH＝λBD.同理，FG∥BD，且FG＝μBD.∴EH∥FG，当λ＝μ时，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．∴A，C正确，D错误；当λ≠μ时，EH≠FG，∴四边形EFGH是梯形，∴B正确．故选ABC. 二、填空题 6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1B与直线D1C的位置关系是________，∠A1BA与∠D1CD的大小关系是________． 答案　平行　相等 解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC且A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.由A1B∥D1C及AB∥DC，根据等角定理可得∠A1BA＝∠D1CD. 7．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (2)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (3)直线AB与直线B1C的位置关系是________． 答案　(1)异面　(2)相交　(3)异面 解析　A1B与平面BCC1B1相交，且交点B不在直线B1C上，所以直线A1B与直线B1C异面；直线D1D与直线D1C相交于D1点；直线AB与直线B1C异面． 8．P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB，△PBC的重心，AC＝a，则DE的长为________． 答案　a 解析　如图，∵D，E分别为△PAB，△PBC的重心，连接PD，PE，并延长分别交AB，BC于M，N两点，则M，N分别为AB，BC的中点，∴DE綊MN，MN綊AC，∴DE綊AC，∴DE＝a. 三、解答题 9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？ 解　还原的正方体如图所示，根据异面直线的判定方法知共有三对异面直线，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH. 10．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD. 证明　(1)如题图，在△ABD中， ∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴EH∥BD.同理FG∥BD， 则EH∥FG. 故E，F，G，H四点共面． (2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH. 又四边形EFGH是矩形， ∴EH⊥GH. 故AC⊥BD. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$