第5章 复数 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（北师大版）

数 新高考 第五章复数 学 同步单元双测卷 A卷·基础达标卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分， 8.已知复数之1，之2在复平面内对应的点分 共40分.在每小题给出的四个选项中，只 别为(2，-1)，(0，-1)，则+1x21 有一项是符合题目要求的. 整 1.复数x=(1一mi)(i为虚数单位)为纯虚 ( 数，则实数m= A.2+2i B.2-2i A.±1 B.-1 C.1 D.0 C.-2+i D.-2-i 2.复数之对应的点在第二象限，它的模为3， 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分， 实部是一√5，则之是 ( 如 共18分.在每小题给出的选项中，有多个 A.-√5+2i B.-√5-2i 选项符合题目要求.全部选对的得6分，部 C.5+2i D.√5-2i 分选对的得部分分，有选错的得0分， 3.已知i是虚数单位，m,n∈R,且m十i 9.在复平面内，给出以下四种说法，其中正 1+ni,则m十ni ( 确的是 ( ) m-ni A.-1 B.1 C.-i D.i A.实轴上的点表示的数均为实数 4.若a∈R,则“复数之= 3-2ai在复平面内 B.虚轴上的点表示的数均为纯虚数 i C.互为共轭复数的两个复数的实部相 对应的点在第三象限”是“a>0”的 等，虚部互为相反数 D.已知复数之满足(1十i)之=3一i,则之 A.充分不必要条件 在复平面内所对应的点位于第四象限 B.必要不充分条件 10.已知集合M={mm=i”,n∈N},其中i C.充要条件 为虚数单位，则下列元素属于集合M D.既不充分也不必要条件 5.若2-i是关于x的方程x2+px十q=0 的是 的一个根（其中i为虚数单位，p,q∈R), A.(1-i)(1+i) 1-1 B.1 密 则g的值为 ) 1+i A.-5 B.5 C.-3D.3 C D.(1-i) ☒ 6.设x=3十4i,则复数之=x一|x|一(1一i) 11.设之1,2 为复数，则下列结论中正确 在复平面上的对应点在 ( 的是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A.|z1-2=√（1十2）-412 7.若之=1+2i,则1 B.z7十z2=0台x1=2=0 22一1 C.之1一之1是纯虚数或零 A.1 B.-1 C.i D.-i D.|z1·2=|x1|·|z2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分， 16.(本小题满分15分)计算： 共15分.将答案填在题中横线上. (1)1+3i)-21+2iD 12.已知复数之满足之·之+之十之=3，则 3-i |z+1= (2)1-i 1+i (1+i)2十(1-i)3 13.若1=a十2i,x2=3-4i,且为纯虚数， 则实数a的值为 14.若复数（一6+k2)一(k2一4）i所对应的 点在第三象限，则实数k的取值范围是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)设复数之=1g(m2 2m-2)+(m2+3m+2)i,当m为何 值时： (1)z是实数？ (2)z是纯虚数？ 34 17.(本小题满分15分)设两复数集合M= 18.(本小题满分17分)若虚数同时满足下 (z=m+i(4-m2),mER),N={z 列两个条件：①x十是实数：②：十3的 =2cos0+i(λ+3sin0),0∈R}(i为虚数 单位)，且M∩N≠⑦，求实数入的取值 实部与虚部互为相反数.这样的虚数是 范围. 否存在？若存在，求出之；若不存在，请 说明理由. 35 19.(本小题满分17分)已知之是复数，之+ (2)求实数a的取值范围. 2i与2之均为实数(i为虚数单位)，且复 数（之十ai)2在复平面上对应点在第一 象限. (1)求复数x; 36数学(BS)· m()即m。 3 .'sin x-cos x=- 3瓦 6 18 两边平方得1-2 sin ccos=25 ∴.2 sin rcos x= 25 .(sin x+cos z)2=1+2sin xcos r= 32 25 .'sin x+cos z<0,.'.sin z+cos x=- 4v② 5 2sin'-sin 2r2sin'r-2sin acosa tan x+1 sin文+1 coS x 2sin acos x(sin x-cos x) sin x+cos x 3√2 5 42 100 5 19.解：(1)由题意得f（x)=2cos2x+ （-2sm2营)smx=号n(z+） ◆9(2x+)）P2 得m(2+)户9 即+2<2x+<+2kx, 4 故x的取值范国为[x,+]∈Z (2)由题意得f(x1)-g(x1)<f(x2)-g(x2), 令h(x)=f(x)-g(x) 9n(:+）竖n(e+) 号[(2x+)n(2:+)] =ico(x+）sin(-至) =sin 2x,h()<h(x2 ) 故h(x)在区间[0，t]上为增函数， 由2kr-<2x<2x+受，k∈Z得出， x-香<<x+至k∈Z 则函数h(x)包含原点的单调递增区间为 [至晋]即至，故正实教1的最大值为至 第五章复数 (A卷) 1.A[复数之=(1-mi)2=m22-2mi+1=1-m2- 2mi,因为复数之为纯虚数，所以1一m2=0且一2m≠ 0,解得m=士1，故选A.] 必修第二册 2.B[设复数之的虚部为b, 则之=-√5+bi,b>0, .3=√5+b, .b=2,.之=-5+2i, 则之的共轭复数是一√5一2i,故选B.] 3.D[由m+i=1+i(m,n∈R),∴.m=1且n=1,则 m+i_1+i_(1+i)2 m-ni 1-i 2 =i.] 4.C[x=3-2ai_3i+2a=-2a-3i, 一1 :复数之在复平面内对应的点在第三象限 ∴.-2a<0台a>0, .“复数之=3一2在复平面内对应的，点在第三象限” 是“a>0”的充要条件，故选C.] 5.B[,2-i是关于x的实系数方程x2十px十g=0的 一个根， ∴.2十i是关于x的实系数方程x2十px十g=0的另一 个根， 则q=(2-i)(2+i)=4+1=5.故选B.] 6.B[x=3+4i,∴.x=√32+4=5， ∴.之=3+4i-5-(1-i)=(3-5-1)+(4+1)i=-3 +5i. 复数之在复平面上的对应点在第二象限.故选B.] 7.C[z=1+2i, 则質 则一0+2n-2D可-i故选C] 4i 8.A[由题意可得之1=2-i,2=-i, 则4=2i_i2-=1+2i,2=1, 之2 一2 据此可得+2=2十2i故选A.] 22 9.ACD[对于A,由复数的几何意义知，实轴上的点表 示的数均为实数，A正确；对于B,原点在虚轴上，原点 代表的数为零，不是纯虚数，B错误；对于C,互为共轭 复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数，C正 确：对于D.由1十i):=3-i得= (3一D(1-D_24i=1-2i,所以复数之在复平面内 (1+i)(1-i)2 所对应的点位于第四象限，D正确.故选ACD.] 10.BC[M={i,-1,-i,1},由于(1-i)(1+i)=2E M,号-ieM,告=ieM.1-i=-aEM 故B、C正确.] 11.CD[因为|之1-22不一定等于(1-2)2，故 |1一之2|与√（名1十之2）2一421之2不一定相等，A错误； 若1=2十i,之2=1-2i,则之1=3+4i,号=-3-4i, 好十z号=0，但1=2=0不成立，故B错误；设1=Q +bi(a,b∈R),则1=a-bi,故之1-之1=2bi,当b=0 时是零，当b≠0时，是纯虚数，C正确，D显然正确，] 12.解析：由之·之十之十之=3，得之（之十1）十之十1=4，所以 (之+1)（之+1）=4，即之+1(x十1)=4，所以之+1|2= 4,因此之十1=2. 答案：2 参考 13,解析： a+2i_(a+2i)(3+4i)_3a+4ai+6i-8 22 3-4i(3-4i)(3+4i) 25 3a-8+4a+6i. 25 25 3a-8=0, “为纯虚数， 25 .a= 8 4a+6≠0， 3 .25 答案：3 8 14.解析：由已知得{6十2<0， 1k2-4>0 所以4<k2<6. 所以-√6<k<一2或2<k<√6. 答案：(-6，-2)U(2W6) 15.解：(1)要使复数之为实数，需满足m-2m一2>0， {m2+3m+2=0, 解得m=-2或-1. 即当m=一2或一1时，之是实数. (2)要使复数之为纯虚数，需满足 (m2-2m-2=1, {m2+3m+2≠0， 解得m=3, 即当m=3时，之是纯虚数. 16.解：1)1+31)2-21+22=-8+6i-2-4 3-i 3-i =-10+2i=-10+2D(3+iD=-32-4i 3-i (3-i)(3+i) 10 =-162 55 品+品号去1 2i 17.解：由M∩N≠⑦，可知至少存在一个复数之同时属 于集合M和N, Epm+i(4-m2)=2cos 0+i(+3sin 0), 故m=2cos日， 14-m2=入+3sin0, 从而入=4-4cos20-3sin0=4sin20-3sin0=4 (m9)品 由-1长sn1,得-8≤A<7. 18.解：这样的虚数存在，之=一1一2i或之=-2-i,理由 如下： 设之=a+bi(a,b∈R且b≠0)， +号-a++。平=a+优+- a2+b2 5a 因为十5是实教， 2 所以6a2十8=0 又因为b≠0， 所以a2+b2=5. ① 又之十3=(a十3)十bi的实部与虚部互为相反数， 所以a十3+b=0. ② 由①②解得a=-1,或{a=-2, 1b=-2,1b=-1, 所以之=一1一2i或之=一2一i. 答案 19.解：(1)设之=x十yi(x,y∈R), 又之十2i=x十(y十2)i,且为实数， 所以y十2=0，解得y=-2. =x-2i_(x-2i)(2+i) 所以产2 (2-i)(2+i) 2x十2士4Di,因为2产为实数， 5 所以二4=0，解得x=4. 5 所以x=4一2i (2)因为复数(z十ai)2=[4十(a-2)i门2 =16-(a-2)2+8(a-2)i =(12+4a-a2)+(8a-16)i, 所以设+g8>0每开2<8 即实数a的取值范围是(2,6). 第五章复数 (B卷) 1,A[由题图可知，之1=-2-i,之2=i,则之1十2=一2， .十2=2，故选A.] 2.C[x1·22=(cos23°+isin23)·(cos37°+isin37)= os60+im60-名+.t选C] &B2++亡=名+1=-日+故 1 5 5 选B.] 4.B[由题意得之=x十yi,因为|之-1+i=|(x-1)+ (y+1)i=|1-2il,所以(x-1)2+(y+1)2=5.故 选B.] 5.C[根据复数模的几何意义可知， 满足|之一i=1的点的集合是以点(0,1)为圆心，1为 半径的圆， 则|之一3-5i表示圆上的，点到点(3,5)的距离， 故|x-3-5i的最大值是√(5-1)2+(3-0)2+1=5 +1=6.故选C.] 6.A[由条件知2十ai,b十i是共轭复数，则a=一1，b =2， 即实系数一元二次方程x2十px十g=0的两个根是2 ±i,所以p=-[(2+i)+(2-i)]=-4,g=(2+i)(2 -i)=5.故选A.] 7.D[因为之1之2=(1十2i)[m十(m-1)i门 =[m-2(m-1)]+[2m+(m-1)]i =(2-m)+(3m-1)i, 所以2-m=3m-1,即m。三 经检脸m=子能使2-m=3m-1>0 所以m-是病足超意：】 8.B[由题意知w1￥w2=w1w2, 对于①，（21十2)￥之3=（之1十22)23=21之3十2223= (之1*之3)十(22￥之3)，显然成立； 对于②，之1*（2十3）=之1（2十23)=之1之2十之1之3= (之1米2)十(1￥之3)，显然成立： 对于③，（之1*2）米之3=（1之2)23=之1之2之3，但是之1* （之2*23)=1*(22之3)=1之2之3，显然不一定成立； 对于④，之1米22=刘1之2，之2米1=之2之1，显然不一定成 立.故真命题的个数为2.]