5.3.1 复数的三角表示式（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第五章复数 五维课堂兰 §3.复数的三角表示 3.1复数的三角表示式 课程标准 素养解读 1.了解复数的三角形式，了解复数的代数形式及三 通过复数的几何意义，了解复数的三角形式， 角形式之间的关系 培养学生的逻辑推理素养，提升数学抽象素 2.会进行复数的代数形式与三角形式的转化，了解 养；通过复数的代数形式与三角形式的互化， 辐角 提升学生的数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 即辐角为0+2kπ(k∈Z). 通过前面的学习，我们已经知道在复平面 (2)在[0,2π)内的辐角称为之的辐角的主值，记 内，复数之有两种表示：一是代数表示，即之=a十 作 bi(a,b∈R)；二是几何表示，复数之既可用，点 2思考1.复数三角形式之=r(cos0+isin0)中 Z(a,b)表示，也可用向量OZ表示，但代数形式在 0一定是辐角主值吗？一个复数的三角形式 解决复数乘、除、乘方等问题中还是较为繁琐. 唯一吗？ 问题能否找到复数之的另一种表示，彻底解决 复数的乘、除、乘方、开方等问题？ 2.两个复数的模和辐角主值相等是两个复数相 等的充要条件吗？ [知识梳理] [知识点一]复数的三角形式 一般地，非零复数之=a十bi(a,b∈R)在复平面 内对应点Z(a,b),且r= ,0是以x [预习自测] 轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角， 1.复数1+i的辐角主值为 则a=rcos0,b=rsin0,从而x=a十bi= A晋 B. C. D.牙 ,上式的右边称为非零复数之=a十bi 2.复数之=√3-i的三角形式为 (a,b∈R)的三角形式（对应地，a十bi称为复数 2π 的代数形式)，其中0称为之的 A.2 cos 复数三角形式的结构特征是： 、余弦前、加号连，否则不是三角 B.2cos3 形式 C.2eos7-isin7 6 [知识点二]辐角与辐角主值 (1)任何一个非零复数之的辐角有无数个，而且 任意两个辐角之间相差都是 的整数倍， 3.将复数化为三角形式：一2十2i= ·149· 世五维课堂 数学s·必修第二册 ● 课堂。互动学案 题型一 复数的辐角主值 题型二】 复数的三角形式的判断 [例1]求下列复数的模和辐角主值， [例2]判断下列复数是否是三角形式. (1)-1+i:(2)5-i (1)z1=-2(cos0+isin0); 思路点拨]之=a+bi=r(cos0+isin0),r (2)2=cos 0-isin 0; 是复数的模，当0≤0<2π时，0的值为辐角 (3)zs=-sin 0+icos 0; 主值，记作arg之 (4)z5=cos60°+isin30°. [思路点拔]之=a十bi可以表示成之= r(cos0+isin0),r≥0,0为辐角. 规律方法 规律方法 三角形式之=r(cos0+isin0),需要的条 适合于[0,2π)的辐角的值叫做辐角主值， 除0外每个复数有且仅有一个辐角主值， 件：①r≥0.②0前后一致，可取任意值 一般先用复数之对应的点Z(a,b)确定角 ③cos0在前，sin0在后.④加号连接，可简 记为：模非负、角相同、余弦前、加号连，此 所在的象限，由tan0=2确定在[0,2元)内 四个条件缺一不可： 的角0，即为arg之： ⊙[变式训练] ◇[变式训练] 2.判断下列复数是不是三角形式. 1.说出下列复数的辐角主值. (1)2i;(2)-5;(3)-3i. (2)2 cos (3)sin3 icos3 (4os（+isin（ (-3cos+in): ·150· 第五章复数 五维课堂 题型复数代数形式与三角形式的互化 规律方法 [例3]把复数1=i,2=一1+√3i分别表示为 代数形式化为三角形式的步骤为： 三角形式. ①先求复数的模r=|z|;②确定Z(a,b)所 思路点拨]=a十bi(a,b∈R)=r(cos0十 在的象限；③根据象限求出辐角；④写出复 isin0),注意0的范围. 数三角形式.三角形式中的辐角，不一定是 辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主 值 ◇[变式训练] 3.将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主 值) (1)2(cos-isim) (2)-a os+iin (3)2 sin 3元 ) 4 十icos4 (4)2(-cos+isin) 随堂。步步夯实 1.复数=sim+icos）化为代数形式为 (3(o子x+isin是： 3eos号+in号 C. D2-鸣 2.复数之=-a-ai(a>0)的辐角主值为() A日 B子元 c✉ 3.将复数之=√ o()+sn（]化为代 数形式为 4若复数：满足-方rg)吾，则 5.把下列复数表示成代数形式 a)4cos+isin)月 C温馨提污 2)6(sxin)月 学习至此，请完成配套训练 ·151参考答案 随堂步步夯实 1D会得器做选D 2.C[在等式iz=4十3i两边同时乘i得，一之=4i-3,所以之 =3-4i,故选C.] 3.解析：之=i·(1十i)2=-i×(2i)=2. 答案：2 2 4.解析：=1十i:=2. 答案：√2 5.解：(1)(1+i)(1-i)十(-1十i)=1-i十(-1十i)=1十1 1+i=1+i. 2(+)+2)a* [()+(保)川1* 〔1+D-()(名-9) 1+5+1-5 2 (3)(-2+3i)÷(1+2i)=1+2 -2+3i =2+3(1-21)=(-2+6)+(3+40i (1+2i)(1-2i) 12+22 w2 (3十20(2+3)-(3-2i)(2-3D (2-3i)(2+3i) 6+13i-6-6+13i+6-2gi=21 4+9 13 §3.复数的三角表示 3.1复数的三角表示式 课前预习学案情境引入 提示：复数的三角形式x=r(cos0十isin8)(r≥0)是解决问 题的桥梁 知识梳理知识点一 |z=√a+br(cos0+isin)辐角模非负角相同 知识点二 (1)2π(2)argx 「思考] 1.提示：复数三角形式中的日不一定是辐角主值，三角形式不 唯一 2.提示：是，因为一个非零复数的模和辐角主值是唯一确定的， 所以两个非零复数相等当且仅当他们的模和辐角主值相等. 预习自测 1.C2.D3.2E(cos+isin平） 课堂互动学案 [例1][解](1)-1十i=2,又tan0=-1,点(-1,1)在 第二象限，所以arg(-1十)= （②5-=2又am0=一怎点5，-1)在第四家限，所 以argW3-i》=11 6 变式训练 1,解：(1)arg(2)=2.(2)arg(-5)=元 (3)arg(-3i)=之元 3 [例][解](1)由r≥0知，名1不是三角形式. (2)x中cos0与sin0之间为减号，不是三角形式. (3)之中正、余弦位置不对，不是三角形式. (4)x中角不同不是三角形式. ·2 五维课堂兰 变式训练 2.(1)不是(2)不是(3)不是(4)是 (5)不是(6)是 [例3][解] 1=1,arg=argi=受， =cos受+isin受 ,=√-1)'+W5)=2,tan9=么=-5，又Z,(-1, a )在第二象限arg名=g=2(os号+isn)月 变式训练 3.12(os+isin)(2)2(os号+isin号) (a)2(os7+isin）(2(os+isin） 随堂步步夯实 1.D[e=5(m经+ios）-sin5+5iosg-5 3 ×9+x(）=是] 2C[a>0时，之对应的点(-a,-a)在第三象限，tan8=1, 又9e[0,2.9=号] 3.解析：x=E(cos牙-isin平）=2×cos平-i2×sin平 =1-i. 答案：1-i 4.解析：令二1=，则= 1 x=2(os+isim晋） 1+3 4 4 得=1+ 答案1 5解：1D4(m晋+n晋）=4x(合+】 =2+2√51 ev6(os吕iin号)-6(9) =3√5-3i. 8(o子+isim子x)-E×(9+)-1+i (4)3(os2x+isin多x）-3i 3.2复数乘除运算的几何意义 课前预习学案情境引入 提示：三角形式下两个复数的乘积仍可按代数形式进行计 算，但过程繁杂，运用三角形式下两复数的乘法法则可使运 算筒便. 知识梳理知识点一 1.nr,[cos(8十02)十isin(8十8，)]2的模之1的辐角与 2的辐角之和r2 2.r[cos(nd)十isin(nd)]模的n次方复数辐角的n倍 3.2[cos(日，-6)+isin(0-02)]除以减去 [思考] 1.提示：积的辐角等于原来两个复数的辐角集合中各任取一 个，求和角，所有和角组成的集合，即为积的辐角的集合，而 积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主值和 arg(名1z2)=arg之1十arg之十2kπ，其中整数k使arg名十 argx2十2kπ∈[0,2r). 2.提示：复数的乘法实质上就是向量的旋转和伸缩，旋转方向 与角度取决于从另一复数的辐角集合中取出来的值，伸长或 缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小， 9