5.2.2 复数的乘法与除法&5.2.3 复数乘除法几何意义初探（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第五章复数 能力提升 (2)若A∩B=A,因为两圆半径相等，所以两圆重 NENG LI TI SHENG 12.设复数1，之2在复平面内的对应点关于虚轴对 合，但由圆心的坐标（一1,0）及(m一1,1)，可知它 称，之1=2十i,则名2= 们不可能重合，所以不存在实数m,使A∩B=A. A.-5 B.5 素养培优 SU YANG PEI YOU C.-4+i D.-4-i 解析：A[之=2十i在复平面内的对应点的坐 14.已知复数名1=1+(10-a2)i,之2=(2a-5)i,a>0, 标为(2,1)， 21十2∈R. 又名1与2在复平面内的对应点关于虚轴对称， (1)求实数a的值； 则2的对应点的坐标为（一2,1）， (2)若x∈C,|之-x2=2,求|zx的取值范围. 即之2=-2十i, 解：(1)因为x,=1+(10-a2)i,22=(2a-5)i,a>0, .xx2=(2+i)(-2+i)=i-4=-5.] 13.已知集合A={名1名+1|≤1，名∈C,B={22 所以1+22=1-(10-a2)i+(2a-5)i =21+i+m,名∈A,m∈R. =1+(a2+2a-15)i, (1)当A∩B=必时，求实数m的取值范围； 因为1十2∈R,所以a2十2a-15=0, (2)是否存在实数m,使得A∩B=A? 解得a=-5或a=3, 解：因为|名1十1≤1，所以1所对应的点构成的 因为a>0,所以a=3. 集合A是以（一1,0）为圆心，以1为半径的圆面 (2)由(1)知x2=i, (圆周及其内部)，又=1十i十，所以名=之2一 i-m.所以之2-i-m十1≤1，即|x2-[(m-1)+ 因为之一之2=2，所以之在复平面内对应点的轨 门≤1. 迹是以(0,1)为圆心，2为半径的圆. 所以之2所对应的点的集合B是以点(m一1,1)为 故x可看作是复数之在复平面内对应的，点到坐 圆心，1为半径的圆面（圆周及其内部） 标原点的距离， (1)若A∩B=必，说明上述两圆外离，其圆心距d 所以2-1≤|x≤2+1，即1≤|之≤3. =√(m-1+1)2+1>2,解得m的取值范围是 故|x的取值范围为[1,3]. {mm∈R,且m>√或m<-√3}. 2.2 复数的乘法与除法 2.3 复数乘法儿何意义初探 课程标准 素养解读 通过学习复数代数形式的乘法和除法运算，提升数 掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法 的交换律、结合律和乘法对加法的分配律 学运算素养.通过学习复数乘法的交换律、结合律及 乘法对加法的分配律，培养数学抽象素养 课前。预习学案 对应学生用书P146 [情境引入] 2.复数乘法的运算律 两个实数的积、商是一个实数.那么两个复数 对于任意之1，之2，∈C,有 的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运 交换律 之1·2=22·之1 算.才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中 的有关规定相容？复数的加减运算把ⅰ看作一个 结合律 （21·22）·3=名1·（22·3) 字母.相当于多项式的合并同类项.那么复数乘法 乘法对加法 之1·(x2十之3)=之122十21·g 是否可以像多项式乘法那样进行呢？ 的分配律 [知识梳理] 3.复数范围内正整数指数幂的运算性质 [知识点一]复数的乘法法则 对复数之，之1，之和正整数m,n,有之”·之”=之m+", 1.乘法法则 (")”=2m,(x1·x2)”=21”·22”. 已知之1=a十bi,22=c十di,a,b,c,d∈R,则之1·z2 4.i的乘方的运算性质 一般地，对任意自然数n,有"=1，+1=i,in+2= =(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. -1,i+3=-i. ·249· 数学s,·必修第二册 5.互为共轭复数的乘法性质 [预习自测] 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个 复数（或其共轭复数）模的平方.即若x=a十bi(a,b 1.下列各式的运算结果为纯虚数的是 ∈R),则x·=x2=12. A.i(1+i) B.2(1-i) [知识点二]复数的除法法则 C.(1+i) D.i(1+i) （a+bi÷(c+di)=ac+bd+bc-ai(c+di≠0)， c2+d2 c2+d2 解析：C[(1+i)2=2i为纯虚数知选C.] a,b,c,d∈R 2.(2021·浙江卷)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a十i 型，则分子、分母同乘a一bi;若分母为a一bi型，则 数单位)，则a= 分子、分母同乘a十bi. A.-1 B.1 。思考怎样进行复数的除法运算 C.-3 D.3 提示：在进行复数除法运算时，通常先把(a十bi): 解析：C[(1+ai)i=i-a=3+i→a=-3.] (c十d)写成十的形式，再把分子、分母同乘以 c+di 3.计算：i(2+3i) 分母的共轭复数c一di,从而使分母实数化，化简得 解析：i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i. 结果. 答案：一3十2i 课堂。互动学案 对应学生用书P147 题型一复数代数形式的乘法运算 题型 复数的除法运算 [例1门计算下列各题： [例2] (1)(1-i)(1+i)+(-1+i): 1 (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. A.- 5 B.- + 汇思路点拨]复数的乘法可以类比多项式乘法， 3 4 遇到要换成1 C.- 5 D.-3+4 5+51 [解](1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-2-1+i (2)(2021·北京卷)在复平面内，复数之满足(1一 =1+i. i)z=2,则x= ( (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i A.2+i B.-2-i =(-2+10i+i-5)(3-4i)+2i C.1-i D.1+i =(3+11i)(3-4i)+2i 1 (3)在复平面内，复数一的共轭复数对应的点 =(9-12i+33i-44i2)+2i 位于 =53+21i+2i=53+23i. A.第一象限 B.第二象限 规律方法 C.第三象限 D.第四象限 复数的乘法（乘方）按多项式的乘法展开，再将” 化简. (4)设复数之满足十=i,则1z= 1一x 注意应用公式(1)(a+bi)2=a2-b+2abi(a,b∈R) A.1 B.2 (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,bER). C.√3 D.2 (3)(1±i)2=±2i. 思路点拔]遇到复数的除法，分子、分母要同乘 ◇[变式训练] 分母的共轭复数，把除法转化成乘法处理， 1.(1)(1+i)(2-i)= B.-3+i [解析] A.-3-i () 5 5 C.3-i D.3+i 选D. (2)若复数(1+ai)(2+i)是纯虚数，则实数a (2)z= 2 2·(1+i) 1i(①-iD·(1十D=1+i故选D. (3)(1+i)·i7= (3) 1 1+i 1 1 解析：(1)(1+i)(2-i)=2-i+2i-=3+i. 1(-i)1+D=2+2, (2)(1+ai)(2+i)=2-a+(1+2a)i,要使复数为 六关共机复致为号， 纯虚数，所以有2-a=0,1十2a≠0，解得a=2. (3)(1+i)·i7=(2i)2·(-i)=4i2(-i)=4i. 又分之在复平面内对应的点（分，一合）在第回 答案：(1)D(2)2(3)4i 象限，故选D. ·250· 第五章复数 (4)由题意知1十之=i一xi,所以之= 1-1 规律方法 1.复数的混合运算，一般先算乘方，再算除乘，最 (i-1)2 +1D(1D=i,所以11=1. 后算加减，有括号先运算括号. 2.对于不能直接求解的，设之=a十bi,利用复数相 [答案](1)D(2)D(3)D(4)A 等求a,b. 规律方法 3.注意整体结果的运用. 两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； ⊙[变式训练] 3.已知i是虚数单位，满足z一2z=一1+3i,则z= (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其 ( B.1-i 化为复数的代数形式 A.1+i C.1+2i D.1-2i ◇[变式训练] 解析：A[设之=x十yi(x,y∈R),则z=x-yi,所 2.(1)若复数之满足之(2一i)=11十7i(i是虚数单 以x-22=x+yi-2(x-yi)=-x+3yi,即-x+ 位)，则之为 A.3+5i B.3-5i 3yi= 一1+3，由复数相等得1。-1·解得 3y=3, C.-3+5i D.-3-5i @计算 =1所以=1十i,故选A.] y=1, 解析：(1)，x(2-i)=11+7i, 题型四 复数范围内解方程 =1)+7i=+7)2+D=15+25i=3+5i. [例4]已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根 2-i (2-i)(2+i) 5 (b,c为实数). (2)1+i(4+3i2_1+7i (1)求b,c的值； (2-i)(1-i) 1-3i (2)试判断1一i是否是方程的根.。 (1+7i)(1+3i) 10 汇思路点拨]1十ⅰ是方程的根，则代入方程成 =-2+i 立，可通过复数相等求出b,c,然后再验证1一i是 答案：(1)A(2)-2+i 否为方程的根. 题型 复数的综合运算 [解](1)因为1十i是方程x2十bx+c=0的根， .(1+i)2+b(1+i)+c=0, [例3] (1)设x= +2则1 即(b+c)+(2+b)i=0. A.0 R 等2 C.1 D.√2 b=-2,c=2. (2)方程为x2-2.x十2=0，把1-i代入方程左边 (2)设i是虚数单位，（咖+（告） x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程 成立 (3)设i是虚数单位，之是复数之的共轭复数.若之· .1一i也是方程的一个根. i十2=2x,则x= 规律方法 A.1+i B.1-i 解决复数方程问题的方法 C.-1+i D.-1-i 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的 [思路点拨 审清题意，利用复数ⅰ的运算性质 充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数 求解 的关系仍适用.但判别式“△”不再适用： (1-i)2 ◇[变式训练] [解析] D国为1卡+2i=a4D +2i 4.已知关于x的方程x2+(k+2i)x十2十ki=0有实 一2i+2=i,所以x=√0+1=1，故选C 根，求这个实根及实数飞的值. 解：设x=x。是方程的实根，代入方程并整理得(x 2原式-（马）”+==+ +k2。+2)+(2x。十k)i=0. 由复数相等的条件得z十kxn十2=2x。十k=0, -1-i. (3)设x=a+bi(a,b∈R),则之·i+2=(a+bi)· 解得，②， 或2=， (a-bi)·i+2=2+(a2+b2)i,故2=2a,a2+b2= k=-22,(k=22, 2b,解得a=1,b=1.即之=1+i. 方程的实根为=2或2=一√2， [答案](1)C(2)-1-i(3)A 相应的k的值为k=一2√2或k=2√2. ·251· 数学s·必修第二册 随堂。步步夯实 对应学生用书P148 1器 ( (3)(-2+3i)÷(1+2i); A告哥 B告+ (40=多器 3-21 解：(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-+(-1+i) c. D-意+青 =1+1-1+i=1+i. 解析：D 片会8别+器 (1-2i)(1+2i) 故 3 e(+)+》= 选D.] 2.(2021·全国乙卷)设ix=4十3i,则之= [〔（-）+= A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i 〔小+)-(-》() 解析：C[在等式iz=4十3i两边同时乘i得，一z 1++1-E =4i-3,所以x=3-4i,故选C.] 2 2 3.z=3·(1+i)2= (3)(-2+3im÷(1+2i)=+2 .-2+3i 解析：之=3·(1十i)2=-iX(2i)=2. 答案：2 =(-2+3i)(1-2)=（-2+6)+(3+4)i (1+2i)(1-2i) 12+22 4.复数之满足之(1+i)=2i,则z= 4+7 解析：=引-1+i=2 2i 5+5i. 答案√2 (43+2:3-25 2-3i2+3i 5.计算： (3+2i0(2+3i)-(3-2i)(2-3i) (1)(1+i)(1-i)+(-1+i): (2-3i)(2+3i) 2(+)+2+: 6士1-99+18i+s-答-2 4+9 课后。素养提升 对应学生课时P90 基础过关 JI CHU GUO GUAN 4,在复平面内，复数十十1十)对应的点位于 1.(2025·全国二卷，2)已知之=1+i,则1 -1 A.第一象限 B.第二象限 A.-i B.i C,第三象限 D.第四象限 C.-1 D.1 解析：B 答案：A [度数十(1十i)2=+1+2 2 2.在复平面内，复数2士3（是虚数单位）所对应的 3-4i 3=- +（+2 点位于 ( ) 对应复平面内的点 A.第一象限 B.第二象限 因为复数一 +(+ C.第三象限 D.第四象限 解析：B [324=二2+08+拉-8+ (-号，2+2同，故在第二象限 5.设2(x+z)+3(x-z)=4+6i,则x= =一 +日复级产对应的店位于第二 A.1-2i B.1+2i 5 象限.门 C.1+i D.1-i 3.(2025·北京卷，2)已知复数x满足i·之十2=2i, 解析：C[设x=a+bi,则=a一bi,代入得4a+ 则x= ( 6bi=4+6i得a=1,b=1,∴.之=1+i] A.√2 B.2√2 6.复数x满足(1十2i)z=4十3i,那么之= C.4 D.8 A.2+i B.2-i 答案：B C.1+2i D.1-2i ·252· 第五章复数 (4+3i)(1-2i) 解得。=1..方程x2-(4-2i)x十3-2i=0有 解析：A[:之=干2中200-2万号 实数根 -5i)=2-i,.z=2+i. 由根与系数的关系得方程的两根分别为1,3一2i. 7.若名1=(cosa+isin a),之2=cosB+isin3(a,3∈R), 能力提升 NENG LI TI SHENG 则1·2的实部、虚部分别为 12.已知x=1十2i是方程x2一mx+2n=0的一个根 和 (m,n∈R),则m十n= 解析：，z1·之2=(cosa+isin a)(cosB+isin B)= 解析：把x=1十2i代入x2一mx十2n=0中，得(1 cos a cos B+icos asin B+isin acos B+isin asin B= +2i)2-m(1+2i)+2n=0,即1-4+4i-m-2mi (cos acos B-sin asin B)+i(cos asin B+sin acos B) 十2n=0,整理得(2n一m-3)十（4-2m)i=0,根 =cos(a+3)+isin (a+3), 据复数相学的充要条件，得2m一3=0， 解得 ∴之1·2的实部为cos(a十3)，虚部为sin(a十). 4-2m=0, 答案：cos(a十3)sin(a+) 9 m=2,n= 2,m十n= 21 8.(2025·天津卷)已知i是虚数单位，则 3+i 答案：号 解析： 3+i -13+il-0=而. 1已知复数=升十}告a∈R,若复数x对应的 i 点在复平面内位于第四象限，求实数a的取值 答案：√10 范围. 9.定义运算 b d =ad-c,若复数x=y 解：x= 5a(2-i) 2+D2D+ -1+带=2+ (1+i)(1+i) 4i (1一a)i,若复数之对应的，点在复平面内位于第四 ,y= 象限， 解析：因为x=岸二少-一则1z=1,所 则/2a>0, 2 {1-a<0, 解得a>l. 以y，=-1x=- 素养培优 SU YANG PEI YOU 答案：1一2 14.复数x满足之·z十2z=3十ai(a∈R),且其所对 10.计算： 应的点在第二象限，求a的取值范围. 1)1+2i)2+31-i) 解：设之=x十yi(x,y∈R),由题意知x<0且y> 2+i 0,由之·之+2iz=3+ai(a∈R), (2)-1+8i) +y2+2i(x-yi)=3+ai. -2+i (1+i) 1+2i 122+y2+2y=3,① 解：(1)1+21)+31-》-一3+4i+3-3i (2.x=a. ② 2+i 2+i 由②式得x=号，将其代入①式得y+2y+年-3 2+i 5 =0.③ (2)原式=（-1+3i)3 22+i 由eR,知4=4-〔-3小0. (2i) 1+2i ,-4≤a≤4.④ +) i(2i+1)=i-i=0. 1+2i 此时y=一1士 4· y>0,y=-1+ 11.试分析方程x2-(4-2i)x+3-2i=0是否有实数 根？并解方程 4->0,即/4->1， 解：设x是方程x2-(4-2i)x十3一2i=0的实数 ∴.-2√3<a<2√5.⑤ 根，则z号-(4一2i)x。十3-2i=0, 即(x号-40+3）+(2x0-2)i=0, 再由x=号<0，得a<0.⑥ :/-4+3=0, 综合④⑤⑥三式得a的取值范围是一2√3<a (2x0-2=0. <0. ·253·