第1次月考 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（北师大版）

数 新高考 学 同步单元双测卷 (时间：120分年 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 整 1.已知角a的终边经过点P(3a-6,a+1), 且sina>0,cosa≤0，则实数a的取值范 围是 ( 最 A.[-1,2] B.[1,2] C.(-1,2] D.(1,2) 如 2.已知锐角三角形ABC的面积为3√3，BC =4,CA=3,则角C的大小为 ( A.75 B.60° C.45 D.30 3.已知非零向量a,b满足a⊥b,则函数 f(x)=(a.x+b)(x∈R) A.既是奇函数又是偶函数 B.是非奇非偶函数 C.是偶函数 D.是奇函数 4.已知sin A日 B-3 C.-2 D.2 3 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,bc,若B=号，b=6,sinA-2sinC=0, 则a= ( A.3 B.23 C.4√3D.12 茵 6.已知扇形的圆心角为150°，其弧长为 元cm,则这个扇形的面积为 ( cm2 cm2 C.cm D.em 7.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y), c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b= ( A.√5 B.√10 C.2√5 D.10 第一次月芳 B卷·素养提升卷 ,满分：150分) 8.智能主动降噪耳机工作的原理：通过耳 机两端的噪声采集器采集周围的噪音， 然后通过听感主动降噪芯片生成相等的 反向波抵消噪声（如图）.已知噪声的声 波曲线y=Asin(wx+p)(A>0,w>0, 0≤9≤罗)的振幅为1，周期为2x,初相为0， 则通过听感主动降噪芯片生成相等的反 向波曲线的解析式为 噪声声波 两者叠加后 用来降噪的反向声波 A.y=sin x B.y=cos x C.y=-sin x D.y--cos x 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中，有多个 选项符合题目要求.全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.函数y=xcos x一sinx的部分图象不可 能为 不 10.设O,A,M,B为平面上四点，OM= 入OB+(1一)OA,且入∈(1,2)，则下列 结论不正确的是 A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上 C.点A在线段BM上 D.O,A,B,M四点共线 11.如图，一个水轮的半 径为6m,水轮轴心O 距离水面的高度为 3m,已知水轮按逆时 针匀速转动，每分钟 转动5圈，当水轮上 点P从水中浮现时（图中点P。)开始计 时，记f(t)为点P距离水面的高度关于 时间t(s)的函数，则下列结论正确的是 ) A.f(3)=9 B.f(1)=f(7) C.若f(t)≥6，则t∈[2+12k,5+12k] (k∈N) D.不论t为何值，f(t)+f(t+4)+ f(t+8)是定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分， 共15分.将答案填在题中横线上 12.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B, C的对边，向量m=(3,-1),n=(cosA, sinA).若m⊥n,且acos B+bcos A= csin C,则角B= 13.如图，已知正方形ABCD的边长为2， 点E为AB的中点，以A为圆心，AE为 半径，作弧交AD于点F,若P为劣弧 EF上的动点，则PC·PD的最小值为 14.我们听到的美妙弦乐不是一个音在响， 而是许多个纯音的合成，称为复合音， 复合音的响度是各个纯音响度之和.琴 弦在全段振动，产生频率为f的纯音的 同时，其二分之一部分也在振动，振幅 为全段的号，频率为全段的2倍：其三分 之一部分也在振动，振幅为全段的了，频 率为全段的3倍；其四分之一部分也在 振动，振幅为全段的子，频率为全段的4 倍；之后部分均忽略不计.已知全段纯 音响度的数学模型是函数y,=sint(t 为时间，y1为响度)，则复合音响度数学 模型的最小正周期是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)化简求值： 4π 5 2n2m-)eox+}∈. 2 16.(本小题满分15分)在平面直角坐标系 xOy中，已知点A(-1,-2),B(2,3), C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四 边形的两条对角线的长； (2)设实数t满足(AB一tO℃)·O℃=0，求 t的值. 17.(本小题满分15分)在△ABC中，a,b,c 分别为内角A,B,C的对边，且2 asin A =(26+c)sin B+(2c+6)sin C. (1)求A的大小； (2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 23 18.(本小题满分17分)设函数f(x)= w>0且最小正周期 为经 (1)求f(0); (2)求f(x)的解析式； (3)已知fE+)=号，求sima的值。 19.(本小题满分17 分)如图所示，某市 在海岛A上建了 B 一水产养殖中心.在海岸线1上有相距 70公里的B、C两个小镇，并且AB= 30公里，AC=80公里，已知B镇在养 殖中心工作的员工有3百人，C镇在养 殖中心工作的员工有5百人.现欲在 B,C之间建一个码头D,接送来自两镇 的员工到养殖中心工作，又知水路运输 与陆路运输每百人每公里运输成本之 比为1：2. (1)求sin∠ABC的大小； (2)设∠ADB=0,试确定0的大小，使 得运输总成本最少. 24数学(BS)· (2),a-b=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t), 又a-tb与c共线，c=(3,-1), (-3-2)×(-1)-(2-0×3=0,解得1=是 17.解：(1)因为B=2C,所以有sinB=sin2C =2sin Ccos C, 从而cosC=sinB=b=25 2sin C 2c 5 故c0sB=c0s2C=2c0s2C-1=是 (2)由题意得b=4√5，由余弦定理b2=a2十c2 2accos B, 得80=a2+53-2X5X号a,化简得a2-6a-5=0,解 得a=11或a=-5(舍去)，从而DC=5, 又sC-25,则mC- 5 所以Sa=名·DC·AC·sinC =号×5×4V5×5-10. 2 5 18解：1)由题图可得f)=2sin(2x+子x 由-吾+2kx≤z+x≤受+2，∈乙， 得一爱+≤≤-名+kx,k∈乙， 所以函数f(x)的单调增区间为 【一要+，一吾+]eZ 2周为z[警]所以2+[0] 所以当x=子时，f)m=一瓦， 当x=一君时f(x)nmx=2, 所以函数f(x)的值域为[一√2,2]. 19.解：(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(-e1+e2) =e1+(1+λ)e2. A,E,C三点共线，∴存在实数k,使得AE=kEC, 即e1+(1+A)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k 1-λ)e2. ,1,e2是平面内两个不共线的非零向量. :{十20解得 k=- 1 2 1k-1-λ=0,1 入=一 3 21 (2)B元=B元+E元=-3e1-e2=(-6,-3)十 1 (-1,1)=(-7,-2) (3)A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边 形，∴AD=BC.设A(xy),则AD=(3-x,5-y). 成---日-等释0 即点A的坐标为(10,7). 第一次月考 (B卷) 1.C[因为sina>0,cosa≤0， 所以α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上， 所以3a60,解得-1<a≤2.] (a+1>0 必修第二册 2.B[因为面积S=2 BCXCA×simC=35,即2×4 ×3×simC=35,解得sinC=5,又△ABC为锐角 2 三角形，C=60°.] 3.C[因为a⊥b,所以a·b=0,所以f(x)=(ax+b)2 =a2x2+|b2,所以fx)=(ax十b)2是偶函数.] 4Bs()=(倍)-[受+（管小 =-sim(肾-0）=-子] 5.C[:sinA-2sinC=0,.由正弦定理可得c=Za, :B=子b=6由余孩定理=a2+c2-2ac0sB. 可得62=02+（合）-2a·受·，解得a=4] 6.B[说扇形的丰径为R,痛形的圆心角为150，即要。 所以孤长为警R=,则R=号，这个扇形的面积为 6 R×x×-] 7.B[向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a1 c,b∥c,.2.x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2, ∴.a+b=(3,-1),∴.|a+b1=√/32+(-1)2=√10.] 8.C[由某噪声的声波曲线y=Asin(wx十e)(A>0, 。>0,0<9<受)的振幅为1，周期为2，初相为0，知 声波曲线：y=six,通过听感主动降噪芯片生成相等 的反向波曲线为y=一sinx.] 9.ABD[函数y=f(x)=xcos x-sinx满足f(-x) =一f(x),即该函数为奇函数，图象关于原点对称，故 B不可能；当x=x时，y=f(x)=πCosπ一sinx=一元 <0,故A不可能：当x=受时y=f() π =分c0s受-sin受=-1<0，故D不可能.] 10.ACD[由题意可知OM-OA=λ(OB-OA), 即AM=λAB,∴A,M,B三点共线.又A∈(1,2)， ∴|AM|>|AB|,∴.点B在线段AM上.故 选ACD.」 11.BD[如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴 心O为坐标原点，x轴和y轴分别平行和垂直于水 面建立平面直角坐标系，依题意得OP在t(s)内所转 过的角度为1，则∠POr=1-石则点P的级坐标 为y=6sin(否1一音)点P距离水面的高度关于时 间1(s)的函教f)=6sim(后-晋)十3： y f3)=6sm(受-晋)十3=35+3，选项A错误： f1)=6sim(昏-）+3=3， 参考 f7)=6sim(后-若)十3=3，f)=f(7),选项B 正痛：由w≥6，得n(名1-晋)户， 解得t∈[2+12k,6+12k](k∈N),选项C错误；由 f)+f1+4)+f:+8)=6sin(答-)+3+ 6sin(名1+晋)）十3+6sin(名+)十3，展开整理 得f(t)十f(t十4)十f(t+8)=9为定值，选项D 正确」 12.解析：因为角A,B,C为△ABC的内角，由m⊥n,得 5cosA-mA=co(A+若）=0，A+若=登， 解得A=子. 法一由正孩定理名BC及uoB十 b bcos A=csin C,sin Acos B+sin Bcos A=sin2 C, Ep sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C= sin2C,又sinC≠0，sinC=1,解得C=受，B=x 一π一= 2361 法二由余弦定理及acos B十bcos A=csin C,有a .acsin C.2 2ac 2bc 2e2sinC,sinC=1,解得C=受， “B=x-受-君=6 元元元 法三由图形的几何意义易知acos B十bcos A=c, ∴c=simC,即inC=1,解得C=受B=元一号 答案：晋 13.解析：注意到在本题中向量 PC与向量PD的差为定向量， 于是4PC·PD=(PC十 PD)2-(PC-PD)2=(PC+ PD)2-4. 取CD的中点M,则有PM= 2元+而，所以元.而 =P-1,如图，问题转化为求PM2-1的最小值， 显然当A,P,M三点共线时，P一1取得最小值 (5-1)2-1=5-2V5. 答案：5-25 14.解析：因为产生频率为f的纯音的同时，其二分之一 部分也在振动，振幅为全段的？，频率为全段的2 倍：其三分之一部分也在振动，振幅为金段的了，频 率为全段的3倍；其四分之一部分也在振动，振幅为 全段的，频率为全段的4倍：由全段纯音响度的数 学模型是函数y1=sint(t为时间，y1为响度)，可得 复合音响度数学模型为y=合sim2☑十了sin31十 子in4,因为y了血2u的用期为受-y=子n3 答案 的周期为行y=日血的周期为经-受且x 1 2π 42 受的最小公倍鼓为2m,所以y=之sin2r+号sin31+ 子sin:的周期为2x 答案：2x 15.解，0cs吾+co号+cos+cos号 =s吾+ms+s(-）十o(-) 5 5 2)①当n为寺数时，原式=m(）·(0智) =sin(-吾）·o(+晋) ②当n为偶数时，原式=一sin2.cos4 3 3 16.解：(1)由题意知AB=(3,5),AC(-1,1), 则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4), 所以AB+AC=2√I0,|AB-AC=4√2. 故所求的两条对角线的长分别为2√10,4√. (2)由题意知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5 十t). 由(AB-tOC)·OC=0,得(3+2t,5+t)·(-2, -1D=0,从5i=-1,所以1=号 17.解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b十c)b十(2c +b)c,则a2=b2+c2+bc. 又由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A,得cosA= 1 一2 又0°<A<180°，∴.A=120°. (2)法一由(1)中a2=b2+c2+bc,结合正弦定理， 可得sin2A=sin2B+sin2C+-sin Bsin C=3 41 (sin B+sin C)2-sin Bsin C=3 4 又simB+sinC=1 inBsin C=子， :'.sin B=sin C= 1 0°<B<60°，0°<C60°，.B=C. 故△ABC是等腰三角形. 法二由(1)得B+C=60°， .sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)=sin(60°+B) =1, 又0°<B<60°，.B=30°，.C=B=30°，故△ABC 是等腰三角形. 18.解：(1)f(0)=3sin π=3 62 (2)因为fz)=3in(m+)且最小正周期为受， 所以侣受即。=4 所以f)=3sim(4u+看）片 数学(BS)· (3)fx)=3sim(4x+君） 所以（臣+号） =3sin(e++) =3cos a, 所以3cosa=5, 9 所以osa=子所以s。=士 5 19.解：(1)根据余弦定理，有cos∠ABC= AB2+BC2-AC2 1 2·AB·BC =一7 于是in∠ABC=9 (2)不妨设每百人每公里水路运输成本为m元，陆 路运输成本为2m元.又CD=70-BD, 则总成本p=8AD·m+(3BD+5CD)·2m=(700 +8AD-4BD)·m. 在△ABD中应用正弦定理，有 AB AD BD sine sin∠ABC=sin(0+∠ABC,解得AD =1203 7sin 0 BD=ADeos0-ABcos((元-∠ABD)=1203cos 7sin 0 30 , 因此2AD-BD=1205.2-c0s930 7 sin Γ7 设y29,则y>0, sin 有ysin0+cos0=2,又ysin0+cos0=√y2+1sin(0 +9c中，吴中1m9= 所以√y2+1≥2， 解得25，且0=号时取得等号。 因此当日=牙时，运输总成本最少. 第四章三角恒等变换 (A卷) 1A[原式=m[2(至-0）]=o(至-20）=sin2a 故选A. 2.D[因为2m(0-吾）=3cos0, 所以2os6eos号+2sin9sin号=3cos0,即5sin0= 2s9.故1m9-号号-2g5] cos 0 3 3.D[因为f(x)=1+sin(-石)=1+ 上传引专一（信-专）专尚限 2 小正周期为2红=4元] 2 4B[s(-)=ma=又a∈(）所以 必修第二册 cosa=-√1-sin2a= cos a=2cos2 a 2 cos a+1 2 61 所以sin(受+受）=co受 故选B] 61 5.A[f)=+cos(e+受)ms登=cosx cos sin zsin 危=co(+)当∈ [管]时，f)举羽追减，故当=登时，函教f) 取最小值，最小值为cos 6.C[由已知得4(tana-tan3)=16(1+tan atanβ)， 即an a tan已=4，所以tan(a一B)=4.故选C.] 1+tan atan B 7.D[依题意得，-2cos20=1+sin20,所以2(sin20- cos20)=(sin 0+cos 0)2, 即2(sin0+cos)(sin0-cos8)=(sin0+cosθ)2， 故sin0+cos0=0或2(sin0-cos0)=sin0+cos0, 所以sin0=-cos0或sin0=3cos0, 可得tan0=-1或tan0=3, 所以tan0的所有可能取值之和为2.故选D.] I-cos 0+sin 0 8.B j+cos 0+sin 0 20s2号+2sn号os号 003 故选B.] 9.BD [2sin 0-1+cos 4sin 2 cos?-1+ 20as2号1，脚2sn号os号-o号，当ms号≠0 时lm台-合：当co0e号=0时，n号不存在，故 选BD.] 10,D[当A=150时smA十asA=子号<0，故 A错误；由于cos(A-B)=cos Acos B十sin Asin B,而 sin Asin B>0,所以cos(A-B)>cos Acos B,故B 正确；sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 故C正确：tanA十tanB十tanC=tan(A十B)(1一 tan Atan B)+tan C=-tan C(1-tan Atan B)+ tanC=tanA·tanB·tanC,故D正确.] 11.AD[由sin78°=m,得cos12°=m,所以sin12°= √1-m2,故A正确；cos24°=2cos212°-1=2m2-1, 故B错误；tan78°=sin78 器得产故格 cos168°=-cos12°=-m,故D正确.] 12.解析：由n0十x)=号可知-血0-台，所以sm0 =一合，而9为第四象限角，所以cs0=子，于是 tan(-x)=tan 0=sine4 4 答案：一3