2.3.1 向量的数乘运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

参考答案 13.解：(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为 20km/h;小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为 0km/h,此时小船是静止的. (2)如图所示，设MA表示水流的速度， MN表示小船实际过河的速度，MB表 示小船在静水中的速度.设MC⊥MA, 由题意可得|MA|=|MB|=10, ∠CMN=30°，则∠AMN=60°，因为MA十MB=MN, 所以四边形MAVB为菱形. 所以△AMN,△BMN为等边三角形.在△BMN中， ∠BMN=60°，而∠CMN=30°，所以∠CMB=30°，所以 小船要由M直达码头N,其航向应为北偏西30°. 14.证明：由题意知：AD=AC+CD,BE=BC+CE,CF= CB+BF. 由平面几何知识可知：EF=CD,BF=FA, 所以AD+BE+CF=(AC+CD)+(BC+CE)+(CB BF)=(AC+CD+CE+BF)+(BC+CB) =(AE+EC+CD+CE+BF)+0 =AE+CD+BF=AE+EF+FA=0. 2.2向量的减法 1.A 2.D 3.B 4.D 5.ABCD 6.ABD[如图，根据平面向量的平行四边 形或三角形法则，当a,b不共线时，根据三 角形两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边有|a-b<|a±b<|ao2 +b. 当a,b同向时有a十b=a十b,|a-bl=a-b.当 a,b反向时有a十b=a-b,a十b=a-b.] 7.08.√3 9.解析：(1)由已知得a十b=AB十A BC=AC,:AC=c,∴延长ACa 到E, 使CE|=AC.则a+b十cB9 =AE, 且1AE=2√2..a十b十c= 2√2. (2)作BF=AC,连接CF, 则DB+BF=DF,而DB=AB-AD=AB-BC=a-b, ..a-b+c =DB+BF=DFDF =2. .a-b十c=2. 答案：(1)2√2(2)2 10.解：(AC+B0+OA)-(DC-Dò-OB) =AC+BA-DC+(DO+OB) =AC+BA-DC+DB =BC-DC+DB-BC+CD+DB =BC+CB=0. 11.解：AC=OCOA=c-a,AD=OD-OA=d-a:AD AB=BD=OD-OB=d-b,AB+CF=OB-OA+OF -OC=b-a+f-c,BF-BD=DF=OF-OD=f-d, DF+FE+ED=0. 12.解：由题意知，AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,EA e,则 (1)DB-DE+EA+AB-d+e+a. (2)DB=CB-CD=-BC-CD=-b-c. (3)EC=EA+AB+BC=a+b+e. (4)EC=-CE=-(CD+DE)=-c-d. ·18 课时作业兰 13.解：(1)AC=a十b,DB=a-b. (2)若a十b与a一b垂直，即平行四边形的两条对角线 互相垂直，则四边形ABCD为菱形，所以a,b应该满足 a=b. (3)a十b=a一b表示平行四边形的两条对角线的长 相等，这样的平行四边形为矩形，故a,b应互相垂直， 14.证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， 所以CA=CB.又M是斜边AB的中，点， 所以CM=AM=BM. (1)因为CM-CA=AM, 又AM=|CM, 所以a-b=a. (2)因为M是斜边AB的中，点， 所以AM=MB, 所以a十(a-b)=CM+(CM-CA) =CM+AM=CM+MB=CB. 因为CA=CB,所以a十(a-b)=|b. §3.从速度的倍数到向量的数乘 3.1向量的数乘运算 1.A2.C3.A4.B5.BC 6.AB[由向量数乘的运算律，易知A,B正确；对于C,由 m0=b,可得m(a-b)=0,所以m=0或a=b,故C错 误；对于D,由ma=na,可得(m一n)a=0,所以a=0或m =n,故D错误.故选AB.] 8,解析：由题知2x-号a-0-之c+是x6=0, ,1 4 答案：责a-b叶7c 9.解析：M不=M+BA+AN=-B元+BA+AC 合Ai-Ai+(Ai+A)=-含b-a+子(a+b) 答案：ba 10.解：(1)原式=6a-4b+3a十15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=若(4a+16b-16a+8b)=号(-12a+24b) =-2a十4b. 11.解：(1)原方程可变为5.x十5a十3x-3b=0.即8x=5a十 3b,则x=-骨a+名b, 5 (2)把第一个方程的左、右两边乘以一2，然后与第二个 方程相加，得号y=一2a+6,从而y=一亭a十号6代入 原未第二个方程得x=-号a十专 即 12.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC=AD=a. :M为AB的中点∴M店=号A店=合b, C=迹-C-ba 69 区数学(B5 :V为BD上靠近B的三等分点，N店=号D, :N心=N店+B元 =号D+元-}(A店-Ai)+花-号(b-a)+a (2)由(1)知NC=MC. 3 向量M心与向量NC方向相同， 且N花的长度为花长度的号 1解，A护-衣+N市=A花+N京mA店+号花 =店-花又城-花+正=号正+ -0-A店-配设N-AN,剩A店-AC mA店-花加==品 14.证明：取以A为起点的向量，应用三角 形法则求证. E为AD的中点A店=访 F是BC的中点， A萨=合(A店+A6. 又AC=AD+DC, :AF=2(A店+AD+D0)=之A店+Dd+2AD 床-店-花多-心 3.2向量的数乘与向量共线的关系 1.B2.C3.B4.D5.B 6Ac-成-本n+成+=之+ BC+CA)-0.AD-CE+CF-AD-FE-AD-AD-0] 7,解析：由A花=AA花，得A花-正，可得出A市-号A店十 京证，：BP,B三点夹线宁十京=1，部得以=品 答案：品 8.解析：因为向量2ka十b与8a十b的方向相反， 所以存在实数A(入<0)，使得2如十b=(8a十b), 又a,b不共线， 所以28消去，得是=子 1=kλ， 因为X<0,所以A=一立 1 所以==4×()）=一2 答案：-2 9.解析：：D,P,C三点共线，故设DP=入DC,同理可设EP =HEB,由题可知AP=AD+DP=AD+ADC=AD+ 1(BC-BD)=号A店+x(AC-A店-子BA) =号1-A)AB+AAC, xAP-AE+EP-AE+#EB-AE+A(CB-CE) =号A花+A店-AC-号CA =A店+号1-wAC ·14 必修第二册 号1-= 所以可得 解得 y=7 答案：号 1 10.证明：a=2c,c=2a, 号aa=子a a∥b. 11.解：(1)由题意得AB=CA :AB=a,A0=b,∴O元=OA+AC=-b-a.Ci=Ci +BD=C成+号d-C+号(BA+AO) =2a+日(-a+b)=号a+号b (2)证明：C市=0元-O元=号OA+CA+A0 青(-+a+b=a叶吉0=动. .CE与CD平行，又CE与CD有公共，点C, ∴C,D,E三点共线 12解折：如因所示，设-}店。 则AM=AP十AQ.由平行四边形法则知，MQ∥AB, 世0=方同-号 S△AIC AC 答案：2：3 13.解：平行，理由如下： 连接AF,DF,F是BC的中点，B亦+C市=0，A店 +DC=AB+DC+(BF+CF)=(AB+BF)+(DC+ CF)=AF+DF. E是AD的中点，AE+DE=0. 又：AF=AE+EF,DF=DE+EF, ..AB+DC=AF+DF=(AE+EF)+(DE+EF)= AE+DE+2 EF-2 EF. ·向量AB+DC与向量EF平行. 14.解：(1)如图，延长AD到G,使AD =AG,连接BG,CG得到平行四 B 边形ABGC, 所以忘=a叶6，市-子店= 2(a 十b),A花=号Ai=合（a+b),A萨=AC-6,则 B-A店-A店=子a+b)-a =号b-2a,亦-A-Ai=b-a=。-2a. (2)由(1)可知B成-号成，因为配与B萨有公共点B,所 以B,E,F三点共线. 0世数学(B5】 必修第二册 数 课时 间 §3.从速度的倍数到向量的数乘 3.1向量的数乘运算 纠错空间 学作业 基础过关 6.(多选)已知m,n是实数，a,b是向量， JI CHU GUO GUAN 则下列正确的有 ) 1.a++cj-(a+-c( A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na A.a-b+2c B.5a-4b+2c C.若ma=mb,则a=b C.a+ib+2c D.g D.若ma=na,则m=n 7.若|a|=3,b与a反向，|b|=2,则a= 2.在△ABC中，A正-是(A店+A⊙.D为 b. BC边的中点，则 ( 8若2)6c-8x)+b=0 A.3 AE=7 ED B.7 AE=3 ED 其中a,b,c为已知向量，则向量x C.2 AE=3 ED D.3 AE=2 ED 3.设D,E,F分别是△ABC的三边BC, 9.如图所示，在□ABCD CA,AB上的点，且DC=2BD,CE= 中，AB=a,AD=b, 2 EA,AF=2 FB,AD+BE+CF AV=3NC,M为BC 方法总结 的中点，则MN= （用a,b 与BC ) 表示) A.反向平行 B.同向平行 10.化简下列各式： C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); 4.如图所示，D是△ABC的边AB的中 点，则向量CD等于 ) (2)号[2(2a+8b)-4(4a-2b)]. A.BC+BA R-C+号B C.-BC-7BA D.BC-7BA 5.(多选)下列命题是真命题的为() A.对于实数入与向量a,入十a与入一a 的和是向量 B.对于非零向量a,向量一3a与向量a 方向相反 C.对于非零向量a,向量一6a的模是向 量3a的模的2倍 D.若b与a共线，则存在实数入，使得b =λa. ·40· 第二章平面向量及其应用 课时作业乡 11.设x,y是未知向量，a,b为已知向量. 13.如图，在△ABC中， (1)解方程5(x+a)+3(x-b)=0; AN- 号N记，p是 空 2x-y=a, (2)解方程组 BN上的一点，若AP 纠错空间 1 x-2y-b. -m AB+ c,求 实数m的值. #44号年#44月年144月年卡44号年 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.已知□ABCD中， 素养培优 SU YANG PEI YOU 方法总结 AD=a,AB=b, 14.已知任意平面四边形ABCD中，E、F M为AB的中点， A 分别是AD、BC的中点，求证：EF= N为BD上靠近B的三等分点. (1)a,b表示向量MC,NC; 合A店+). (2)说明MC与VC的关系. ·41·