模块综合检测 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（北师大版）

参考 连接AE,cos∠ACE=AC+PC2-PA23+7-7 2AC·PC 2√5X√7 =3 2v71 则AE=√AC2+EC2-2·AC·EC·cos∠ACE `22√7 2 连接PG,PC=PA,G为AC的中点， G√- 点A到PC的距离/=之X 5 21 14 GH=子d=5@ 28 175 在Rt△GDH中，HD=√DG+HG=√+2 /103 √12 5√2I GH 28 5√/309 ∴.cos∠GHD HD /103 103 W112 即二面角A-PC-D的余弦值为5309. 103 E M C A 18.解：(1)因为底面ABCD是正方形， 所以AB∥CD. 因为ABC平面ABE,CD平面ABE, 所以CD∥平面ABE. (2)因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD,又侧 面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD= AD,CDC平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,而AE C平面PAD,所以CD⊥AE. (3)由AB∥CD,CDC平面 PCD,AB￠平面PCD,得AB ∥平面PCD, 而ABC平面ABFE, 且平面ABFE∩平面PCD= FE,可得FE∥CD∥AB. 又E为PD的中点，可得EF=CD. 由(2)知CD⊥平面PAD,则AB⊥平面PAD,得AB ⊥PD.因为三角形PAD是等边三角形，E为PD的 中点，所以PD⊥AE.又AE∩AB=A,所以PD⊥平 面ABFE.在等边三角形PAD中，求得AE=√3. 所以5mE=子×1+2)X=39 21 答案 则四枝锥P一ABFE的体积V=3S梯形AnFE· 1 0=日岁白2-9 2 19.解：(1)证明：设AC,BD相交于点F,连接EF ,四棱锥P一ABCD的底面ABCD为菱形， F为AC的中点， 又E为PA的中点，.EF∥PC 又EFC平面EBD,PC过平面EBD, ∴.PC∥平面EBD. (2),底面ABCD为菱形，∠ABC=60°， .△ACD是边长为2的正三角形， 又，PA⊥底面ABCD, .PA为三棱锥P一ACD的高， 1 Vc-PAD=Vp-AcD=3S△ACD·PA =号××2x2-2 3 (3)在侧棱PC上存在一点M,满足PC⊥平 面MBD. 证明如下： .四棱锥P一ABCD的底面 ABCD为菱形， ,.AC⊥BD, ,PA⊥平面ABCD,BDC平 面ABCD, .BD⊥PA. .AC∩PA=A, .BD⊥平面PAC, .BD⊥PC. 在△PBC内，PB=PC=√22+2=2√2，BC=2, 在平面PBC内，作BM⊥PC,垂足为M, 设PM=x,则有8-x2=4-(2√2-x)2, 解得=3,3，巨<22，满足题意. 22 连接MD,.PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B, BMC平面BDM,BDC平面BDM, .PC⊥平面BDM. 小存在满足条件的点M,此时PM的长为3y三 2 模块综合检测 (A卷) 1.D中-0》-P==1. (i-1)(i+1) 2 故选D.] 2.C因为向量a=(2,1),b=(0,m),c=(2,4) 所以a-b=(2,1-m). 因为(a-b)⊥c,所以(a-b)·c=2×2+(1-m)×4 =0,求得m=2.] 3.D[对于A,若m∥a,n∥a,则m,n平行或相交或异 面，故A错误；对于B,若a∥3，mCa,nC3,则m,n没 有公共点，故m,平行或异面，故B错误；对于C,若 m⊥a,m⊥n,则n∥a或n二a,故C错误：对于D,若n ∥3，则平面3内必存在直线1使得l∥1，又m∥1，所 以l∥m,又m⊥a,则l⊥a,故⊥a,故D正确.] 数学(BS)· 4A[克分性：“BmCm不 b+c 只=b士S,即a2+ac=b2+bc, b c+a 则a2-b2+ac-bc=0,即(a-b)(a+b+c)=0, .a+b+c>0,.a=b. '.△ABC为等腰三角形，即充分性成立 必要性：若△ABC为等腰三角形，则a=c或b=c或a =b,当a=c或b=c时，等式BsnC干n万不一 b+c 定成立，即必要性不成立， b+c 综上所追，“im Bsin Csin A ”是“△ABC为等腰 三角形”的充分不必要条件.故选A.] 5.D[C:y=co(2x+晋)=im(2x++受) =sn(2:+经）=n[(e+)小： 因此起G上各点的横坐标缩短到原来的？，纵坐标 不变，再把得到的曲线向左平移否个单位长度，得到 曲线C2.故选D.] .D[因为fu)=sin(r）-5 Scos(ur）=2sin(ar-5）: 因为任意xR,都有f(行-=一， 所以画教关于（后0）中心对称 k∈Z: a=音十km,k∈Z 所以工。 因为0w2,所以w=2.] 7.D[因为D,E分别是PA,AB的中点，所以DE∥ PB,又DEt平面PBC,PBC平面PBC,所以DE∥ 平面PBC,同理可得DF∥平面PBC,又DE∩DF D,所以平面DEF∥平面PBC,故A正确：因为PA⊥ AB,PA⊥AC,AB∩AC=A,所以PA⊥平面ABC,所 以PA⊥BC,故C正确；又PAC平面PAB,所以平面 PAB⊥平面ABC,故B正确；假设DE∥PC,又DE∥ PB,所以PB∥PC,与PB∩PC=P矛盾，故DE与 PC不平行，故D错误.] 8.D [cos2A-cos2B+cos2C=1+sin Asin C, Ep1-sin2A-(1-sin2B)+1-sin2C=1+sin Asin C, Epsin2A+sin2C-sin2 B=-sin Asin C, 由正弦定理可得a2十c2-b2=-ac, 由余孩定理得cosB=2十c2-b2 2ac 2, 因为B∈(0，x),所以B=, 31 故sinA+sin(行-A）=1,整理得sin(A+吾）=1， 故A=吾，所以C=吾 6 故△ABC为顶角为的等腰三角形，故选D,] 9.AD[由条件可得：b=AD-AB=BD,所以|b 1B丽=2反，A正确；a=号A店，与B元不垂直，B错 必修第二册 误：a·b=3A店.励=-2，C错误：4a十b=A计 AD=AC,根据正方形的性质有AC⊥BD,所以(4a十 b)⊥b,D项正确.] 1O.AB[设等边△ABC的边长为Q,则有S△c=2 ×怎。：=9v,解得a=6,设△ABC外接国的年径为 湖7-导×县。-2附练心到个面AC的塑病 为√/42-(2√3)2=2，所以，点D到平面ABC的最大 距离为2十4=6，所以三棱锥D一ABC体积的最大 值为3×95×6=185，最小体积为写×95×2 =6√5.故选AB.] 1l.AC[因为f(x)=2sinx(sinx-V5cosx)-1= 2sinx-2 3 sin xcos x-1=-3 sin 2x-cos 2x= -2(2+)所以g)=-2如[2(-5)+] 2cos2z,故C对：对于A,x∈（至，受）2x+吾∈ (管得）此时函教fx)递增，故A对：时于B 晋时，f)=-2n(亿×晋+晋)≠士2，故B辑：对 于D.因为g(受)=2o[×(受)]≠0，故 D错.] 12.解析：由题意，得OC=-3(-1,0)十入(-1，√5)=(3 -入，3A),因为∠A0C=120,所以01,0C AOC 后产硬分解释以-多 2,即 3-λ 答案：2 1.解析：因为sim(告-）=号， 所以sim(后+20）[受-（告+2a）门 =cos(-2a） =o[2(吞-a门-1-2si㎡(-） =1 9 91 答案：号 14,解析：因为acos B+5 26=c, 所以由正袋定理得sin Acos B+停sinB=sinC 因为sinC=sin[π-(B+A)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B, 所以9nB=osAn反 因为sinB≠0，所以cosA=写 2 因为A∈(0，)，所以A=, 6 答案：晋 参考 15.解：因为4S=b2+c2-a2,cosA= 8+2心，5=2 2bc bcsin A, 所以2 esin A=-2 -beeosA. 1 显然cosA≠0，所以tanA=1, 又A∈(0，受)所以A= 41 若选择①，由2cos2B+c0s2B=0,得 cos?B-4 1 又Bc(（0)B=子 'sin A sin B,得a=sinA 6 6X② 由 sin B =2. 2 sin C=sin[-(A+B)]=sin(A+B) i地Acos B+cos Asin B=号X号+② 2 2 2 =6+② 4 所以S= 2 absin C=3+尽 21 若选择②，bcos A十acos B=√3+1， 则bcos A-十acos B=b.+2+a.Q2+2-2 2bc 2ac =b2+c2-a2+a2+2-B2 2c 2c =c=√3+1， 所以S=合enA=名×6×(5+1)x号 2 =3+3 2 16,解：1)向量a在向童e=（10)上的投影为： o图为[0，]所以号≤os≤1所以向 量a在向童c=1,0)上投影的取值范同足[停，小 (2)fx)=A(in rcos+sim2-） =(n22)号4n:-)因为 x[0]所以2-[-晋]，又0，所 以当2一-时取得菜大值×号- 所以入=1. 17.证明：(1)因为点P,Q分别为棱BC,BD的中，点， 所以PQ∥DC 因为PQC平面PQR,CD丈平面PQR, 所以CD∥平面PQR. (2)因为点P,Q,R分别为棱 BC,BD,AD的中点，所以RQ ∥AB,PQ∥CD, 且RQ-2AB,PQ=2CD, B 因为AB⊥BD,所以RQ ⊥BD, 9 答案 因为AB=2,PR=√5，CD=2√2. 所以RQ=之AB=1.PQ-CD=E, 所以PQ+QR2=PR2,所以PQ⊥RQ, 因为BD∩PQ=Q,所以RQ⊥平面BCD, 因为RQC平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCD. 18.解：(1)证明：在△OBC中，由题意可得OB=OC, ∠OCB=30°. .CM=OM,∴.∠COM=∠OCM=30°. 又∠BOC=120°. .∠BOM=90°，即OM⊥OB. :OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O, .OA⊥平面OBC 又OMC平面OBC,∴.OA⊥OM. 又OA∩OB=O,∴.OM⊥平面AOB. (2)由1)得OM=5OB=2 3 D为线段AB的中点， vmm=甘×号×2x2x1-2 3 9 又v1x-号×名×2x2x9×g=2 31 .多面体OACMD的体积为VA-C-VD-OMB= 2525_45 3 9 91 19.解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 ,所以f代x)的最小正月期为T=,从而a纤=2。 又因为f()的图象关于直线=号对称， 所以2·答+g=kx+受，k∈乙。 由-晋≤<受得=0：所以g=受一暂=一 (2)由1)得f)=sin(2x-吾) 所以f(）-n2台一晋)。 所以sn(e-晋）子 由<a<得0<a-吾<受 所以(a-)-㎡(-)-() √15 4 因此co(e+）-ina=sim[e-否)十晋] =sin(a-)os若+cos(a-吾)sim =×+x-+ 41 2 4 模块综合检测 (B卷) 所以()+(1.]数 新高考 学 同步单元双测卷 (时间：120分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 整 1.已知i为虚数单位，则1+D-( i-1 A.i B.-i C.1D.-1 2.已知向量a=(2,1),b=(0,m),c=(2 4),且(a一b)⊥c,则实数m的值( 如 A.4 B.3 C.2D.1 3.设，n是两条不同的直线，a,3是两个不同 的平面，则下列命题中正确的是( A.若m∥a,n∥a,则，m∥n h B.若a∥B,mCa,nCB,则m∥n C.若m⊥a,m⊥n,则n∥a D.若m⊥a,m∥n,n∥B,则a⊥B 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是 a,,c,则“sa b+c sin B ”是 sin C+sin A “△ABC为等腰三角形”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 毁 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知曲线C1:y=sin x,C2:y cos 2x+ ,则下面结论正确的是 菌 A.把C,上各点的横坐标伸长到原来的 盖 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 右平移好个单位长度，得到曲线C B.把C,上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 右平移晋个单位长度，得到曲线C 模块综合检测 A卷·基础达标卷 钟，满分：150分) C.把C,上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变，再把得到的曲线向 左平移个单位长度，得到曲线C D.把C,上各点的横坐标缩短到原来的 分，纵坐标不变，再把得到的曲线向 左平移个单位长度，得到曲线C, 6.已知0<w≤2，函数f(x)=sin(wx)一 5cos(o,对任意x∈R,都有f-z 一f(x),则w的值为 A.号 B.1 C. D.2 7.如图，在三棱锥P一ABC 中，PA⊥AB,PA⊥AC, D,E,F分别是所在棱的 中点.则下列说法错误 的是 ( A.平面DEF∥平面PBC B.平面PAB⊥平面ABC C.PA⊥BC D.DE∥PC 8.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,满足cos2A-cos2B十 cos'C=1+sin Asin C,E sin A+sin C=1, 则△ABC的形状为 A.等边三角形 B等腰直角三角形 C.顶角为的等腰三角形 D.顶角为学的等腰三角形 57 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中，有多个 选项符合题目要求.全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知正方形ABCD的边长为2，向量a,b 满足AB=2a,AD=2a十b,则() A.|b=2√2 B.a⊥b C.a·b=2 D.(4a+b)⊥b 10.设A,B,C,D在一个半径为4的球的球 面上，△ABC为等边三角形且其面积为 9√3，则三棱锥D一ABC的体积可能为 ( A.12√3 B.18 C.243 D.54√3 11.将函数f(x)=2sinx(sinx-√3cosx) 一1图象向右平移5个单位得函数g(x) 的图象，则下列命题中正确的是() A.f(x)在至，上单调递增 B.函数f(x)的图象关于直线x=5四 6 对称 C.g(x)=2cos 2x D.函数g(x)的图象关于点 （一受0对称 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分， 共15分.将答案填在题中横线上. 12.已知两点A(一1,0)，B(一1，√3).O为 坐标原点，点C在第一象限，且∠AOC =120°，设OC=-3OA+λOB(A∈R), 则入= 13.已知sim-小-号，那么sin2a+晋） 14.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对 边，且a0sB+6=c,则A 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在①2cosB+cos2B=0, ②bcos A+acos B=√3+1这两个条件 中任选一个，补充在下面问题的横线 上，并解决相应问题.已知在锐角 △ABC中，角A,B,C的对边分别为a, b,c,△ABC的面积为S,若4S=b+ c2-a2,b=√6， ,求△ABC的 面积S的大小. 注：如果选择多个条件分别解答，按第 一个解答计分. 16.(本小题满分15分)已知向量a=(cosx, sin),b=(sinx,sin)z∈0， (1)求向量a在向量c=(1,0)上投影的 取值范围； (2)若函数f(x)=Xa·b-2)的最大 值为？，求正实数入的值. 17.(本小题满分15分) 如图所示，在四面体 ABCD中，点P,Q,R 分别为棱BC,BD, B 0 AD的中点，AB⊥ BD,AB=2,PR=√3，CD=2√2 (1)证明：CD∥平面PQR; (2)证明：平面ABD⊥平面BCD. 59 18.(本小题满分17分) 19.(本小题满分17分)已知函数f(x) 如图，在Rt△AOB 5sin(ox+p)o>0,-≤p<的图 中，AO=OB=2, △AOC通过△AOB 象关于直线x=对称，且图象上相邻 以OA所在直线为轴 两个最高点的距离为π. 顺时针旋转120°得到（∠BOC=120°）. (1)求w和9的值； D为斜边AB上一点，M为线段BC上 一点，且CM=OM. (2)若-(后<求 2π (1)证明：OM⊥平面AOB; (2)当D为线段AB的中点时，求多面 3π的值。 cos a+2) 体OACMD的体积. 60