6.3.1 空间图形基本位置&6.3.2 刻画空间点、线、面位置（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学s,·必修第二册 §3.空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1空间图形基本位置关系的认识 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理（基本事实1、2、3） 课程标准 素养解读 从直观认识的基础上论证点、线、面之 1.掌握平面的基本事实和推论，会用符号表达基本事实与推论 间的位置关系，发展培养学生的空间 2.会用平面的基本事实和推论描述点、直线、平面之间的位置关系 想象素养与逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P168 [情境引入] 内，记作：aC3;直线1与平面a相交，记作：l∩a= 今有一正方体木料ABCD-AB,C1D1,其中M, A1;直线a与平面a无公共点，称直线a与平面a N分别是AB,CD的中点，要过D1,M,N三点将木 平行，记作：a∥a.a∥a台a∩a=0. 料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺 在画直线和平面平行时，通常把表示直线的线段 利完成？ 画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与 [知识梳理] 平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形的 [知识点一]空间点、直线、平面之间的位置关系及 一边平行，如图： 符号表示 (1)点与直线、点与平面的位置关系 ①点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点 (2) 在直线外.如图： (3)平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系有两种：平面与平面不相 交和平面与平面相交.如图： B B 点B在直线b上，但在直线a外，记作：B∈ b,BEa. 6 ②点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点 平面a与平面3不相交. 在平面外.如上图： 如图： 点B在平面a内，点A1在平面a外，记作：B∈a, A1旺a. (2)直线与直线、直线与平面的位置关系 B ①直线与直线的位置关系有两种：直线与直线相 交和直线与直线不相交.如图： 平面a与平面3相交. 若两个平面a与3不相交，则称这两个平面平行， 记作a∥B. a∥3=a∩3= 在画两个平行的平面时，通常把表示这两个平面 直线a和直线l相交，记作：a∩l=B,;直线b和直 的平行四边形的对应边画成互相平行的.如图： 线1不相交，记作：b∩1=必. ②直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、 直线与平面相交和直线与平面平行.如上图： 直线a在平面3内，即直线上的每个点都在平面 (1) (2) ·284· 第六章立体几何初步 ?思考1.如何从集合的角度理解点、线、面之间 ?思考2.以下条件能确定一个平面吗？ 的关系呢？直线1在平面α外，则l与a一定没 (1)一条直线及直线外一点： 有公共点吗？ (2)两条相交直线； 提示：不一定.当l与a相交时，l在a外，但有一 (3)两条平行线， 个公共点 提示：根据基本事实2，易知以上三个条件都能 [知识点二]平面的基本性质 确定一个平面.此三个结论可作为“基本事实2” (1)基本事实1 ①文字语言：过不在一条直线上的三个点，有且只 的三个推论，在推理证明中可直接运用. 有一个平面， 3.由基本事实3知，两个不重合的平面的所有公共 ②符号语言：A、B、C三点不共线→存在唯一的a 点都在哪里呢？利用基本事实3可证明什么问 使A、B、C∈a. 题呢？ ③图形语言： 提示：都在交线上，可证明多点共线问题。 ●B [预习自测] A· ●C (2)基本事实2 1.下列说法正确的是 ①文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平 A.三点确定一个平面 面内，那么这条直线在这个平面内， B.四边形一定是平面图形 ②符号语言：A∈l,B∈l,且A∈a,B∈a→lCa. C.梯形一定是平面图形 ③图形语言： D.平面α和平面3有不在同一条直线上的三个 交点 Q 解析：C[不共线的三，点可以确定一个平面，排除 (3)基本事实3 A;四边形可以是空间四边形，排除B;根据基本事 ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共 实3可以知道D不正确，故选C.] 点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ②符号语言：P∈a,且P∈B→a∩3=l,且P∈l. 2.在下列命题中，不是基本事实的是 ③图形语言： A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条 直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线 (4)平面性质的三个基本事实的三个推论 解析：A[选项A是面面平行的性质定理，是由基 推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面. 本事实推证出来的，而基本事实是不需要证明的， A· B a C 故选A.门 a 推论2：两条相交直线确定一个平面。 3.如图所示，点A 平面ABC;点 A 平面BCD;BD 平 面ABD;BD 平面ABC;平 推论3：两条平行直线确定一个平面 面ABC∩平面ACD= =BC. 答案：∈任C寸AC平面ABC 平面BCD ·285· 数学s·必修第二册 课堂。互动学案 对应学生用书P170 题型一空间点、直线、平面位置关系的刻画 思路点拨了本题中直线较多，分别呈现“平行、 [例1]用符号语言表示下列语句，并画出图形 相交”的位置关系，由基本事实可知，它们都能确 (1)三个平面a,3,y相交于一点P,且平面a与平面 定一个平面，所以证明不同平面重合即可， 3相交于PA,平面a与平面y相交于PB,平面3与 [证明]，a∥b,∴.a,b确定一个平面a. 平面y相交于PC; .l∩a=A,l∩b=B,∴.A∈a,B∈a. (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC 又.A∈l,B∈l,∴.lCa.b∥c, 与平面ADC相交于AC. b,c确定一个平面B.同理可证lC3. 汇思路点拨]依据条件，适当确定其中的某一个 于是bCa,lCa,bCB,lCB,即a∩B=b,a∩B=l. 平面，然后根据点、线、面的位置关系，将其附着于 又b与l不重合.a与B重合，a,b,c,l共面 固定平面上，注意图形的立体感，要将被遮挡部分 规律方法 用虚线表示. 点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平 [解](1)符号语言表示a∩3∩Y=P,a∩3=PA, 面内的问题，主要依据是基本事实1、基本事实2 a∩y=PB,3∩y=PC,图形表示如图(1). 及其推论.解决该类问题通常有三种方法：(1)纳 (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC=BD,平 入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他 面ABC∩平面ADC=AC,图形表示如图(2). 元素也在该平面内；(2)辅助平面法（平面重合 法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素 确定平面B,最后证明平面α，3重合；(3)反证法. ◇[变式训练] 2.已知四条直线两两相交，且不共点.求证：这四条直 图(1) 图(2) 线在同一平面内. 规律方法 证明：依题意，已知a,b,c,d四条直线两两相交，且 点与直线（或平面）的关系为元素与集合的关系， 不共点，求证：a,b,c,d四线共面。 用“∈”或任表示点与直线（或平面）的关系；直线 ①若a,b,c三线共点于O, 与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”，只能 如图所示： 用“二”，或“史”表示 O庄d,.经过d与点O有 且仅有一个平面a(推论1). /a ◇[变式训练] :A,B,C分别是d与a,b,c的交点， 1.用符号表示下列语句，并画出相应的图形 (1)点A在平面a外，点B在平面a内，直线l经过 .A,B,C三点在平面a内. 点A,B; 由基本事实2知a,b,c都在平面a内，故a,b,c,d (2)平面a和3的交线是直线a,直线b经过a内不在 共面， 直线a上的点P且经过B内不在直线a上的点Q. ②若a,b,c,d无三线共，点，如图所示： 解：(1)A氏a,B∈a,A∈l,B∈l.大致图形如图(1). B (2)a∩B=a,Pta,Qta,P∈a,Q∈B,P∈b,Q∈b. A 大致图形如图(2). a .a∩b=A,∴.经过a,b有且仅有一个平面a(推论2)， .B,C∈a,由基本事实2知cCa. 同理，dCa,从而有a,b,c,d共面 综上所述，四条直线两两相交，且不共，点，这四条直 (1) (2) 线在同一平面内. 题型二 点、线共面问题 题型 点共线、线共点 [例2]如图，已知直线a∥b∥c,1∩a=A,l∩b=B, [例3](1)如图所示，已知E,F, l∩c=C.求证：a,b,c,l共面. G,H分别是正方体ABCD一 AB1C1D1的棱AB,BC,CC1, CD,的中点.求证：FE,HG,DC 三线共点. ·286· 第六章立体几何初步 [思路点拨]可先证明两条直线相交于一点，再 题型四 两平面的交线问题 证明该交点也在另外一条直线上 [例4] 如图所示的正方体ABCD [证明]如图所示，连接C1B,GF,HE,由题意知 ABC1D1中，E,F分别为CC,和 HC1∥EB,且HC,=EB,.四边形HC,BE是平 AA1的中点，画出平面BED,F和平 行四边形，∴.HE∥C,B. 面ABCD的交线， 又C1G=GC,CF=BF, [思路点拨]找这两个平面的两个公共点即可， GF∥CB,且GF=2CB. [解]在平面AAD,D内，连接DF并延长 D .GF∥HE,且GF≠HE, ∴.HG与EF相交.设交点为K, ∴.K∈HG,HGC平面DCCD, .K∈平面DCCD. ,K∈EF,EFC平面ABCD,∴.K∈平面ABCD ,D,F与AD不平行，.D1F与DA必相交于一 :平面DCCD∩平面ABCD=DC,.K∈DC, 点，设为P,则P∈FD,P∈DA. ∴EF,HG,DC三线共点. 规律方法 又FD,C平面BED1F, 点共线与线共点的证明方法 P∈平面BED1F, 1.点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即 又DAC平面ABCD, 两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在 ∴.P∈平面ABCD. 两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可 .P为平面BED1F与平面ABCD的公共点. 选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点 又B为平面ABCD与平面BED,F的公共点， 也在其上. 连接PB,则PB即为平面BED,F与平面ABCD的交 线。 2.三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作 为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然 规律方法 后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可 两点确定一条直线，由平面基本事实3知，要想画 先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证 出两个平面的交线，只需找到两个平面的两个公 明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点 共点即可， 重合，从而得三线共点。 ◇[变式训练] ◇[变式训练] 4.如图正方体ABCD-AB,C1D 3.已知△ABC在平面a外，其三边所在的直线满足 中，M,N,P分别是AB,AD1, AB∩a=P,BC∩a=Q,AC∩a=R,如图所示，求 BB,的中点.画出过M,N,P的 证：P,Q,R三点共线. 平面与平面A,B,C,D,的交线以 及与平面BBC,C的交线： 解：设M,N,P三点确定的平面为a,则a与平面 AA1B,B交于MP. 连接MP并延长交A,B,的延长线于一点，设为R, 连接NR,则NR为平面a与平面A1B,C1D1的交 证明：，AB∩a=P, 线.设RN∩B,C,=Q,则PQ是a与平面BB,C,C .P∈AB,P∈平面a. 的交线，如图所示 又ABC平面ABC,∴.P∈平面ABC. ,由基本事实3可知：，点P在平面ABC与平面a 的交线上，同理可证Q,R也在平面ABC与平面a 的交线上 P,Q,R三点共线 ·287· 数学s·必修第二册 随堂。步步夯实 对应学生用书P172 1.已知点A,直线a,平面a,以下表述正确的个数是 解析：AC∥BD,.AC,BD确定一个平面B(推论 ( 3),∴.a∩3=CD,ABCB,又O∈AB,∴.O∈3，又 ①A∈a,ata→Ata;②A∈a,a∈a→A∈a;③Ata, O∈a,.O∈CD,即O,C,D三点共线. aCa→Ata;④A∈a,aCa→ACa. 答案：共线 A.0 B.1 C.2 D.3 4.如图，已知D,E是△ABC的边 解析：A[①不正确，如a∩a= AC,BC上的点，平面a经过D, ·A E两点，若直线AB与平面a的 A;②不正确，“a∈a”表述错误； D 交点是P,则点P与直线DE的 ③不正确，如图所示，A庄a,aCa,但A∈a;④不正 位置关系是 确，“ACa”表述错误.] 解析：因为P∈AB,ABC平面 2.下列命题中正确的是 ABC,所以P∈平面ABC,又P∈a,平面ABC∩平 A.空间三点可以确定一个平面 面a=DE,所以P∈直线DE B.三角形一定是平面图形 答案：P∈直线DE C.若A,B,C,D既在平面α内，又在平面3内，则 5.已知A∈l,B∈1，C∈l,D庄l(如图)，求证：直线 平面a和平面3重合 AD,BD,CD共面 D.四条边都相等的四边形是平面图形 解析：B[共线的三点不能确定一个平面，故A 是 错；两个平面有公共点，这两个平面可以是相交的， 证明：因为D庄1，所以D和l可确定一平面，设 故C错；四边都相等的四边形可以是空间四边形.] 为a. 因为A∈l,所以A∈a.又D∈a,所以ADCa. 3.若直线I与平面a相交于点O,A,B∈I,C,D∈a,且AC∥ 同理BD二a,CDCa,所以AD,BD,CD都在平面a BD,则O,C,D三点的位置关系是 内，即它们共面. 课后。素养提升 对应学生课时P102 基础过关 3.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中 JI CHU GUO GUAN ( 1.下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是 A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C,至少有三点共线D.不可能有三点共线 解析：B[如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只 有B正确.] D 图() 解析：D[A中图形没有画出两平面的交线，故不 C D 正确；B,C中图形的实、虚线没有按照画法原则去 A B 画，也不正确.] 图(2) 4.下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱 2.能确定一个平面的条件是 ( 的中点，这四个点不共面的图形是 ( A.空间三个点 B.一个点和一条直线 C.无数个点 D.两条相交直线 解析：D[不在同一条直线上的三个，点可确定一 个平面，A,B,C条件不能保证有不在同一条直线 上的三个点，故不正确.] ·288· 第六章立体几何初步 解析：D[在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中 解析：若直线l与平面α有两个公共，点，则这条直 位线的性质，知均有PS∥QR,即在此三个图形中 线一定在这个平面内，故①正确；直线1在平面a P、Q、R、S共面，故选D.] 内用符号“C”表示，即1Ca,②错误；由a与b相 5.(多选)下列命题中，错误的是 ( 交，说明两个平面有公共，点，因此一定相交，故③ A.经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个 正确. 平面 答案：①③ B.经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个 8.如图，在正方体ABCD-AB,CD1中，设线段AC与 平面ABCD,交于点Q,则B,Q,D,三点的位置关系 平面 是 C.经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面 D D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对 角线，有且只有一个平面 解析：ACD[因为正方体的四条体对角线相交于 同一点（正方体的中心），因此经过正方体任意两条 体对角线，有且只有一个平面，故B正确，ACD 解析：如图，连接AB,CD,BD, 错误.] 显然B∈平面ABCD,,D,∈平 6.(多选)如图，正方体ABCD一 C 面ABCD, A1B,CD1中，若E,F,G分 102 A .BD,C平面ABCD 别为棱BC,CC1,B,C,的中 ↑F 同理，BD,C平面ABCD,, 点，O,O,分别是四边形 01D .平面ABCD,∩平面ABCD,= ADDA,AB1CD的中心，则 E BD,.,A,C∩平面ABCD1=Q, ( ∴.Q∈平面ABCD. A.A,C,O1,D1四点共面 又.ACC平面ABCD,∴.Q∈平面ABCD. B.D,E,G,F四点共面 .Q在平面ABCD,与平面ABCD,的交线上，即Q C.A,E,F,D1四点共面 ∈BD,.B,Q,D三点共线. 答案：共线 D.G,E,O,O,四点共面 9.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以 解析：ACD[因为正方体ABCD-AB,C,D1中， 确定 个平面 E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C的中点，O1,O2分 (2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共 别为四边形ADD1A1,AB1C1D1的中心，所以O1 线，这5个点最多可以确定 个平面. 是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正 解析：(1)可以想象三棱锥的4个顶，点，它们总共确定4 确；因为E,G,F在平面BCC1B1内，D不在平面 个平面. BCC1B1内，所以D,E,G,F四，点不共面，故B错 (2)可以想象四棱锥的5个顶，点，它们总共确定7个 误；由已知可知EF∥AD,,所以A,E,F,D1四点 平面 共面，故C正确；连接GO2并延长，交A,D,于H, 答案：(1)4(2)7 则H为A1D1的中，点，连接HO,则HO,∥GE,所 10.如图，在四面体A一BCD中作截面PQR,若PQ,CB 以G,E,O1,O2四点共面.故D正确.] 的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点N,RP、 DC的延长线交于点K. 7.有以下三个命题： ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公 共点； ②直线l在平面a内，可以用符号“l∈a”表示； ③已知平面a与阝不重合，若平面a内的一条直线 a与平面B内的一条直线b相交，则a与3相交. 其中真命题的序号是 求证：M、N、K三点共线. ·289· 数学s,·必修第二册 解：，M∈PQ,直线PQC平面PQR,M∈BC,直线 (2)正确.如图所示. BCC平面BCD, 因为OE直线ACC平面AA,C1C,OE直线BDC .M是平面PQR与平面BCD的一个公共点， 平面BB1D,D,O,∈直线A,C1C平面AA1C,C, .M在平面PQR与平面BCD的交线上. O1∈直线B1D1C平面BB,D1D,所以平面 同理可证，N、K也在平面PQR与平面BCD的交线 AA1CC与平面BB1D1D的交线为OO1. 上.M、N、K三点共线. 11.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD一AB,CD 中，M,N分别是AA1,D,C的中点，过D,M,N三点 的平面与正方体的下底面相交于直线1. (3)(4)都正确，因为AD∥B,C,且AD=B,C1, 所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A,B1, (1)画出直线1的位置； C,D共面 (2)设∩AB1=P,求线段PB1的长. 解：(1)延长DM交DA1的延长线于E,连接NE,则 NE即为直线L的位置， 答案：(2)(3)(4) 13.如图所示，设E,F,G,H,P,Q分别是正方体 (2):M为AA1的中点，AD∥ED,.AD=AE= ABCD-A1BCD1的棱的中点，求证：E,F,G,H, A D=a. P,Q共面. D1 AP/DN,且DN-aAP-D,N 44, 1 G 于是PB,=A,B,-A,P=a- D 能力提升 H NENG LI TI SHENG P B 12.在正方体ABCD一A1B1C,D1中，下列说法正确 证明：连接EF,QG,A,C1,EH, 的是 .(填序号) 因为E,F,Q,G分别是A1D1,D1C1,A1A,CC的 (1)直线AC,在平面CC,B,B内. 中点， (2)设正方形ABCD与A,B,C,D1的中心分别为 所以EF∥A,C1∥QG,同理可证FG∥EH. O,O,则平面AAC1C与平面BB,D1D的交线 设E,F,Q,G确定平面a,F,G,E,H确定平面B, 为001. 由于a与B都经过不共线的三，点E,F,G,所以a (3)由A、C1、B1确定的平面是ADCB1. (4)由A、C,、B,确定的平面与由A、C,、D确定的 与B重合，即E,F,G,H,Q五点共面，同理可证 平面是同一个平面 E,F,G,P,Q五点共面，所以E,F,G,H,P,Q 解析：(1)错误.如图所示，点A庄平面CCB1B,所 共面 以直线AC中平面CC1BB. D D ·290· 第六章立体几何初步 素养培优 由此可证得DE∩BF=O,故D,B,F,E四点 SU YANG PEI YOU 14.在正方体ABCD-AB,C,D 0 共面 中，E,F分别为DC1,B,C (2)设平面DBFE为a.由于AA1∥CC1, 的中点，AC∩BD=P,A1C 所以A1,A,C,C1四点共面（设为B) ∩EF=Q,如图. (1)求证：D,B,E,F四点 因为P∈BD,BDCa,所以PE∈a. 共面； 又P∈AC,ACC3,所以P∈3， (2)作出直线A,C与平面BDEF的交点R的 所以P∈(a∩B). 位置 解：(1)证明：由于CC和BF在 0(0) 同理可证得Q∈(a∩3)，从而有a∩3=PQ. 同一个平面内且不平行，故必相 连接A1C,交PQ于点R,因为A1CCB, 交.如图，设交点为O,则OC1= 所以A,C与平面a的交点就是A,C与PQ的 C,C.同理直线DE与CC1也相 交，设交点为O,则OC1=CC, 交点 故0与O重合. 所以AC与PQ的交，点R就是所求的交，点. 3.3 刻画空间点、线、面位置关系的公理（基本事实4、等角定理） 课程标准 素养解读 1.了解空间中两条直线的位置关系 借助实物理解异面直线的概念，进行两条直线 2.理解空间平行线的传递性，会证等角定理 平行的判断，培养学生的直观想象素养与逻辑 3.理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形 推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P172 [情境引入] [知识点二】异面直线 1,如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直 (1)异面直线的定义和理解 线平行吗？ ①定义：不同在任何一个平面内（不共面）的两条 提示：不一定，这两条直线可能相交、平行或异面 直线称为异面直线 2.同一平面内，一个角的两条边与另一个角的两条边 ②特点：异面直线既不相交又不平行，即不同在任 分别平行，那么这两个角相等或互补.空间中是否 何一个平面内. 有类似规律？ (2)异面直线的表示 提示：有，观察图形有∠AOB=∠A'O'B. 为了表示异面直线α，b不共面的特点，画图时，通 常用一个或两个平面衬托.如图： (3)空间两条直线的位置关系 [知识梳理] 空间两条直线的位置关系有且只有三种： [知识点一]基本事实4 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点 平行同一条直线的两条直线互相平行. 共面直线 平行直线：在同一平面内，没有公共点. ∥b) 用符号表示为 →a∥c. 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. ∥c ·291·