第2次月考 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（北师大版）

数学(BS) 15.解：(1)由题意得(2x十1)十i=y十(2-y)i,x,y∈R, 21=得{=0， 11=2-y, (y=1, ∴.x1=1+i,x1=√2. (2)由y为纯虚数，设y=bi(b∈R,且b≠0)， 则之2=bi+(2-bi)i=b十(b+2)i,:z1=之2， 2+1得1. 11=b+2, b=-1, 之1=-1+i 16.解：f(x)=5√3cos2x+√5sin2x-4sinx·cosx =5√5cos2x+5√5sin2x-2sin2.x-4√3sin2x =5√5-2sin2x-2√3(1-cos2x) =33-2sin 2x+2 3cos 2.x -3-42x2 =3后-4(n2acas -os2xsin号） =35-4sim(（2x-)）月 1f()=3E-4sin(答-吾）】 =3B-4sin=35-4. (2)由fa)=5,得35-4sin(a-5）=55,整 理得(2▣哥）-9 由（受x）得2a-子∈（肾，） .2a- =4,即a=5 33 61 17.解：(1)a⊥b,.a·b=0. a=(3sin a,cos a),b=(2sin a,5sin a-4cos a), 故a·b=6sin2a+5 sin acos a-4cos2a=0. .cosa≠0，.6tan2a+5tana-4=0. 解得an&=一专或ana=子 1 a∈(2 ).tan a<0, taa=合（含去）. 4 '.tan a=-3. (2)a(管2x受（径x月 由tana=- 得m号=号或m号-2含去》. sing=⑤ 5 2W5+√15 10 18.解：(1)AB=(n-8,t),AB⊥a,∴8-n十2t=0. 又5OA=AB1, 必修第二册 .5×64=(-8)2十t2=5t2,解得t=士8， .OB=(24,8)或OB=(-8,-8). (2)AC=(ksin0-8,t). :AC与a共线，.t=-2ksin0+16. sin0=(-2ksin9+16)sin9=-2k(m0-冬）》 又：>40<是<1 当s血0=冬时1m0取最大值为号 由号=4，得=8，此时9=吾0=18 .OA.0C=8×4+0×8=32. 19.解：(1)由f(x)=2√3 sin xcos x+2cos2x-1, 得f(.x)=√3(2 sin xcos r)+(2cos2x-1) =5in2x+cos2x=2sin(2x+合） 所以函数f(x)的最小正周期为元. 因为f)=2n(2x+)在区同[后)上为增函 数，在区间[答，受]上为减画数， 又f(0)= 1f()=21(受)-1， 所以画数fx)在区间[0，受]上的最大值为2，最小 值为-1. (2)由1)可知fxw)=2sim(2,+晋)月 又周为fw)=号所以sim(2十）=是 由[贤]得+晋[管] 从而cos(2ao+若）1-simn2(（2a+晋） 、 5 所以cos2=co[(2a+看）晋] =os(2+)os吾+sin(2a+）小in =3-43 10 第二次月考 (B卷) 1.A[因为m+(m2-4)i>0,所以m+(m2-4)i是实 数，且/m>0, 旦份-。-2，罗会-智=订 2.A[a=(2,3),b=(3,2),.a-b=(-1,1), .|a-b=√-1)2+12=√2，故选A.] 3.A[sin40°sin50°-cos40°cos50°=-cos(40°+50) =0. 4.C [sin acos )cos asin ( 如(+)川-m()9] 84 参考 5.A[最小正周期为π，∴w=2, 又图象关于直线x=灯对称， 6 “f(后)=士1，故只有A符合.] 6.D[因为x∈[-元，π]，所以由f(-x)= 黑品忠苦-可如 数f(x)为奇函数，所以选项A错误.又由当x一π时， 九=授物<<1，降以风 有选项D中的图象符合，故选D.] 7.B[:0=xA+(1-)C,-子<<0， 由向量共线定理可知O,B,C三点共线 .BC=3 CD,.'.AC-AB=3 AD-3 AC, 市号+号花 又：-3<<0， ∴点O在线段CD上，且不与C,D点重合.] 8.A[由已知和正弦定理得a2+b2-c2=4 2cos C, cos C2c2b2cos C2b 2ab 2ab a -cos C, ,△ABC为非直角三角形，∴.cosC≠0，.a=2b, :S△ABC=S△AcD+S△CD, C CC C 即2sinC=4sin cos=3sin乞， :Ce0…号∈(0，受） 2 C C3 .'sin ≠0cos= ∴msC=2as2号-1=2×是-1=】 9.AC[由复数乘法的运算律知，A正确；取之1=1，之2 =i,满足之号十号=0，但之1=0且2=0不成立，B错 误；由复数的模及共轭复数的概念知结论C成立；由 之1=22能推出之1=2，但之1|=|2|推不出名1= 之2，因此1=|之2是之1=2的必要不充分条件，D 错误. 10.CD[y= 2sin(c+若) cOS I 2(sin ros若+osin 6 cos x _3sin x+cos z=3tan +1, cos x 因为画y=1amx在区间（受，受）上单调递增， 且[紧管]（受受）所以y=5am+1在 [T,]上单涧造增，故5tan至+1<，5tanx+ ≤tan+1,即函数的值城为[V5+1,4],故 选CD.] 11.AC[A项，1OP1=√/cos2a+sin2a=1, 答案 lOP2|=Vcos28+(-sin B)2=1,..OP=OP21, A选项正确.B项，易知AP1|=√(cosa-1)+sina √2-2cosa,|AP2|=√(cosB-1)2+(-sinB)z √2-2CosB,由于a,3的大小关系不确定，从而不能 确定|AP1=|AP2|是否成立，B选项不正确.C选 项，OA·OP3=(1,0)·(cos(a十3)，sin(a十)= cos(a+B), OP1·OP2=(cosa,sina)·(cos3,-sin3)=cosa cos B-sin asin B=cos(a+8), .OA·OP3=OP1·OP2,C选项正确.D选项， OA·OP1=(1,0)·(cosa,sina)=cosa,OP2· OP3=(cos B,-sin B).(cos (a+B),sin(a+3)) =cos3·cos(a+3)-sin3·sin(a+B) =cos(3+a十B) =cos(a+23), ∴OA·OP=OP2·OP不一定成立.D选项不正 确.故选AC.] 12.解析：cos(135°-a)=cos[180°-(45°+a)] =-c0s(45°+a)=- 13 答案：-品 13,解析：由Sac=分sin B=ac =ac=3,得ac=4. 由b2=a2+c2-2ac·cosB=a2+c2-ac, 结合a2+c2=3ac得到b2=2ac=8,∴.b=2√2. 答案：2√2 14.解析：画教f(r)=co(ar+军)r∈R,w>0)的 最小正周期为π， w=2经=2，即f(x)=c0s(2x+)u∈R, 将y=f(x)的图象向左平移9(0<9<)个单位 长度， 所得函鼓为gu)=co[2u+p+] =os(2x+29+)} 又所得图象关于原点对称， ∴29+年=x+受k∈Z 即g-受+音又0<g受 9=晋 答案： 西.解：父<a<r,且sina=∴cosa 3 5 sina十cosa_=tana+l 2sin a-cos a 2tan a-1 1 3 1 -1 11 3 数学(BS)· (2)cos2a+sima+)） =1-2sin2a+cosa=1-2× 16322 255 25 16.解：(1)因为a∥b,所以5cosg=一4tang 4 3 Ep 15cos2a+16sin a=0,15sin2a-16sin a-15=0, 解得如a=一是我n8=号（合去)。 (2)因为a⊥b,所以a·b=0,即12-20 cos atan a=0, 12-20sn&=0,即n8=子 因为a∈(0，受）所以msa=号，sin2a=2 sin aee0sa cos2a=1-2sna=云从丙cms(2a-子） 24 7 cs2os+如2an-×+×号 =312 501 17,解：1)根据题意可知，A=2,=登-（看）干， T=2红=元，解得w=2. 又f(B)-0sin(8×2+）-0,而又p<受， ∴fx)=2sin(2x-晋) 2)由f(+)=，可得2n2a=，即n2么 ,a为第三象限的角，∴.sina十cosa=-√1十sin2a 4 18.解：(1)在△ABC中，由余弦定理及a=2√2，b=5,c =E,有sC=+的2-号又CE0, 2ab .C- (2)在△ABC中，由正弦定理可得 sin A=asin C2 v13 13 (3)由a<c及inA=2厘，可得cosA=3压，进 13 13 而sn2A=2 sin Acos A=号os2A=2cos2A-1 5 所以sim(2A+)=sin2Acos子+cos2Asin子 19.解：(1)设外轮到我国海岸线的距离PQ为x海里， 在△ABP中，sin∠APB=sin(x-a-3)=sin(a十)， 由正弦定理得BP AB sin∠PAB sin∠APB1 8 必修第二册 所以BP= s·sina sin(a+B) 在Rt△BPQ中，x=PQ=BPsin(x-B)=BPsin B =s·sin asin B sin(a+B) 当x≤d,即sin asin足≤4-时，就该向外轮发出 sin(a+B)s 3 警告，今其退出我国海域 (2当a+p-孕时，影-2an(悟-o） 'sin(a十3) =2. 3 sin a 4 -9n(a)+语 要使不被警告，则sin asin Bd-B sin(a+B)s 3 解得血(2音)》> 所以2x+吾<2a-吾<2kx+k∈Z, 即kx+吾<a<kx+受k∈Z, 又图为(（0.号）所以晋<a<受 即当a(否，受)时可以避免使外轮进入被警告 区域. 第六章立体几何初步 (A卷) 1.C[根据棱柱的定义可知，I,Ⅱ都是棱柱.故选C.] 2.B[已知两条不相交的空间直线a和b,可以在直线 a上任取一点A,则A在b,过A作直线c∥b,则过直线 a,c必存在平面a且使得aCa,b∥a.故选B.] 3.D[由直观图可得原图形 yD. 如图，根据斜二测画法可 知，AB=CD=1,AC= 2√2. 在Rt△ABC中，BC= 10 √AC2+AB2 √J(2√2)2+12=3，又因为AD=BC,所以四边形AB- CD的周长为2×3+2×1=8.故选D.] 4.A[取SA的中点为M,连接MC,MB. 因为△SAB是边长为2的等边三角形， 所以BM⊥SA,且BM=√3. 因为平面SAB⊥平面SAC,平面SAB∩平面SAC= SA,BMC平面SAB,所以BM⊥平面SAC, 所以∠BCM就是直线BC与平面SAC所成的角. 因为MCC平面SAC,所以BM⊥MC.由BM⊥平面 SAC,SCC平面SAC可得BM⊥SC,又SC⊥SA,SA C平面SAB,BMC平面SAB,BM∩SA=M,新高考 学 同步单元双测卷 (时间：120分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 整 1.已知m为实数，i为虚数单位，若m十(m 一4)i>0,则m+2 2-2i A.i B.1 C.-i D.-1 2.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则a-b= 如 A.2 B.2 C.52 D.50 3.sin40°sin50°-cos40°c0s50°=( A.0 B.1 C.-1 D.-c0s10° 4.若a∈R,则sin acos 3 -cos asin 的值为 A B. C.- D③ 5.下列函数中，最小正周期为π，且图象关 于直线x= 吾对称的是 A.y=sin 2x+ 斯 毁 B.y=sin + C.y=sin 2x- D.y=sin 2x- 密 6.函数f(x)= 识计行在：一的图象 大致为 第二次月芳 B卷·素养提升卷 钟，满分：150分) 7.在△ABC中，点D在边BC的延长线上， 且BC=3CD.若AO=xAB+(1-x)AC, 一日<0，则点0在 A.线段BC上B.线段CD上 C.线段AC上D.线段AD上 8.在非直角△ABC中，设角A,B,C的对边分 别为a,b,c,已知asin A+bsin B-csin C= 4 bsin Bcos C,CD是角C的内角平分线， 且CD=b,则cosC等于 ABC D言 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中，有多个 选项符合题目要求.全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.对任意1，之2，z∈C,下列结论成立的是 A.当m,n∈N时，有之”之”=之m+n B.当1，之∈C时，若十号=0，则之=0 且之2=0 C.互为共轭复数的两个复数的模相等， 且1|2=|x2=之·之 D.之1=2的充要条件是|之，|=|z2 10.若牙≤x≤号则函数y= 2simx+6】的 cos x 值可以为 A.3 B.√5 C.3 D.4 11.已知O为坐标原点，点P,(cosa,sina), P2 (cos B,-sin B),P3 cos (a+B), sin(a十3))，A(1,0),则 () A.IOPI=OP: B.IAP,I=AP2I C.OA·OP3=OP1·OP2 D.OA·OP1=OP2·OP3 45 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分， 共15分.将答案填在题中横线上， 12.已知c0s(45+a)=是则cos15°-a) 13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac, 则b= 14.函数fx)=c05+军(x∈Rw>0)的 最小正周期为元，将y=f(x)的图象向左 平移90<4个单位长度，所得图象 关于原点对称，则0的值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15(本小题满分13分已知受<<sma一号 1求2+品的值： (2)求cos2a十sima+罗的值. 16.(本小题满分15分)已知向量a=(4, 5cos a),b=(3,-4tan a). (1)若ab,求sina的值； 2若alb且a∈0，引求cos2a-》 的值. 46 17.(本小题满分15分)已知f(x)=Asin(x十9) A>0w>0,lp<2 的图象过点 PE0小，且图象上与点P最近的一个 最低点是Q〔-吾-2 (1)求f(x)的解析式； 2)若fa+)-各，且。为第三象限 的角，求sina十cosa的值 47 18.(本小题满分17分)在△ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c.已知a= 2√2，b=5,c=√/13. (1)求角C的大小； (2)求sinA的值； (3)求sin2A+不的值. 19.(本小题满分17分) 国家边防安全条例规 定：当外轮与我国海 777777777777 岸线的距离小于或等 B 于d海里时，就会被警告.如图，设A,B 是海岸线上距离、海里的两个观察站， 满足s=√3d,一艘外轮在P点满足 ∠BAP=a,∠ABP=B. (1)α，3满足什么关系时，就该向外轮发 出警告，令其退出我国海域？ 48 (2)当a+B= 否时，角：处于什么范周 内可以避免使外轮进入被警告区域？ 些