（练习）课时分层作业48 直线与平面垂直的判定-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(四十八)　直线与平面垂直的判定 一、选择题 1．在正方体ABCDs­A1B1C1D1中，下面结论错误的是(　　) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D D．异面直线AD与CB1所成的角为45° C　[由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1的夹角即为AD与DA1的夹角，故为45°，所以D正确．] 2．(多选题)下列四个命题中，正确的是(　　) A．若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直 B．若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面 C．若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直 D．若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直 CD　[AB不正确．故选CD．] 3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是(　　) A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 C　[如图，取BD中点O，连接AO，CO， 则BD⊥AO，BD⊥CO，且AO∩CO＝O， ∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC， 又BD，AC异面，∴选C.] 4．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 C　[∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.] 5．(多选题)如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有(　　) A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC ABC　[∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 则PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A， 故BC⊥平面PAB，故A正确； ∵BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，∴BC⊥AD， 又PA＝AB，D为PB的中点，故AD⊥PB， 又BC∩PB＝B，故AD⊥平面PBC， ∵PC⊂平面PBC，故AD⊥PC，故BC正确； 若PB⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，故PB⊥CD，D为PB的中点，故CB＝CP， 又PC>AC>BC，故CB＝CP不成立，故D错误；故选ABC.] 6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　) A.平面DD1C1C B.平面A1DB C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB1 D　[∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.故选D.] 二、填空题 7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________． 菱形　[如图，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形．] 8．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝__________． 90°　[∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.] 三、解答题 9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O. [证明]　∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BO. 又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1， 又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC， ∴EF⊥平面BB1O. 10．如图，三棱锥A­SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC的夹角． [解]　因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形． 因此，AB＝AC. 如图，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a， 则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝a. 在Rt△ADC中，AD＝＝a， 则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD． 又BC∩SD＝D， 所以AD⊥平面SBC. 因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC的夹角． 在Rt△ASD中，SD＝AD＝a， 所以∠ASD＝45°， 即直线AS与平面SBC的夹角为45°. 11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　) A．AG⊥△EFH所在平面 B．AH⊥△EFH所在平面 C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面 B　[根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH.] 12．如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C夹角的大小为(　　) A．45° B．60° C．30° D．75° A　[如图，取BC的中点D，连接AD，B1D， ∵AD⊥BC且AD⊥BB1，∴AD⊥平面BCC1B1， ∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C的夹角． 设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝， ∴sin ∠AB1D＝＝， ∴∠AB1D＝45°.故选A.] 13．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) A1C1⊥B1C1　[如图所示，连接B1C.由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C.因此，要得AB1⊥BC1，则需BC1⊥平面AB1C，即只需AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要满足AC⊥BC即可．而A1C1∥AC，B1C1∥BC， 故只要满足A1C1⊥B1C1即可．] 14．如图，四棱锥S­ABCD底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________．(填序号) ①AC⊥SB； ②AB∥平面SCD； ③SA与平面ABCD的夹角是∠SAD； ④AB与SC的夹角等于DC与SC所成的角． ①②③④　[∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴SD⊥AC.∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC，又SD∩BD＝D， ∴AC⊥平面SBD，而SB⊂平面SBD， ∴AC⊥SB，故①正确． ∵AB∥CD，AB⊄平面SDC， CD⊂平面SDC， ∴AB∥平面SCD，故②正确． ∵SD⊥平面ABCD， ∴SA在底面上的射影为AD， ∴SA与底面ABCD的夹角为∠SAD，③正确． ∵AB∥CD，故④也正确．] 15．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，边BC上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？为什么？ [解]　∵PA⊥平面ABCD，QD⊂平面ABCD，∴PA⊥QD． 若边BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，又PA∩AQ＝A， 则有QD⊥平面PAQ，又PQ⊂平面PAQ，从而QD⊥PQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时， 直线BC与以AD为直径的圆相离， 故不存在点Q，使AQ⊥DQ. ∴当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$