第6章 立体几何初步 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（北师大版）

数学(BS)· (2)cos2a+sima+)） =1-2sin2a+cosa=1-2× 16322 255 25 16.解：(1)因为a∥b,所以5cosg=一4tang 4 3 Ep 15cos2a+16sin a=0,15sin2a-16sin a-15=0, 解得如a=一是我n8=号（合去)。 (2)因为a⊥b,所以a·b=0,即12-20 cos atan a=0, 12-20sn&=0,即n8=子 因为a∈(0，受）所以msa=号，sin2a=2 sin aee0sa cos2a=1-2sna=云从丙cms(2a-子） 24 7 cs2os+如2an-×+×号 =312 501 17,解：1)根据题意可知，A=2,=登-（看）干， T=2红=元，解得w=2. 又f(B)-0sin(8×2+）-0,而又p<受， ∴fx)=2sin(2x-晋) 2)由f(+)=，可得2n2a=，即n2么 ,a为第三象限的角，∴.sina十cosa=-√1十sin2a 4 18.解：(1)在△ABC中，由余弦定理及a=2√2，b=5,c =E,有sC=+的2-号又CE0, 2ab .C- (2)在△ABC中，由正弦定理可得 sin A=asin C2 v13 13 (3)由a<c及inA=2厘，可得cosA=3压，进 13 13 而sn2A=2 sin Acos A=号os2A=2cos2A-1 5 所以sim(2A+)=sin2Acos子+cos2Asin子 19.解：(1)设外轮到我国海岸线的距离PQ为x海里， 在△ABP中，sin∠APB=sin(x-a-3)=sin(a十)， 由正弦定理得BP AB sin∠PAB sin∠APB1 8 必修第二册 所以BP= s·sina sin(a+B) 在Rt△BPQ中，x=PQ=BPsin(x-B)=BPsin B =s·sin asin B sin(a+B) 当x≤d,即sin asin足≤4-时，就该向外轮发出 sin(a+B)s 3 警告，今其退出我国海域 (2当a+p-孕时，影-2an(悟-o） 'sin(a十3) =2. 3 sin a 4 -9n(a)+语 要使不被警告，则sin asin Bd-B sin(a+B)s 3 解得血(2音)》> 所以2x+吾<2a-吾<2kx+k∈Z, 即kx+吾<a<kx+受k∈Z, 又图为(（0.号）所以晋<a<受 即当a(否，受)时可以避免使外轮进入被警告 区域. 第六章立体几何初步 (A卷) 1.C[根据棱柱的定义可知，I,Ⅱ都是棱柱.故选C.] 2.B[已知两条不相交的空间直线a和b,可以在直线 a上任取一点A,则A在b,过A作直线c∥b,则过直线 a,c必存在平面a且使得aCa,b∥a.故选B.] 3.D[由直观图可得原图形 yD. 如图，根据斜二测画法可 知，AB=CD=1,AC= 2√2. 在Rt△ABC中，BC= 10 √AC2+AB2 √J(2√2)2+12=3，又因为AD=BC,所以四边形AB- CD的周长为2×3+2×1=8.故选D.] 4.A[取SA的中点为M,连接MC,MB. 因为△SAB是边长为2的等边三角形， 所以BM⊥SA,且BM=√3. 因为平面SAB⊥平面SAC,平面SAB∩平面SAC= SA,BMC平面SAB,所以BM⊥平面SAC, 所以∠BCM就是直线BC与平面SAC所成的角. 因为MCC平面SAC,所以BM⊥MC.由BM⊥平面 SAC,SCC平面SAC可得BM⊥SC,又SC⊥SA,SA C平面SAB,BMC平面SAB,BM∩SA=M, 参考 所以SC⊥平面SAB,因为SBC平面SAB,所以SC⊥ SB. 在Rt△SBC中，由SC=2√5，SB=2,可得BC= √/SC2+SB2=4. 在R△MBC中，sin∠BCM=M9=5.故选A.] BC 4 5.B[因为B1C∥平面EDD1,所以三棱锥D1一EDF 的体积等于三棱锥F一EDD1的体积，而三棱锥 F-EDD1,高为正方体的棱长1，底面EDD1是以1 为底边1为高的三角形，所以Vpm,=专S△m, CD=号×3×1X1X1=日，故选B.] 6.D[作出圆锥的轴截面，如图，截面为 正三角形，且边长为4，球心为截面三 角形的中心，则球的半径，=X 3 √42-22=25 3 溢出溶液的体积等于球的体积，则体积为 9-1 7.D[如图所示：在正方体 D A,B1CD1-ABCD中，令平 面ABCD为平面a,平面 A D1DCC1为平面B,则CD为直 线a,因为a∥b,A.不妨设 C1D1为直线b,因为CD1∥ AB,ABC平面ABCD,C1D1寸 平面ABCD,所以C1D1∥平面ABCD,即bC3,所以b ∥a,故A正确；不妨设AB为直线b,所以bCa,b∥3， 故B正确：不妨设AB为直线b,所以b∥a,且b∥B,故 C正确；因为a∥b,b与a,3都相交不可能成立，故D 错误.故选D.] 8.C[如图所示，可将四面体 ABCD还原为正方体，则四面 体的外接球即为正方体的外接 球，因光球0的丰径R表 B 面积S=4πR2=3π.故选C.] 9.AD[对于A,根据线面平行 D 的性质定理知A正确：对于B,不符合线面垂直的判 定定理，两条直线应为两条相交直线，B错误：对于C, 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线可 能平行、相交或异面，C错误：对于D,根据面面垂直的 判定定理知D正确.故选AD.] 10.AD[由于AB始终在桌面上，因此倾斜过程中，没 有水的部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A正 确：易知四边形EFGH为矩形，面积为EF·FG,而 EF=AB,FG却时刻在变化，故矩形EFGH的面积 不是定值，B错误；题图(3)中，A1C1与水面不平行， 答案 C错误：题图(3)中，水体积不变，高AB不变.因此 △AEH面积不变，从而AE·AH为定值，D正确. 故选AD.] 11.ABD[取△ABC的中心 为O,连接PO.由题意得 PO⊥平面ABC,又△ABC 为等边三角形， 则A0= 232-（2】 3 0 =√5， 所以正三棱锥高为PO= B √WPA2-AO=√12-3 3,SAAc=号×3X3sin60°=P,所以正三棱锥的 体积为V,c=子S△mP0-9 4 作PD⊥AB交AB于D,又PA=PB=2√5，AD= 之AB=号，则正三棱维的斜高为PD=√PA一AD =,所以正三枝维侧面积为3S△PB=?×PD XABX3=名×X3X8=9y厘故选ABD] 4 12,解析：国维的侧面展开图是圆心角为，半径为6 的扇形，扇形的孤长为×6=4π，即圆维的底面 3 圆的周长为4π，故底面圆的半径r为2，∴这个圆锥 的高M=-2=4E,故周锥的体积V=子xh -12 答案6 13.解析：因为平面ABCD∩平面 ABEF=AB,且BC⊥AB,BE ⊥AB,BC∩BE=B,所以 ∠CBE=60°，AB⊥平面BCE 连接CE,如图所示. 则BC=BE=CE=EF, 又EF∥AB,则EF⊥平面BCE,因为CEC平面 BCE,所以EF⊥CE,即△CEF是等腰直角三角形， ∠CFE=45°，则异面直线AB与FC所成角大小等 于45°. 答案：45° 14.解析：因为平面a∥平面AB,C1,所以DE∥平面 AB,C1,而DEC平面CBB1C1,平面CBB1C∩平面 ABG=BG则DE∥G盟品安 答案： 15.解：(1)因为DC∥AB,所以异面直线PC和AB所成 角为PC和CD所成角，即∠PCD. 因为△PAD是正三角形，DA=DC, 所以PD=CD, 因为AB⊥平面PAD,所以DC⊥平面PAD, 因为PDC平面PAD,所以DC⊥PD, 所以△PDC是等腰直角三角形， 数学(BS)· 所以∠PCD=至， 即异面直线PC和AB所成角为空， (2)因为OE∥平面PBC,OEC平面PAC, 平面PAC∩平面PBC=PC, 所以OE∥PC, 所以提部。 因为DC∥AB,DC=2AB, 所以A0AB1 OC-DC-2 所以能日 16.解：(1)证明：因为点E,F分别是AB,BC的中，点， 所以EF∥AC. 因为EF丈平面ACD,ACC平面ACD, 所以EF∥平面ACD. (2)因为点E、F,M分别是AB,BC,CD的中点，所以 EF∥AC,FM∥BD,所以∠EFM是异面直线AC与 BD所成的角（或所成角的补角）. 在△EFM中，EF=FM=EM=1, 所以△EFM是等边三角形， 所以∠EFM=60°， 所以异面直线AC与BD所成的角为60°. 17.解：(1)证明：取AC的中点O: D 连接DO和OF, 在△DAC中，DA=DC, .DO⊥AC. 又平面DAC⊥平面ABC,且 交线为AC, .DO⊥平面ABC. 又O,F分别为AC,BC的中点， .AB∥OF且AB=2OF. 又DE∥AB,AB=2DE, .OF∥DE且OF=DE. ,'.四边形DEFO为平行四边形 .EF∥DO. .EF⊥平面ABC. (2)由(1)知EF⊥平面ABC, 所以直线BE与平面ABC所成的角为∠EBF, .∠EBF=60°， :BF-2BC=2.BER=0=25. 故可得S△C=名×ACXD0=子X2X25 =2√3，又AC⊥BC, ∴SaAc=号XACX BC=2X2X4=4 又EF∥DO,,点E、F到平面DAC的距离相等， .·平面DAC⊥平面ABC,CF⊥AC, ,.CF⊥平面DAC,∴.E点到平面DAC的距离等 于2. i.Vc-MPD-Vs-mc+Vg-Ac-3X2/3x2+3 ×4×2√5=4√5. 18.解：(1)证明：PE⊥EB,PE⊥ED,EB∩ED=E, EB,EDC平面EBCD, .PE⊥平面EBCD, 必修第二册 又BCC平面EBCD,∴.PE⊥BC, ,BC⊥EB,PE,BEC平面PEB,PE∩BE=E, .BC⊥平面PEB, ,EMC平面PEB,∴.EM⊥BC. 由PE=EB,PM=MB知EM⊥PB, 又BC,PBC平面PBC,BC∩PB=B, '.EM⊥平面PBC, 又EMC平面EMN, ∴.平面EMN⊥平面PBC. (2)N为BC的中点， S△EBN= 2EB·BN 1 小Sm造彩EBGD EB·BC 4 点M,P到平面EBCD的距离之比为子， 3 SAFBN 1 V2 -×1=1×11 3S国边形EBCD 2=4×=8 19.证明：(1)如图，取DD1的 D 中点M,连接AM,FM. F是CC1的中点， ∴.MF∥CD且MF=CD. AB∥CD,AB=CD, ∴AB∥MF,AB=MF, D 则四边形ABFM为平行四 0 边形， .BF∥AM. H是AA1的中点， .AH∥D1M,AH=D1M, 则四边形AMD1H为平行四边形， ∴AM∥HD1,∴.BF∥HD1. (2)连接AC,交BD于O,连接OE,OD1, O,E分别为BD,BC的中点， OE∥CD.OE=2CD :G为C1D1的中点，D1G∥CD,DG=2CD, .D1G∥OE,D1G=OE, .四边形D1GEO为平行四边形. ∴.EG∥D1O, D1OC平面BB1D1D,EGt平面BB1D1D, .EG∥平面BB1D1D. (3)BF∥HD1,HD1C平面B1D1H,BF丈平 面B1D1H, ∴.BF∥平面B1D1H BB1∥DD1,BB1=DD1, .四边形BB1DD为平行四边形， ∴.BD∥B1D1, 又B1D1C平面B1D1H,BD寸平面B1D1H .BD∥平面B1D1H. 又，BD∩BF=B, ∴.平面BDF∥平面B1D1H. 第六章立体几何初步 (B卷) 1,A[A显然正确；棱柱中两个互相平行的平面不一定 是棱柱的底面，例如正六棱柱的相对侧面，故B错误； 棱柱的每条侧棱长相等，而不是各条棱长都相等，故C 错误；棱柱的底面可以是平行四边形，如长方体，故D 错误.故选A.]数 新高考 第六章立体几何初步 学 同步单元双测卷 A卷·基础达标卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分， 5.如图，正方体ABCD 共40分.在每小题给出的四个选项中，只 AB,C,D1的棱长为1， 有一项是符合题目要求的， E,F分别为线段AA1, 整 1.如图，三棱柱ABC B,C上的点，则三棱锥 AB,C1被平面 D1一EDF的体积为 DEE,D,截成两个几 何体I、Ⅱ，且平面 DEE,D,∥平面ABBA1,则 A.8 6 知 A.I是棱柱，Ⅱ不是棱柱 c 0. B.I不是棱柱，Ⅱ是棱柱 6.如图，一个盛满溶液的玻 1 C.I是棱柱，Ⅱ是棱柱 D.I不是棱柱，Ⅱ不是棱柱 璃杯，其杯身形状为一个 倒置的圆锥，现放一个球 2.对两条不相交的空间直线a与b,必存在 状物体完全浸没于杯中， 平面a,使得 ( 球面与圆锥侧面相切，且 A.aCa,bCa B.aCa,b∥a 与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液 C.a⊥a,b⊥a D.aCa,b⊥a 的体积为 ( ) 3.已知水平放置的平 YD' 面四边形ABCD,用 A 27 B 斜二测画法得到的 0' 直观图是边长为1的正方形，如图所示， C.16 /3x D.323x 27 27 则ABCD的周长为 ( 7.已知a,b为两条不同的直线，，3为两个 A.2 B.6 不同的平面，a∩B=a,a∥b,则下列结论 C.4√2+2 D.8 不可能成立的是 ) 4.如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥ A.bC3,且b∥a 夺 平面SAC,△SAB是边长为2的等边三 B.bCa,且b∥g 角形，∠ASC=90°，SC=23,则直线BC C.b∥a,且b∥B 与平面SAC所成角的正弦值为() D.b与a,3都相交 8.已知四面体ABCD的四个面都为直角三 角形，AB⊥平面BCD,AB=BC=CD=1, 若该四面体的四个顶点都在球O的表面 上，则球O的表面积为 A. B. 8 C. D. 8 B.3π C.3π D.3元 49 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分， 共18分.在每小题给出的选项中，有多个 共15分.将答案填在题中横线上， 选项符合题目要求.全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分 12.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为？ 9.以下四个命题中为真命题的是( 半径为6的扇形，则该圆锥的体积 A.如果一条直线和一个平面平行，经过 为 这条直线的平面和这个平面相交，那 13.正方形ABCD与正方形ABEF有公共 么这条直线和交线平行 边AB,平面ABCD与平面ABEF所成 B.如果一条直线和一个平面内的两条直 角为60°，则异面直线AB与FC所成角 线都垂直，那么这条直线垂直于这个 大小等于 平面 14.如图所示，三棱柱 C.如果两条直线都平行于一个平面，那 ABC-ABC1中， 么这两条直线互相平行 点D在棱CC1上， D.如果一个平面经过另一个平面的一条 且C,D=2CD,过 垂线，那么这两个平面互相垂直 点D的平面a与平 10.如图，往透明塑料制成的长方体容器 面AB,C1平行，且 ABCD一A,B,C,D1内灌进一些水，固 BB∩平面a=E,则 B 定容器一边AB于地面上，再将容器倾 BE 斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结 BE 论，其中正确的命题有 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答 D 应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13 分）在四棱锥 P一ABCD中，O为 AC与BD的交 点，AB⊥平面 图(1) 图(2) 图(3) PAD,△PAD是正三角形，DC∥AB, A.没有水的部分始终呈棱柱形 DA=DC=2AB. B.水面EFGH所在四边形的面积为 (1)求异面直线PC和AB所成角的 定值 大小； C.随着容器倾斜度的不同，A,C,始终 (2)若点E为棱PA上一点，且OE∥平 与水面所在平面平行 面PBC,求号的值。 D.当容器倾斜如图(3)所示时，AE· AH为定值 11.正三棱锥底面边长为3，侧棱长为23， 则下列叙述正确的是 ( A.正三棱锥高为3 B.正三棱锥的斜高为9 C.正三棱锥的体积为273 4 D.正三棱锥侧面积为9y39 50 16.(本小题满分15分)在四 17.(本小题满分15分) D 面体A一BCD中，点E, 已知在四棱锥 F,M分别是AB,BC,CD C-ABED中，DE∥ 的中点，且BD=AC=2, AB,AC⊥BC,BC= EM=1. 2AC-4,AB-2DE, (1)求证：EF∥平面ACD: DA=DC且平面 (2)求异面直线AC与BD所成的角. DAC⊥平面ABC. (1)设点F为线段BC的中点，试证明 EF⊥平面ABC; (2)在(1)的条件下，若直线BE与平面 ABC所成的角为60°，求四棱锥 C-ABED的体积. 51 18.(本小题满分17分)如图，在直角梯形 19.(本小题满分17分)如 ABCD中，AB∥DC,∠ABC=90°，AB 图所示，在正方体 =2DC=2BC,E为AB的中点，沿DE ABCD-AB,C1D1中， 将△ADE折起，使得点A到点P位置， E,F,G,H分别是BC, 且PE⊥EB,M为PB的中点，N是BC CC1,CD,AA的中 上的动点（与点B,C不重合）. 点.求证： (1)证明：平面EMN⊥平面PBC; (1)BF∥HD1; (2)设三棱锥B一EMN和四棱锥 (2)EG∥平面BB,D1D; P一EBCD的体积分别为V,和V2,当N (3)平面BDF∥平面B,D,H. 为风中点时号的值 D 52