第5章 复数 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（北师大版）

数 新高考 第五章复数 学 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分， 6.已知2+ai,b+i(a,b∈R)是实系数一元 共40分.在每小题给出的四个选项中，只 二次方程x2+x十q=0的两根，则p,q 有一项是符合题目要求的 的值为 1.如图，在复平面内，复数之1,2对应的向 A.p=-4,q=5B.p=4,q=5 量分别是OA,OB,则1x1十之2|=( C.p=4,g=-5D.p=-4,q=-5 7.已知之1=1+2i,之2=m十(m-1)i,i为虚 B 数单位，且两复数的乘积之1之2的实部和 如 虚部为相等的正数，则实数m的值为 ( A.2 B.3 C.22 D.33 A.-专B号C.- 2.已知复数之1=cos23°+isin23°和复数 8.对任意复数w1,w2,定义w1￥w2=ω1ω2， x2=cos37°+isin37°，则x1·2=( 其中02是w,的共轭复数.对任意复数 A B+ 之1，之2,3，有如下四个命题： ①（之1十之2）￥之3=（之1*之3）十(2米之3)： c+ D. ②之1*(z2十之3)=（之1*22)十（之1米23）； ,复数 ③（之1￥之2）￥之3=之1米(22*之3） 1-2 的虚部是 ④之1*之2=2*之1· 其中真命题的个数是 ( A.i B号C.- D.- A.1 B.2 C.3 D.4 4.若复数之满足|x-1+i=|1-2i,其中i 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分， 为虚数单位，则之在复平面内对应的点 共18分.在每小题给出的选项中，有多个 夺 (x,y),x,y∈R满足方程 选项符合题目要求.全部选对的得6分，部 A.(x-1)2+(y+1)2=5 分选对的得部分分，有选错的得0分， B.(x-1)2+(y+1)2=5 9.已知之，之1，之2∈C,则下列命题为假命题 C.(x+1)2+(y-1)2=5 的是 D.(x+1)2+(y-1)2=5 A.若2≤1，则-1≤x≤1 5.已知x∈C,且|z一i|=1,i为虚数单位， B.若1·之2=0，则之1=0或之2=0 则|x一3一5i的最大值是 ( C.若|z|=1,则z=士1或之=士i A.4 B.5 C.6 D.7 D.若之1一2>0，则之1>x2 37 10.复数之满足之+2z=9+4i(i为虚数单 (2)若之在复平面内对应的点在第四象 位)，则 限，求a的取值范围. A.1z|=5 B.z=3+4i C.z=3-4i D.x=-3+4i 11.设复数之的共轭复数为乏，i为虚数单 位，则下列命题正确的是 ) A.若之·之=0，则之=0 B.若z一z∈R,则之∈R C.若x=cos+isin2红，则1=1 6 5 D.若|z一i=1,则|z的最大值为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分， 共15分.将答案填在题中横线上。 12.若复数z=a十i(a∈R)与它的共轭复数z 所对应的向量互相垂直，则a三 13.下列说法中正确的是 .(填序 号)①若(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x∈R,y∈CcR, 则必有 (2x-1=y, ,②2+i>1+i;③虚轴 1=-(3-y); 上的点表示的数都是纯虚数；④若一个 数是实数，则其虚部不存在：回若=} 则之3+1对应的点在复平面内的第一 象限 14.设复数之1，z2满足|之1|=|之2|=2，之1十 之2=√3十i,则|1一之2= 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)设复数之=a2一a (a-1)i,(a∈R). (1)若之为纯虚数，求|3十之： 38 16.(本小题满分15分)已知复数之满足 17.(本小题满分15分)已知x=一1十i是 |3+4i+z=1+3i. 方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根. (1)求z; (1)求实数a,b的值； (2)求1+i)(3+4D的值. (2)结合根与系数的关系，猜测方程的 另一个根，并给予证明. 39 18.(本小题满分17分)从①1之=2，且 19.(本小题满分17分)已知关于x的方程 的虚部是2：②x=1-i)+31+iD) x2-(6+i)x+9十ai=0(a∈R)有实数 2-i 根b. ③C=异：为C的共能复数，这三个 (1)求实数a,b的值； (2)若复数之满足|z-a一bi一2|z|=0, 条件中任选一个，补充在横线上作出 当之为何值是时，之有最小值？并求出 解答. |之的最小值. 已知i为虚数单位，复数之满足 设之，之2，之一之2在复平面内对应的点分 别为A,B,C,求△ABC的面积. 40参考 13,解析： a+2i_(a+2i)(3+4i)_3a+4ai+6i-8 22 3-4i(3-4i)(3+4i) 25 3a-8+4a+6i. 25 25 3a-8=0, “为纯虚数， 25 .a= 8 4a+6≠0， 3 .25 答案：3 8 14.解析：由已知得{6十2<0， 1k2-4>0 所以4<k2<6. 所以-√6<k<一2或2<k<√6. 答案：(-6，-2)U(2W6) 15.解：(1)要使复数之为实数，需满足m-2m一2>0， {m2+3m+2=0, 解得m=-2或-1. 即当m=一2或一1时，之是实数. (2)要使复数之为纯虚数，需满足 (m2-2m-2=1, {m2+3m+2≠0， 解得m=3, 即当m=3时，之是纯虚数. 16.解：1)1+31)2-21+22=-8+6i-2-4 3-i 3-i =-10+2i=-10+2D(3+iD=-32-4i 3-i (3-i)(3+i) 10 =-162 55 品+品号去1 2i 17.解：由M∩N≠⑦，可知至少存在一个复数之同时属 于集合M和N, Epm+i(4-m2)=2cos 0+i(+3sin 0), 故m=2cos日， 14-m2=入+3sin0, 从而入=4-4cos20-3sin0=4sin20-3sin0=4 (m9)品 由-1长sn1,得-8≤A<7. 18.解：这样的虚数存在，之=一1一2i或之=-2-i,理由 如下： 设之=a+bi(a,b∈R且b≠0)， +号-a++。平=a+优+- a2+b2 5a 因为十5是实教， 2 所以6a2十8=0 又因为b≠0， 所以a2+b2=5. ① 又之十3=(a十3)十bi的实部与虚部互为相反数， 所以a十3+b=0. ② 由①②解得a=-1,或{a=-2, 1b=-2,1b=-1, 所以之=一1一2i或之=一2一i. 答案 19.解：(1)设之=x十yi(x,y∈R), 又之十2i=x十(y十2)i,且为实数， 所以y十2=0，解得y=-2. =x-2i_(x-2i)(2+i) 所以产2 (2-i)(2+i) 2x十2士4Di,因为2产为实数， 5 所以二4=0，解得x=4. 5 所以x=4一2i (2)因为复数(z十ai)2=[4十(a-2)i门2 =16-(a-2)2+8(a-2)i =(12+4a-a2)+(8a-16)i, 所以设+g8>0每开2<8 即实数a的取值范围是(2,6). 第五章复数 (B卷) 1,A[由题图可知，之1=-2-i,之2=i,则之1十2=一2， .十2=2，故选A.] 2.C[x1·22=(cos23°+isin23)·(cos37°+isin37)= os60+im60-名+.t选C] &B2++亡=名+1=-日+故 1 5 5 选B.] 4.B[由题意得之=x十yi,因为|之-1+i=|(x-1)+ (y+1)i=|1-2il,所以(x-1)2+(y+1)2=5.故 选B.] 5.C[根据复数模的几何意义可知， 满足|之一i=1的点的集合是以点(0,1)为圆心，1为 半径的圆， 则|之一3-5i表示圆上的，点到点(3,5)的距离， 故|x-3-5i的最大值是√(5-1)2+(3-0)2+1=5 +1=6.故选C.] 6.A[由条件知2十ai,b十i是共轭复数，则a=一1，b =2， 即实系数一元二次方程x2十px十g=0的两个根是2 ±i,所以p=-[(2+i)+(2-i)]=-4,g=(2+i)(2 -i)=5.故选A.] 7.D[因为之1之2=(1十2i)[m十(m-1)i门 =[m-2(m-1)]+[2m+(m-1)]i =(2-m)+(3m-1)i, 所以2-m=3m-1,即m。三 经检脸m=子能使2-m=3m-1>0 所以m-是病足超意：】 8.B[由题意知w1￥w2=w1w2, 对于①，（21十2)￥之3=（之1十22)23=21之3十2223= (之1*之3)十(22￥之3)，显然成立； 对于②，之1*（2十3）=之1（2十23)=之1之2十之1之3= (之1米2)十(1￥之3)，显然成立： 对于③，（之1*2）米之3=（1之2)23=之1之2之3，但是之1* （之2*23)=1*(22之3)=1之2之3，显然不一定成立； 对于④，之1米22=刘1之2，之2米1=之2之1，显然不一定成 立.故真命题的个数为2.] 数学(BS)· 9.ACD[选项A,2≤1，取之=i,满足条件，但虚数不 能比较大小，故为假命题：选项B,之1·2=0， .之1·2=之11122|=0，得1|=0或2|=0至 少有一个成立，.1=0或2=0，故为真命题；选项 C,满足|之=1的复数之有无数个，故为假命题；选项 D,21-2>0,取之1=2十i,2=1十i,满足条件，但1， 之2不能比较大小，故为假命题.故选ACD.] 10.AC[设之=x+yi(x,y∈R), 因为之十2x=9十4i, 所以x+yi+2(.x-yi)=9+4i, 化为3x-yi=9+4i, 所以3x=9,-y=4, 解得x=3,y=-4. 所以之=3-4i, 所以|x|=√32+(-4)2=5.] 11.ABD[若之·之=0，即z|2=0,z|=0,则之=0，故 A正确：若之一之∈R,即的虚部为0，则之∈R,故B 正确；若g=c0s吾十1sin经，则1：1= √cos2吾十im2≠1，故C错误：若一i=1,设： =x十yi(x,y∈R),则x2+(y-1)2=1,满足该方程 的点(x,y)的集合是以(0,1)为圆心，1为半径的圆， 则z|表示该圆上的，点到原点的距离，其最大值为2， 故D正确，故选ABD.] 12.解析：之=a一i,因为复数之与它的共轭复数之所对应 的向量互相垂直，所以a2=1,所以a=士1. 答案：士1 13.解析：由y∈CcR知y是虚数，则2-1y, 不 1=-(3-y) 成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大 小，故②错误：原点也在虚轴上，表示实数0，故③错 、误：实数的虚部为0，故④错误：⑤中十13+1 =i十1，对应点在第一象限，⑤正确. 答案：⑤ 14.解析：因为之1=|之2|=2， 可设之1=2cos0+2sin0·i, z2=2cosa+2sina·i, 所以z1+之2=2(cos0+cosa)+2(sin0+sina)·i =√5+1， 所以2c0s9+cos)=5,两式平方作和得： (2(sin 0+sin a)=1 4(2+2cos Ocos a+2sin 0sin a)=4, 1 化简得cos Ocos a十sin Osin a=一2' 所以a-z2=|2(cos0-cosa)+2(sin0-sina)·i =4(cos 0-cos a)2+4(sin 0-sin a)2 =√8-8(cos0cosa+sin0sina)=√8+4=2√5. 答案：2√3 15.解：(1)若之为纯虚数，则a2-a=0, (a-1≠0， 所以a=0,故之=i,所以|3十之|=√10. (2)若之在复平面内对应的，点在第四象限，则 1a2-u>0,解得a>1 1-a+10, 必修第二册 16.解：(1)因为|3+4i=5, 所以之=1+3i-5=-4+3i, 所以之=一4一31. (2)1+iD2(3+4D=2i(3+4i) -4+3i 4+3·=2. 2i(3+4i)·i 17.解：(1)把x=一1十i代入方程x2十ax十b=0, 得(-a十b)+(a-2)i=0, 所以{a十=0解得{= (a-2=0, b=2. (2)由(1)知方程为x2+2x十2=0.设另一个根为 x2,由根与系数的关系，得一1十i十x2=一2，所以x2 =-1-i. 把x2=-1-i代入方程x2+2x十2=0， 则左边=（一1-i)2+2(-1-i)+2=0=右边，所以 x2=一1一i是方程的另一个根. 18.解：选①，设之=a十bi(a,b∈R), 则之2=a2一b2+2abi, 由题意得a2+b2=2且2ab=2, 得a=b=1或a=b=-1, .之=1+i或x=-1-i, 当之=1十i时，z2=2i,之-x2=1-i, ∴.A(1,1),B(0,2),C(1,-1), SA=号×2X1=1: 当之=-1-i时，之2=2i,之一之2=-1-3i, A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), SaAc=7×2X1=1, 因此选①时△ABC的面积为1. 选②，=213+3i-1十i, 2-i .A(1,1),B(0,2),C(1,-1). 同选①可知S△ABC=1, 2 2(1-i) 选③C=年a+i-D1-i, 之=1+i, 同选①，S△ABC=1. 19.解：(1)因为b是方程x2-(6+i)x十9十ai=0(a∈R) 的实根，所以(b2一6b+9)十(a一b)i=0,故 b2-66+9=0解得a=b=3. la=b, (2)设之=m十ni(m,n∈R), 由之-3-3i=2之， 得(m-3)2+(n+3)2=4(m2+n2), 整理得(m十1)2+(n-1)2=8, 所以Z,点的轨迹是以O1(一1,1)为圆心，以2√2为半 径的圆. 如图，当Z点在直线OO1上 时，有最大值或最小值 因为|OO1|=√2，半径r= 2√2， 0-1, 所以当之=1一i时，之有最小 Z(m,n) 值，且zmm=②.