第2章 平面向量及其应用 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（北师大版）

参考 第二章平面向量及其应用 (A卷) 1.B[根据题意，向量m=(a,-1),n=(2a-5,3),若 m∥n,则有3a=-(2a-5),解得a=1.故选B.] 2.C[因为a=(4,0),b=(x√3)， 所以a=4,a·b=4.x, 由a=a·b,可得4x=4,解得x=1, 所以a·b=4,b=2. 设a,b的夹角为0， a·b 41 则cos0=ab=4×2-2’ 因为9[0，]，所以0=子故选C.] 3.D[由sin Bsin C=√3sinA,sinB≠0，得sinC= √3sinA_3a sin B 所以S△ABC= ain C=:-5所以a=尽， 又a+b=3√3，所以b=23, 所以simC要，所以coC=土日 b 21 当msC=之时， 6√3+12-2x6×23x7=3: 当cosC=- 6√3+12-2xw5x25X()=Vm.故选D.] 4.C[连接BP(图略)，则AP=AC+CP=b+PR,① AP=AB+BP=q+RP-RB, 由①+②，得2AP=a十+b-RB, ③ 又脑-成=2店-0)=(a-2） ④ 将④代入®，得2A市=a+b-(a-2A驴），所以 A市=a+b.故选C.] B[由正孩定理得品=得mC AB sin Bx立E, 1 AC 1 2 所以C=45°或C=135°，经检验，均满足题意. 当C=45°时，由三角形的内角和定理得A=180° B-C=105°： 当C=135°时，由三角形的内角和定理得A=180° B-C=15°. 因此A=15°或A=105°.] 6.D[在△ACB中，AB=60,BC=60,∠ABC=60°，所 以AC=60,在△CDA中，AD2=AC2+CD2-2AC· CD·c0s60°=602+402-2×60×40×7=280，所 以AD=20√7≈53（米）.故选D.] 7.B[由原等式得AP=入(AB+AC),根据平行四边形 法则知AB+AC是△ABC的中线AD(D为BC的中 点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC 的重心.故选B.] 答案 8.C[由向量AD=AAB+(1-A)AC(0<A<1), 且AD·AC=16, 可得，点D在边BC上，|AD1·|AC1·cos∠DAC =16, 所以|AD|cos∠DAC=4=|AC|, 所以∠BCA=90°，即BC⊥AC, 所以△ABC是以∠BCA为直角的直角三角形， 如图，建立平面直角坐标 A(x,4) 系，设A(x,4)(0<x<3), 则B(x-3,0),DA=(x, 4),DB=(x-3,0),则DA ·DB=x·(x-3)(0<x< c-3,0 3,当x=号时，Di,D成的 位最小，最小值为一景故选C] 9.BC[对于A,OA+OC=√2,1OB=1,故A错误 对于B,OA,OD的夹角为135°，所以OA·OD=|OA Oi1eas135=号长B正确：对于.Oi+Oi =0B2+0H2+2O.0i=2,所以1O+0i1= √2，|一√2OE|=√瓦，利用向量的加法法则，结合题图 可知，OB+OH的方向与√2OE的方向相反，所以OB+ OH=一√2OE,故C正确：对于D,AH在AB方向上的 投影数量为|AH·cos135°，因为|AH≠1，所以 IAFlos135≠9，故D格民，故选C] 10.BCD[若a·b>0,则cos(x-C)>0,即cosC<0, 即角C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，故A为 假命题：若a·b=0,则BC⊥CA,所以△ABC为直角 三角形，故B为真命题；若a·b=c·b,则b·(a-c) =0,即CA·(BC-AB)=0,CA·(BC+BA)=0,取 AC的中点D,则CA·BD=0,所以BA=BC,即 △ABC为等腰三角形，故C为真命题；若(a十c-b) ·(a十b-c)=0,则a2=(c-b)2,即b2+c2-a2=2b ·c,所以c0sA=b+2a=一0SA,所以0sA 2bc =0,即A=交，所以△ABC为直角三角形，故D为 真命题.故选BCD.] 11.BC[设OA=a,OF=b,求x+y的最大值，只需考 虑图中6个顶，点的向量即可，讨论如下： ①因为OA=a,所以(x,y)=(1,0); ②因为OB=OF+FB=b+3a,所以(x,y)=(3,1): ③因为OC=OF+FC=b+2a,所以(x,y)=(2,1): ④因为OD=OF+FE+ED=b+a+(b+2a)=3a十 2b,所以(x,y)=(3,2); ⑤因为OE=OF+FE=b+a, 所以(xy)=(1,1): ⑥因为OF=b,所以(x,y)= (0,1). 所以x十y的最大值为3十2=5. 根据其对称性，可知x十y的 最小值为一5. 数学(BS)· 故x十y的取值范围是[一5,5]，观察选项，选项BC 均符合题意.] 12.解析：设AD=号AB,A花-AC,以AD,AE为邻边 作平行四边形ADME,延长EM交BC于点F(图 感)湖FA所以装子 答案 13,解析：因为血A_Bc0B,由正孩定理可得mA b sin A 5cos,B,所以sinB=5cosB,所以tanB=5. sin B 又B∈(0，x),所以B=号， 由b2=a2+c2-2 accos B,可得4=a2十c2-ac,即4 =a2+c2-ac≥2√a2c-ac=ac,当且仅当a=c=2 时取等号，即ac≤4， 1 又SAARC=acsin B, 所以Sac<号×4x9-5, 即△ABC的面积的最大值为√3. 14.解析：①由题图1可知∠PBA=a 在Rt△ABP中，PA=a,AB PA tan a, 所以AB=,a tan a ②由题图2可得∠APB=受-a, ∠PBA=-(受-a-月=受十aA,由正弦定理， 得 AB in(2ta-8)sin(2-a) 解得AB= acos a cos(a-B)' 答案：1ama a acos a cos(a-B) 15.解：(1)因为b=(3,-2),c=(3,4), 所以b十c=(6,2), 又a=(2,-1), 所以a·(b+c)=2×6十(-1)×2=10. (2)a+b=(2+3入，-1-2入)， 因为(a十b)∥c, 所以(2+3入)×4=(-1-2λ)×3， 解得入=一18 11 16,解：因为anA=尽，所以A=子 sin A sin B sin B-bsin A1 (1)由.a b 21 解得B=晋或B受 又b<a,所以B<A,所以B=T 6 (2)由余弦定理，得(2c)2=22十c2-2×2×c× cos3' 即3c2+2c-4=0, 必修第二册 解得c=1十区（负根含去）， 3 故△ABC的西叔为合esin A=合×2X二1片正 3 ×in音-细且 6 17.解：(1)因为b⊥c, 所以b·c=b·[xa+(1-x)b] =xb·a+(1-x)b2=x×(-5)+(1-x)×5=0,解 得子 (2)因为c2=.xa+(1-x)b12 =x2a2+2x(1-x)a·b+(1-x)2b2 =252-20r+5=25(-号）°+1. 所以当x=号时，c取最小值为1，即有最小 值1. 此时c=2a 意a:b号×10+号×(-5)-1，设向量a,c的夫 3 角为0， 当c|取最小值时，向量a与c的夹角的余弦值cos0 =a·c 1=10 Tac√10x110 18.解：1B0=A0-A店=A心-AB.C成=胶-Ad =号店-花 (2)由1)知，i=Ai+x(合A记-A)=1-)Ai +合Ad, Ai=A花+(3A店-花=号范+1-w花， 1-)AB+AC=长AB+(1-)C, AB,AC不共线， 1-=台， 含-1- =4 5 解得3 =5 (3)设BP=mBC,AP=nA1. 由(2)知，i-=日Ai+号AC :BP=AP-AB=Ai-A店 =n(信+号)应 (得-)+花 BP-m BC-m(AC-AB)=m AC-m AB, ÷(号-1)A店+AC=mAC-mA店， 70 参考 AB,AC不共线， -1=一m, 2 m= 5 解得 3 21≥m, 5 L 5 n=3 成=号成，即器=2 3 点P为线段BC上靠近点C的三等分点 19.解：(1)由题意知，在△AOB中，OA=120,∠AOB= 30°，∠OAB=60°，所以∠ABO=90°，于是AB= OA sin∠AOB=120sin30°=60（海里），而快艇的速 度为)=60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B 的板行时问为9-1小时。 (2)由(1)知，快艇从港口A驶北 离2小时后，从小岛B出发与 D 科考船汇合.为使航行的时间 最少，快艇从小岛B驶离后必 须按直线方向航行，设快艇驶 离小岛Bt小时后恰与科考船 0 一东 A 在C处相遇.在△AOB中，OB =OAcos.∠AOB=120cos30°=60√5，而在△COB 中，BC=60t,OC=20(2+t),∠BOC=30°：由余弦定 理得BC2=OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC, 即(60t)2=(603)2+[20(t+2)]2-2×60V5×20(t +2)×号，化商得8+51-13=0，郎得1=1或1 号（合 故t+2=3. 即快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船 相遇. 第二章 平面向量及其应用 (B卷) 1.D因为AB=(1,2),所以a=(-4,-8)=-4(1,2) =-4AB.故选D.] 2.D[由a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,又a+bl =√a2+2a·b+b=7, 所以eaa+6=+8-写是-是] 3.A ['.'sin A sin B=3 5, 六由三孩定理可得号-会可得a=6 c=26-a=b, .cos B=a2tc262 2ac 2×3驰×7h 55 选A.] 4B[由题意得，AG=花+E=市+ 花+子店+成)=市+(+号》 =2市+受成， :店=a心=b店=b叶名a.故选B] 答案 5,C[由已知及正弦定理得h十C a+ca+b=1, 化简得b2+c2-a2=bc, 所以cosA=2+c2-a2 1, 2bc2 因为A∈(0，π)，所以A=60°， 所以AB·AC=bc cos60°=4，所以bc=8,所以S△ABC =csmA=7×8×9-2.故选C] 2 6.B[由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得[(b+c)+a][(b +c)-a]=3bc即(b+c)2-a2=3bc,整理得b2+c2 a2=bc, 根据余弦定理得cosA=+c2-a2=1 2bc =2· 因为0°<A<180°，所以A=60°，故选B.] 7.C[由题意作出示意图如图所示.北 A 由题意可得∠ACB=180°一20° -40°=120°， 20° 由余弦定理可得AB2=AC2十 BC2-2AC·BC·cos120°=9 东 +25-2X3×5×cos120°=49，C 所以AB=7km.故选C.] 40° 8.C[由题图可得CD=BC,所 以AB+CD=AB+BC=AC, 在△ACD中，AD=6,CD=2, ∠ADC=S, 所以AC=√AD2+CD2-2 ADXCDcos∠ADC √62+22-2×6X2×s号=27.故选C.] 9.AB[由题意知，日是与a同向的单位向量，合是 与b同向的单位向量，这两个向量互为相反向量，所 以a,b方向相反.周北：使得日十合-0成立的条件 有a十b=0,a=-2b.故选AB.] 10.BD[因为C=C+A花，A范=号Ai, A方=AB+BD,Bò=子B心，B成=BA+AC,所以C =A茄-C,B前=子(Bi+AO,所以=AB+ B丽=店+子B成+子AC,所以A正 号(+号A+号)所以应=i+专A成+ 号Bi+日花=号A店-gA花.故选BD] 11.BCD[以BC的中点为原 点，建立如图所示的平面直 角坐标系，则A(0,5a), B(-a,0),C(a,0). 设P(x,y), B 0 则PA=(-x,3a-y), PB=(-a-z,-y),PC=(a-x,-y). 所以PA·(PB+PC)=(-x,W3a-y)·[(-a-x, -y)+(a-x,-y)]数 新高考 第二章 学 同步单元双测卷 (时间：120分每 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 整 1.已知向量m=(a,-1),n=(（2a-5,3), 若m∥n,则实数a的值为 最 A.3 B.1 C. D.-5 2.已知向量a,b满足a=(4,0),b=(x, √3)，x∈R,且|a|=a·b,则a,b的夹角 如 的大小为 ( A B. c.号 D 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 h a,b,c,若sin Bsin C=√3sinA,△ABC 的面积为3， ,a+b=3√3，则c=( A.3 B.√21或3 C.√21 D.√21或3 4.如图所示，在△ABC 中，设AB=a,AC=b, AP的中点为Q,BQ 的中点为R,CR的中 点为P,则AP= A.n 1 1 B.3a+ 2 C.+ 2 4 茵 5.在△ABC中，AB=√2，AC=1,B=30°， 则A= A.45° B.15或105° C.45°或135° D.105° 6.如图是隋唐天坛，古叫 圜丘，它位于唐长安城 明德门遗址东约950 米，即今西安市雁塔区 陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废 弃于唐末，比北京明清天坛早1000多 平面向量及其应用 卷·基础达标卷 ,满分：150分) 年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天 之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的 直径，在天坛外围测得AB=60米，BC= 60米，CD=40米，∠ABC=60°，∠BCD =120°，据此可以估计天坛的最下面一层 的直径AD大约为 (结果精确 到1米) ) (参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈ 2.236,√7≈2.646) A.39米 B.43米 C.49米 D.53米 7.已知O是平面内一定点，A,B,C是平面 内不共线的三个动点，若动点P满足OP =OA+λ(AB+AC),A∈(0，+∞)，则点 P的轨迹一定通过△ABC的 ( A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心 8.在△ABC中，AB=5,AC=4,AD=λAB +(1-A)AC(0<λ<1)，且AD·AC= 16,则DA·DB的最小值为 ) A.-B-4c.-号 4 4 D.-21 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中，有多个 选项符合题目要求.全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图所示，已知正八边 形ABCDEFGH,其中 G |OA|=1,则下面选项 正确的是 ) A.OA+OC-OB BOA·0D=-2 C.OB+OH=-√2OE D.AH在AB方向上的投影数量为- 2 10.在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,在 下列命题中，是真命题的有 () A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形 B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形 C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三 角形 D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则 △ABC为直角三角形 11.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形 组成，中心重合于点O且三组对边分别 平行，点A、F是“六芒星”（如图）的两个 顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及 边界)，若OP=xOA+yOF,则x十y 的取值可能是 图1六芒星 图2 A.-6 B.1 C.5 D.9 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分， 共15分.将答案填在题中横线上， 12.已知M是△ABC内一点，AM=号A店+ AC,设△ABM的面积为S1,△ABC 的面积为S,则 13.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,若b=2,simA=3cos B,则 △ABC的面积的最大值为 14.某中学组队到某村参加社会实践活动， 村长让学生测量河流两岸A与B两点 间的距离.同学们各抒己见，但李明想 到一种测量方法，同学们一致认为很 好.其方法是：在点A处垂直地面竖立 一根竹竿，在竹竿上取一点P,使AP= a米，在P处测得从P看B的俯角为a. ①当A和B在同一水平面上时（如图1）. 测得AB= 米； ②当A和B不在同一水平面上(A和 B,在同一水平面上)时（如图2），利用 测角仪测得∠PAB=3,此时，可测得 AB- 米 <-la 图1 图2 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知向量a=(2,一1)， b=(3,-2),c=(3,4). (1)求a·(b+c); (2)若(a+b)∥c,求实数入的值. 16.(本小题满分15分)设a,b,c分别为 △ABC内角A,B,C的对边，已知tanA =√3，b=2. (1)若a=2√3，求角B的大小； (2)若a=2c,求△ABC的面积. 17.(本小题满分15分)已知|a=√10，|b =√5，a·b=-5,c=xa+(1-x)b. (1)当b⊥c时，求实数x的值； (2)当|c|取最小值时，求向量a与c的 夹角的余弦值. 1 18.(本小题满分17分)如 图所示，在△ABC中， AQ-Q,A成=}A店， BQ与CR相交于点 I,AI的延长线与边 BC交于点P, (1)用AB和AC分别表示BQ和CR; (2)如果AI=AB+ABQ=AC+CR 求实数入和：的值； (3)在(2)的条件下，确定点P在边BC 上的位置 19.(本小题满分17分)北 如图，港口A在港口 O的正东120海里 处，小岛B在港口O 的北偏东60°的方向，0 东 且在港口A北偏西30°的方向上，一艘 科学考察船从港口O出发，沿北偏东 30°的OD方向以20海里/小时的速度 驶离港口O.一艘快艇从港口A以 60海里/小时的速度驶向小岛B,在B 岛转运补给物资后以相同的航速送往 科考船.已知两船同时出发，补给装船 时间为1小时. (1)求快艇从港口A到小岛B的航行时 间； (2)快艇驶离港口A后，最少经过多少 小时能和科考船相遇？ 12