2.2.1 向量的加法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世数学(B5 必修第二册 空 数 课时 间 §2.从位移的合成到向量的加减法 纠错空间 学作业 2.1向量的加法 基础过关 9.在边长为1的等边三角形ABC中， JI CHU GUO GUAN 1.在△ABC中，AB=a,BC=b,则a+b IAB+BCI= 1AB+ACI 等于 ( 10.如图，E,F,G,H分别是 A.CA B.BC C.AB D.AC 梯形ABCD的边AB, 2.化简OP+PQ+PS+SP的结果等于 BC,CD,DA的中点，化 ( 简下列各式： A.QP B.OQ C.SP D.SQ (1)DG+EA+CB: 3.如图所示，在四边形ABCD (2)EG+CG+DA+EB. 中，AC=AB+AD,则四边 形ABCD为 A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 方法总结 4.向量(AB+MB)+(BO+BC)+OM 等于 ( A.BC B.AB c.AC D.AM 5.(多选)已知四边形ABCD是一菱形，则 下列等式中成立的是 ( A.AB+BC=AC B.AB+AC=BC C.AC+BA=AD D.AC+AD=DC 6.(多选)下列等式正确的是 () ①a+(b+c)=(a+c)+b; ②AB+BA≠0； ③AC=DC+AB+BD. A.②③B.② C.① D.③ 7.在△ABC中，AB=a,BC=b,CA=c, 则a+b十c= 8.已知正方形ABCD的边长为1，AB= a,AC=c,BC=b,a+b+c 为 ·36· 第二章平面向量及其应用 课时作业乡 11.如图所示，在抗震 北 13.已知小船在静水中的速度与河水的流 救灾中，一架飞机 速都是10km/h,问： 从A地按北偏东 (1)小船在河水中行驶的实际速度的 间 35°的方向飞行 A 最大值与最小值分别是多少？ 纠错空间 800km到达B地 (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏 接到受伤人员，然后又从B地按南偏 东30°有一码头V,小船的航向如何确 东55°的方向飞行800km送往C地医 定才能直线到达对岸码头？（河水自 院，求这架飞机飞行的路程及两次位 西向东流) 移的和 能力提升 NENG LI TI SHENG 素养培优 SU YANG PEI YOU 12.如图，已知向量a,b, 14.如图，已知D,E,F c,d. 分别为△ABC的三 方法总结 (1)求作a+b+c+d; 边BC,AC,AB的中 (2)设|a=2,e为单位向量，求|a+el 点.求证：AD+BE 的最大值 +CF=0. ·37·世数学B5) 描点、连线，作出函数f(t),0≤t≤6的简图，如图所示。 y 3(3)>f(）)>()月 第二章平面向量及其应用 §1.从位移、速度、力到向量 1.D 2.D 3.ABC 4.D 5.ACD 6.ABC[对于A,向量平行时，表示向量的有向线段所在 直线可以重合或平行，故A正确.对于B,a=b≠ 0,.a,b都是非零向量，a∥b,.a与b方向相同或相 反，∴a=b或a=一b.故B正确.对于C,向量AB与向量 BA方向相反，但长度相等.故C正确.对于D,单位向量 除了长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等且方 向相同.故D错误.故选ABC. 7.②③ 8.解析：连接AC(图略)，由OC1=OB|,得∠ABC= ∠0CB=30,又∠ACB=90°，则C=3A店=合× 2=1. 答案：1 9.解析：由题易知AC⊥BD,且∠ABD=30°， 所以向量AB与BD的夹角为150°. 答案：150° 10.解：(1)与AO相等的向量为：OC,BF,ED (2)与AO共线的向量为：OA,OC,CO,AC,CA,ED,DE BF,FB. (3)向量AO与CO不相等，因为AO与CO的方向相反，所 以它们不相等. 11.解：(1)如图所示： C (2)连接DA,由于CD方向是正 北 东，模长为250m,AB方向是正 西，模长为250m,所以CDL AB,因此四边形ABCD为平行西 东 A 四边形，所以|DA|=BC|= 南 450m,即DA的模为450m. 12.解析：根据题意画出示意图（图略）.由题意可知，AB =100,BC=100,∠ABC=45°+15°=60°，.△ABC 为正三角形，.CA=100,即此人从C点回到A点所 走的路程为100m.又易知此人行走的方向为西偏北 15°，所以此人从C点走回A,点的位移为沿西偏北15°， 长度为100m. 答案：沿西偏北15°，长度为100m 13.解：(1)AD=BC,且AD与BC不平行. 因为AB∥CD,所以四边形ABCD为梯形或平行四边 形.若四边形ABCD为等腰梯形，则AD=BC,同 时两向量不平行， (2)AD=BC(或AD∥BC). 若AD=BC,即四边形的一组对边平行且相等，此时四 边形ABCD为平行四边形. ·18 必修第二册 14.解：(1)证明：因为AB=6,AD=1,所以BD=5,又DE =3,BE=4, 所以DE十BE=BD,所以△DBE是直角三角形， ∠DEB=90°. 因为AB为直径，所以∠ACB=90. 所以AC∥DE,故AC∥DE. (2)因为AC∥DE,所以△ABC△DBE, 所以品品申S 3 5· 解得AC=竖即d=9 (3)向量DE与向量AB的夹角即向量DE与向量DB的夹 角∠EDB,丙cs∠BDB=B票=是，所以向量D与向 量A店夹角的余孩值为号。 §2.从位移的合成到向量的加减法 2.1向量的加法 1.D2.B3.C4.C5.AC 6.CD[①满足向量加法的交换律与结合律，①正确.AB 十BA=0,②不正确.DC+AB+BD=DC+(AB+BD) =DC+AD=AD+DC=AC,③正确.] 7.08.2√2 9.解析：易知AB+BC1=AC1=1,以AB,AC为邻边作 平行四边形ABDC,则AB+AC1=|AD=2ABX sn60=2X1X9-反 答案：1√ 10.解：1)DG+EA+CB=GC+BE+CB=G元+CB+BE -GB+BE=GE; (2)EG+CG+DA+EB=EG+GD+DA+AE=ED+ DA十AE=EA十AE=0. 11.解：AB,BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞 行800km,从B地按南偏东55的方向飞行800km,则飞 机飞行的路程指的是AB十BC; 两次飞行的位移的和指的是AB十BC=AC 依题意，有AB|+BC=800十800=1600(km), 又a=35°，8=55°，∠ABC=35°+55°=90°， 所以ACAB?+BC √/800+800=800√2(km). 其中∠BAC=45°，所以方向为北偏东35°十45°=80°. 从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和 的大小为800km,方向为北偏东80. 12.解：(1)在平面内任取一点O,作OA= D a,AB=b,BC=e,CD=d,OD=a 十b+c+d. (2)在平面内任取一点O,作OA=a, AB=e,则a十e=OA十AB=OB,因为e为单位向量， 所以点B在以A为圆心的单位圆上（如图所示）， B a 0 由图可知当点B在点B1时，O,A,B1三点共线，OB 即a十e最大，最大值是3. 8 参考答案 13.解：(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为 20km/h;小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为 0km/h,此时小船是静止的. (2)如图所示，设MA表示水流的速度， MN表示小船实际过河的速度，MB表 示小船在静水中的速度.设MC⊥MA, 由题意可得|MA|=|MB|=10, ∠CMN=30°，则∠AMN=60°，因为MA十MB=MN, 所以四边形MAVB为菱形. 所以△AMN,△BMN为等边三角形.在△BMN中， ∠BMN=60°，而∠CMN=30°，所以∠CMB=30°，所以 小船要由M直达码头N,其航向应为北偏西30°. 14.证明：由题意知：AD=AC+CD,BE=BC+CE,CF= CB+BF. 由平面几何知识可知：EF=CD,BF=FA, 所以AD+BE+CF=(AC+CD)+(BC+CE)+(CB BF)=(AC+CD+CE+BF)+(BC+CB) =(AE+EC+CD+CE+BF)+0 =AE+CD+BF=AE+EF+FA=0. 2.2向量的减法 1.A 2.D 3.B 4.D 5.ABCD 6.ABD[如图，根据平面向量的平行四边 形或三角形法则，当a,b不共线时，根据三 角形两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边有|a-b<|a±b<|ao2 +b. 当a,b同向时有a十b=a十b,|a-bl=a-b.当 a,b反向时有a十b=a-b,a十b=a-b.] 7.08.√3 9.解析：(1)由已知得a十b=AB十A BC=AC,:AC=c,∴延长ACa 到E, 使CE|=AC.则a+b十cB9 =AE, 且1AE=2√2..a十b十c= 2√2. (2)作BF=AC,连接CF, 则DB+BF=DF,而DB=AB-AD=AB-BC=a-b, ..a-b+c =DB+BF=DFDF =2. .a-b十c=2. 答案：(1)2√2(2)2 10.解：(AC+B0+OA)-(DC-Dò-OB) =AC+BA-DC+(DO+OB) =AC+BA-DC+DB =BC-DC+DB-BC+CD+DB =BC+CB=0. 11.解：AC=OCOA=c-a,AD=OD-OA=d-a:AD AB=BD=OD-OB=d-b,AB+CF=OB-OA+OF -OC=b-a+f-c,BF-BD=DF=OF-OD=f-d, DF+FE+ED=0. 12.解：由题意知，AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,EA e,则 (1)DB-DE+EA+AB-d+e+a. (2)DB=CB-CD=-BC-CD=-b-c. (3)EC=EA+AB+BC=a+b+e. (4)EC=-CE=-(CD+DE)=-c-d. ·18 课时作业兰 13.解：(1)AC=a十b,DB=a-b. (2)若a十b与a一b垂直，即平行四边形的两条对角线 互相垂直，则四边形ABCD为菱形，所以a,b应该满足 a=b. (3)a十b=a一b表示平行四边形的两条对角线的长 相等，这样的平行四边形为矩形，故a,b应互相垂直， 14.证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， 所以CA=CB.又M是斜边AB的中，点， 所以CM=AM=BM. (1)因为CM-CA=AM, 又AM=|CM, 所以a-b=a. (2)因为M是斜边AB的中，点， 所以AM=MB, 所以a十(a-b)=CM+(CM-CA) =CM+AM=CM+MB=CB. 因为CA=CB,所以a十(a-b)=|b. §3.从速度的倍数到向量的数乘 3.1向量的数乘运算 1.A2.C3.A4.B5.BC 6.AB[由向量数乘的运算律，易知A,B正确；对于C,由 m0=b,可得m(a-b)=0,所以m=0或a=b,故C错 误；对于D,由ma=na,可得(m一n)a=0,所以a=0或m =n,故D错误.故选AB.] 8,解析：由题知2x-号a-0-之c+是x6=0, ,1 4 答案：责a-b叶7c 9.解析：M不=M+BA+AN=-B元+BA+AC 合Ai-Ai+(Ai+A)=-含b-a+子(a+b) 答案：ba 10.解：(1)原式=6a-4b+3a十15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=若(4a+16b-16a+8b)=号(-12a+24b) =-2a十4b. 11.解：(1)原方程可变为5.x十5a十3x-3b=0.即8x=5a十 3b,则x=-骨a+名b, 5 (2)把第一个方程的左、右两边乘以一2，然后与第二个 方程相加，得号y=一2a+6,从而y=一亭a十号6代入 原未第二个方程得x=-号a十专 即 12.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC=AD=a. :M为AB的中点∴M店=号A店=合b, C=迹-C-ba 69