6.5.1.2 直线与平面垂直的判定-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

参考答案 设正方体的棱长为1，所以A,B=2,A,0=三 2 A0.1 又因为∠AOB=90,所以sin∠A,B0=AB2,所 以∠A1BO=30°.所以A1B与平面BB1D1D所成的角 是30°. 第二课时直线与平面垂直的判定 1.D 2.D 3.A 4.C5.ACD 6.ABD[由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，可 知PA⊥BC,故A正确；由题意可知BC⊥AC,PA⊥BC, 又AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,故B正确；结合 选项B,根据直线与平面垂直的定义知BC⊥PC,故D正 确.故C错误.] 7.解析：PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, ∴.PA⊥BD,又PE⊥DE,PA∩PE=P, ,.DE⊥平面APE,又AEC平面APE,∴.AEDE, AE-号PE+(得)=是 答案号 8.解析：B1C1⊥平面ABB1A1,MNC平面ABB1A1, ∴.BC⊥MN.又：MN⊥BM,B1C∩BM=B, .MV⊥平面CBM,又CMC平面CB1M,,.MV CM.∠C1MN=90°. 答案：90° 9.解析：由已知得，△BDC和 △ABC是全等的等边三角形且 F是BC的中点，所以BF⊥FD, BF⊥AF.又FD∩AF=F,故 BF⊥平面AFD. 连接EF,则EF是BE在平面 AFD内的射影，所以∠BEF是 BE与平面AFD所成的角. 设空间四边形ABCD的边长为a,则在等边三角形 ABD中BE= 2a 在R△BFE中，BF=号BC=a. 1 BF_3 故sin∠BEF=B距=3· 六Cos∠BEF=Y5 ,故tan∠BEF= 2 答案9号 2 10.证明：如图，取CD的中点G,连接 EG,FG, 则EG=2AC= 1 2a, FG=号BD= 1 EFER EG FG2, .∠EGF=90° :AC∥EG,BD∥FG,.BD⊥AC. ∠BDC=90°，∴.BDDC. ,AC∩DC=C,∴.BD⊥平面ACD. ·16 课时作业马 11.证明：(1).PA平面ABC,BCC平面ABC, ∴PA⊥BC :△ABC是直角三角形，AB为斜边，∴.BCLAC, 又AC∩PA=A,.BC⊥平面PAC. (2)由(1)知BC⊥平面PAC, .ANC平面PAC,.BC⊥AN 又.AN⊥PC,BC∩PC=C, .AN⊥平面PBC,又PBC平面PBC, .AN⊥PB,又：PB⊥AM,AM∩AN=A, .PB⊥平面AMN. 12.解析：如图所示，连接B1C,由BC =CC1,可得BC1⊥BC,因此，要 证AB:⊥BC,则只要证明BC⊥A1 B 平面ABC,即只要证AC⊥BC 即可，由直三棱柱可知，只要证 AC⊥BC即可.因为AC∥AC, BC1∥BC,故只要证AC1⊥ BC即可.（或者能推出A,C1⊥B,C的条件，如 ∠A1CB1=90°等) 答案：∠A1CB1=90(答案不唯一) 13.证明：(1)AB为⊙0的直径， ∴.AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM,.PA⊥BM. 又，PA∩AM=A,.BM⊥平面PAM. 又ANC平面PAM,.BM⊥AN. 又AN⊥PM,且BM∩PM=M, .AN⊥平面PBM (2)由(1)知AN⊥平面PBM,PBC平面PBM, ∴.AN⊥PB. 又AQ⊥PB,AN∩AQ=A, ∴.PB⊥平面ANQ. 又NQC平面ANQ, ∴NQ⊥PB. 14.解：(1)证明 ①由AD∥BC,BC∥B,C1,可得AD ∥BC, 又BC1中平面AAD,D,ADC平面AA1DD, 所以B,C1∥平面AADD, 又平面BCE∩平面AA1D1D=EF, 所以BC∥EF,又A1D1∥BC1, 所以EF∥AD. ②在Rt△FA1B1和Rt△ABB中， FALAB=1 AB BB 2 所以Rt△FA1B1∽Rt△A1B1B, 所以∠AFB1=∠BAB, 因为∠A1FB1十∠A1B1F=90°， 所以∠BA1B1十∠A1B1F=90°， 所以A1BB1F, 由AD⊥AB可得B1C⊥A1B1, 又B1C1⊥BB1,所以B1C⊥平面A1B1B, 又A1BC平面A1B1B,可得BA1⊥B1C, 又BA1⊥BF,且B1F∩BC=B1, 所以BA1⊥平面B,CEF. (2)设A,B∩B1F=O,连接C1O(图略)， 由(1)可知BC1与平面BC1EF所成的角为∠BCO, 在Rt△A1B,B中，BB=BO·BA1, 9 世数学B5) 即2=BO·√6，解得BO= 4 √6 B0=V6=30 所以sin∠BC0-肥2后言 所以BC,与平面B,CEF所成的角的正孩值为Y. 15 5.2平面与平面垂直 第一课时平面与平面垂直的性质 1.A2.B3.D4.C5.AB 6.AB[若点P在二面角内，则二面角的大小角为120°： 若，点P在二面角外，则二面角的大小为60°.故选AB.] 7.解析：，侧面PAC⊥底面ABC,∠PAC=90°，即PA⊥ AC,.PA⊥平面ABC,,PA⊥AB,.PB= √PA+AB=√1+4=√5. 答案：√5 8.解析：此二面角的平面角为∠BDC,设AD=1,则AB= AC=√2，又：∠BAC=60°，∴.BC=√2，在△BDC中，BD =CD=1,∴.BD+CD=BC, ∴.∠BDC=90 答案：90° 9.解析：因为AD⊥BC,所以AD⊥BD,AD⊥CD,所以 ∠BDC是二面角B一AD-C的平面角.因为平面ABD ⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在△BCD中，∠BDC= 90.aD=cD-9所以c√/)--1 则△ABC为正三角形，所以∠BAC=60° 答案：160° 10.证明：在平面PAB内，作AD⊥PB于D. :平面PAB⊥平面PBC, 且平面PAB∩平面PBC=PB, ∴.AD⊥平面PBC. 又BCC平面PBC, .AD⊥BC. 又，PA⊥平面ABC,BCC平 面ABC, .PA⊥BC,又PA∩AD=A, ∴.BC⊥平面PAB. 又ABC平面PAB,.BC⊥AB. 11.解析：取AD的中点G,连接PG,BG(图略). ·△PAD是等边三角形，，，PG⊥AD.又平面PAD 平面AC,平面PAD∩平面AC=AD,PGC平面PAD, .PG⊥平面AC,.∠PBG为PB与平面AC所成的角 A.易知在△PBG中，PG⊥BG,BG=PG,.∠PBG= 45°，即0=45°. 12.A[如图，连接AB, a A'B.则由已知AA'⊥平面B, ∠ABA=否，BB上平面Q ∠BAB=于.设AB=Q,则BA 9B服=号在R△BAB中， AB'-ta. 常] ·17 必修第二册 13.证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD,EF⊥AD,则 AB∥EF.又因为EF中平面ABC,ABC平面ABC,所 以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD =BD,BCC平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平 面ABD. 因为ADC平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC ∩AB=B,ABC平面ABC,BCC平面ABC,所以AD⊥ 平面ABC.又因为ACC平面ABC,所以AD⊥AC 14.解：(1)证明：在题图①中连接OD,OE. 易得OC=3,AC=3√2，AD=2√2，OD=OE=√5. 因为A'D=A'E=2√2， 所以A'D=A'O+OD,A'E2=A'O十OE, 即A'O⊥OD,A'O⊥OE,又OD∩OE=O, 所以AO⊥平面BCDE (2)在题图②中设CD,BE的延长线交于R点，取CR 的中，点M,连接OM,A'M(图略)， 则易证OM⊥CR,A'M⊥CR. 则∠A'MO就是二面角A'一CD一B的平面角，易得 A'M-30 OM=32 2 所以oAM0=0=四， 51 即二面角A'-CD-B的平面角的余孩值为 51 (3)取BR的中，点N,连接A'N和ON,过点O作OQ⊥ A'N交A'N于Q,连接BQ,则OQ⊥平面A'BE, 所以∠OBQ就是直线BC与平面A'BE所成的角. 易得0Q=3 5 ,OB=3, 所以s0Q-器=写，即直线CB与年西ABE所 成角的正孩值为得 第二课时平面与平面垂直的判定 1.D2.C3.AC4.BD5.①②④ 6.解析：PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,ACC平面 ABCD,.PA⊥AB,PA⊥AC,即∠BAC即为二面角 B一PA一C的平面角，又在正方形中∠BAC=45°，故所 求二面角的平面角为45°. 答案：45 7.解析：侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90° (即AC⊥PA), .PA⊥平面ABC,又ABC平面ABC, PA⊥AB, .PC=√/PA2+AC2=W1+9=/10, PB=√PA十AB=√I十4=√5. 答案：√10√5 8.解析：连接AC(图略)，由题意得BD⊥AC, PA⊥底面ABCD,PA⊥BD. 又PA∩AC=A, .BD⊥平面PAC,.BD⊥PC 令点M满足DM⊥PC(或BM⊥PC), 0世数学B5) 数 课时 间 第二课时 直 纠错空间 学作业 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.在长方体ABCD一A,B,C,D,的棱AB 上任取一点E,作EF⊥AB,于F,则 EF与平面A,B,C,D,的关系是() A.平行 B.EFC平面AB1C,D C.相交但不垂直 D.相交且垂直 2.正方体ABCD一A1BCD1中与AD 垂直的平面是 ( A.平面DD,C,C B.平面A1DB C.平面AB,C1D D.平面A,DB 3.已知l,m,n为两两垂直的三条异面直 线，过l作平面a与直线m垂直，则直 线n与平面a的关系是 A.n∥a 方法总结 B.n∥a或nCa C.nCa或n与a不平行 D.nCa 4.已知三条相交于一点的线段PA,PB, PC两两垂直，且A,B,C在同一平面 内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC 于点H,则垂足H是△ABC的() A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 5.（多选)已知m,n表示两条不同直线，a 表示平面.下列说法错误的是() A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若m⊥a,n二a,则m⊥n C.若m⊥a,m⊥n,则n∥& D.若m∥a,m⊥n,则n⊥c 6.（多选)PA垂直于以P AB为直径的圆所在 平面，C为圆上异于 A,B的任意一点，则A 下列关系正确的是 A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC 必修第二册 线与平面垂直的判定 7.在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,PA⊥平 面ABCD,且PA=1,E为BD上一点，PE ⊥DE,则PE的长为 8.如图所示，在正方体ABCD A1B,C1D1中.M,N分别是棱AA1和 AB上的点，若∠B,MN是直角，则 ∠C,MN= Dy D 9.如图，在空间四边形 ABCD中，AB,BC, CD,DA的长和两条 对角线AC,BD都相 等，且E为AD的中A 点，F为BC的中点， 则直线BE和平面 ADF所成的角的正弦值为 正切值为 10.如图，在空间四边形 ABCD中，E,F分别是 AD,BC的中点，若AC -BD-a,EF- 2a, ∠BDC=90°，求证： BD⊥平面ACD. 12· 第六章立体几何初步 课时作业乡 11.在斜边为AB的 P 素养培优 SU YANG PEI YOU Rt△ABC中，过点 14.如图，在侧棱垂直底 B 空 A作PA⊥平面 、D 间 面的四棱柱ABCD ABC,AM⊥PB于A -A1B,C1D1中，AD 纠错空间 M,AN⊥PC于N. ∥BC,AD⊥AB,AB B 求证： (1)BC⊥平面PAC; =√2，AD=2,BC= (2)PB⊥平面AMN. 4,AA,=2,E是DD1的中点，F是平 面B,C,E与直线AA1的交点， (1)证明：①EF∥A1D1; ②BA,⊥平面B,C1EF. (2)求BC,与平面B,C,EF所成的角 的正弦值. 能力提升 NENG LI TI SHENG 方法总结 12.在直三棱柱ABC-AB,C1中，BC= CC1,当底面A,B,C满足条件 时，有AB1⊥BC.(注：填上你认为正 确的一种条件即可，不必考虑所有可 能的情况) 13.如图，AB为⊙O的直 径，PA垂直于⊙O所 在的平面，M为圆周上 任意一点，AN⊥PM, 0- N为垂足， (1)求证：AV⊥平面PBM; (2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证：NQ⊥PB. ·113·