22.1～22.2函数的概念、函数的表示寒假预习讲义-2025-2026学年人教版八年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

22.1～22.2函数的概念、函数的表示寒假预习讲义（人教版） 💧 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★综合测试 ✅ 课前预习★目标 ◆ 理解变量与常量的概念，能在实际问题中准确辨析变量和常量； ◆ 初步掌握函数的定义：在一个变化过程中，若对于自变量x的每一个确定值，都有唯一确定的y与之对应，则称y是x的函数； ◆ 能根据函数解析式的类型（整式、分式、二次根式），正确确定自变量的取值范围； ◆ 认识函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图象法，理解并掌握各自的特点与适用场景； ◆ 能依据简单的函数解析式或表格，正确计算并求出对应的函数值。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1】变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量．数值保持不变的量叫做常量． 【重点提示】一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量． 【知识点2】函数的概念 一般地，在一个变化过程中． 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数． 【重点提示】对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应． 【知识点3】函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值． 【重点提示】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个．比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【知识点4】自变量的取值范围 1. 整体型：全体实数； 2. 分式型：分母不等于0； 3. 二次根式型：被开方数大于或等于0； 4. 实际问题：除满足式子要求外，还必须符合实际意义。 【知识点5】函数的几种表达方式： 变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种： （1）解析式法：用数学式子表示函数关系，简洁准确，便于计算； （2）列表法：用表格列出自变量与函数值，直观清晰，一目了然； （3）图象法：用图象表示函数关系，形象直观，能看出变化趋势． 【知识点6】函数的图象 （1）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． （2）函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线．列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1用表格表示变量间的关系 例1．刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌， 则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 变式1．丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 ，因变量是 ． 变式2．西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表： 降价金额（x/元） 10 30 40 50 60 日销量（y/盒） 60 90 105 120 135 (1)上表中，自变量是________，因变量是________； (2)可以估计降价前的日销量是________盒； (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 题型2用关系式表示变量间的关系 例2．关于球的体积公式，下列说法正确的是（    ） A．V，π，r是变量，是常量 B．V，r是变量，，π是常量 C．V，π是变量，，r是常量 D．以上都不对 变式1．如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是 ． 变式2．综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 车身总长y/米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 素材2：如图，该超市的扶梯斜坡米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为___________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 题型3用图像表示变量间的关系 例3．手工课上，轩轩用火柴棒按图所示的方法设计图案，火柴棒的根数m随三角形的个数n的变化而变化．在这一变化中，下列说法错误的是（   ） A．m，n都是变量 B．n是自变量，m是因变量 C．m是自变量，n是因变量 D．m随着n的变化而变化 变式1．某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为 件． 变式2．【问题情境】 我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对游乐园内的摩天轮进行实地调研．摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针匀速旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度（h）和所用的时间（x）的数据，并绘制图象如图①． 【问题研究】 请根据图①中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； （2）摩天轮最高点距地面________米，摩天轮的直径是________米； 【问题解决】 （3）如图②，摩天轮某个吊舱从点A匀速旋转到点B需5分钟，求的度数． 题型4函数的概念 例4．下列各图象中，变量不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 变式1．在男子1000米赛跑中，运动员的平均速度，其中变量是 ，常量是 ． 变式2．打羽毛球时，羽毛球的运动轨迹主要受击球力度、角度和空气阻力影响．小明发了个高远球，羽毛球到达最高点后开始下落．羽毛球高度与下落时间的关系如表所示： 下落时间 羽毛球高度 根据表格所提供的信息，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)当下落时间为______时，羽毛球高度为 (3)当下落时间为时，羽毛球下降的距离为______； (4)假设搭档小华的接球合适高度在左右，从羽毛球下落那一刻算起，小华最好在______内完成回击． 题型5函数解析式 例5．一只机器狗以的平均速度在路面上行走，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 变式1．在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为 ． 变式2．为了鼓励市民节约用水，郑州市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量x/m3 单价（元/m3） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量（结果保留一位小数）． 题型6求自变量的取值范围 例6．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 变式1．在函数中，自变量的取值范围是 ． 变式2．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为， (1)写出y关于x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 题型7求自变量的值或函数值 例7．已知变量之间的关系式为，当时，的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．声音在空气中的传播速度与空气温度的关系如下表： 空气温度/℃ 0 10 20 声速/（） 319 325 331 337 343 当空气温度为30℃时，声音在空气中的传播速度为 ． 变式2．为了解某品牌汽车的耗油量，某课外小组对该品牌汽车做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格： 汽车行驶的时间 0 1 2 3 … 油箱中剩余的油量 100 94 88 82 … (1)根据上表的数据，请你写出与之间的关系式． (2)汽车行驶后，油箱中剩余的油量为多少？ 题型8函数图像识别 例8．小明匀速去离家1200米的图书馆，借书后匀速返回，共用时30分钟．已知返回的速度快于去的速度，则他离家的距离米随时间分钟的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 变式2．下列各情境分别可以用右边哪幅图来近似的刻画？横线上填相应的字母序号． (1)一面冉冉上升的旗子________ (2)匀速行驶的汽车________ (3)足球守门员大脚开出去的球________ (4)一杯越晾越凉的水________ 题型9用描点法画函数图像 例9．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 变式1．写出一个在函数图象上的点的坐标 ． 变式2．如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． (1)完成下列表格． … … … … … … (2)画出函数图象． 题型10从函数的图像获取信息 例10．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从甲车出发到返回与乙车相遇为止，两车之间的距离y（）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则下列说法正确的是（    ） A．乙车速度是 B．函数图象中b的值是4 C．甲车出发最终与乙车相遇 D．A，B两地的距离是 变式1．甲、乙两车从城出发前往城，过程中，汽车离开城的距离与时刻的关系如图所示，则被墨水遮住的时刻是 ． 变式2．已知：A、B两地之间的距离为，C地介于A、B两地之间，海绵宝宝驾车从A地驶往C地，派大星驾车从B地经C地驶往A地，已知两车同时出发，相向而行，结果两车同时到达C地后，海绵宝宝因故在C地须停留一段时间，然后返回A地，派大星继续驶往A地，设派大星行驶时间，他们之间的距离为，如图的折线表示y与x之间的关系． (1)分别求海绵宝宝和派大星的速度． (2)如果它们开始出发时间是早上、那么D点所表示的时间是几点？ (3)从D点的时间开始，又过了多少个小时它们相距90千米？此时的时间是几点？ 题型11动点问题的函数图像 例11．飞机起飞后，上升到高度为km时，改为水平飞行，一段时间后，高度又下降了km（），接着飞机持续上升。对于这一段时间飞机飞行高度与时间的函数关系，下列图象大致正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则 ，的面积为 ． 变式2．小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离与小丽出发时间之间的部分函数关系如图中折线段所示． (1)小丽步行的速度是__________和小明骑车的速度是__________； (2)当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． (3)求小丽出发多长时间后，两人相距． 题型12函数的三种表示方法 例12．已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 变式1．下表中记录了某次试验中时间（单位：）和温度（单位：）的数据． 时间 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则时的温度是 ． 变式2．小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： (1)室温大概是________℃； (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列函数经过点的是（    ） A． B． C． D． 2．有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．像这样的函数称为常值函数，函数的图象经过（    ） A． B． C． D． 4．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 6．如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 7．下列不能表示y是x的函数的图象是（   ） A． B． C． D． 8．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 9．如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路线在边上匀速运动．设点P运动的时间为，的面积为S，S关于t的函数图象如图②所示，则边的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 二、填空题 11．已知，那么 12．一个边长为5厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，正方形的面积随之增加平方厘米，那么与的函数关系式是 ． 13．已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 ． 14．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）： ． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）： ． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）： ． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）： ． 15．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为 （填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    16．小明同学为锻炼自己的社会实践能力，暑假某一天，以每千克元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场销售，在销售了部分西瓜后，余下的每千克降价元，全部售完，销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示，那么小明赚了 元． 17．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 三、解答题 18．某旅游景区原来的门票价格为每张80元．临近春节，该景区推出优惠方案：每张门票打九折．某公司组织员工去该景区旅游．设员工人数为人，购买门票的总金额为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． 19．电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 20．甲、乙两车在相距千米的两站点间往返载客，两车均在每天早上同一时间从站出发，甲车中途不停靠，乙车仅在与两站均相距的站点停靠上下客．已知两车行驶过程中保持速度不变，甲车速度是乙车速度的2倍，且两车在各站点停靠时长都相同．上午发车后在乙车的第一个往返期间，甲车离站的路程关于出发时间的函数图象如图1所示． (1)求甲车速度及每次在站点停靠的时长； (2)在图2中用虚线画出乙车在第一个往返期间离站的路程关于出发时间的函数图象，并求甲、乙两车出发后第一次相遇时离站的路程； (3)甲、乙两车第一次相遇后，又经过多少时间两车再次相遇？ 21．如图，在四边形中，，，且满足，，，点P从点A出发，沿着折线A→B→C运动，到达点Ｃ后停止运动．设点P运动的路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并写出对应自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时，请直接写出x的值． 22．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 23．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 5 10 … (1)自变量是 ，因变量是 ； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 24．在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.1～22.2函数的概念、函数的表示寒假预习讲义（人教版） 💧 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★综合测试 ✅ 课前预习★目标 ◆ 理解变量与常量的概念，能在实际问题中准确辨析变量和常量； ◆ 初步掌握函数的定义：在一个变化过程中，若对于自变量x的每一个确定值，都有唯一确定的y与之对应，则称y是x的函数； ◆ 能根据函数解析式的类型（整式、分式、二次根式），正确确定自变量的取值范围； ◆ 认识函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图象法，理解并掌握各自的特点与适用场景； ◆ 能依据简单的函数解析式或表格，正确计算并求出对应的函数值。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1】变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量．数值保持不变的量叫做常量． 【重点提示】一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量． 【知识点2】函数的概念 一般地，在一个变化过程中． 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数． 【重点提示】对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应． 【知识点3】函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值． 【重点提示】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个．比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【知识点4】自变量的取值范围 1. 整体型：全体实数； 2. 分式型：分母不等于0； 3. 二次根式型：被开方数大于或等于0； 4. 实际问题：除满足式子要求外，还必须符合实际意义。 【知识点5】函数的几种表达方式： 变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种： （1）解析式法：用数学式子表示函数关系，简洁准确，便于计算； （2）列表法：用表格列出自变量与函数值，直观清晰，一目了然； （3）图象法：用图象表示函数关系，形象直观，能看出变化趋势． 【知识点6】函数的图象 （1）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． （2）函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线．列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1用表格表示变量间的关系 例1．刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌， 则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【分析】本题考查常量和变量，正确理解常量与变量的定义是解题的关键．常量是固定不变的量，变量是变化的量． 【详解】解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量， ∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化， ∴常量是单价． 故选B． 变式1．丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 ，因变量是 ． 【答案】 t s 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义． 根据自变量和因变量的定义，时间t是独立变化的量，路程s随t的变化而变化 【详解】解：从表格数据可知，时间t每增加5分钟，路程s相应增加1公里， 因此路程s的变化依赖于时间t的变化， 故自变量是时间t，因变量是路程s． 故答案为：t，s． 变式2．西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表： 降价金额（x/元） 10 30 40 50 60 日销量（y/盒） 60 90 105 120 135 (1)上表中，自变量是________，因变量是________； (2)可以估计降价前的日销量是________盒； (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 【答案】(1)降价金额x，日销量y (2)45 (3)165盒 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键； （1）根据函数的定义“在变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，其中x是自变量，y是因变量”进行求解即可； （2）根据表格可直接进行求解； （3）根据（2）及题意可列式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是降价金额x，因变量是日销量y； 故答案为降价金额x，日销量y； （2）解：由表格可知：估计降价前的日销量是（盒）； 故答案为45； （3）解：由题意得：（盒）； 答：该文创产品的日销量为165盒． 题型2用关系式表示变量间的关系 例2．关于球的体积公式，下列说法正确的是（    ） A．V，π，r是变量，是常量 B．V，r是变量，，π是常量 C．V，π是变量，，r是常量 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了变量与常量的定义，掌握变量是数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量是解题的关键． 根据变量和常量的定义，变量是数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量，进行判断即可． 【详解】解：在球的体积公式 中， 和 的值随球的大小变化而变化，是变量； 和 的值固定不变，是常量，选项B正确． 故选：B． 变式1．如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列函数表达式，解题关键是找到台阶数量与侧面宽度、竖直高度的关系． 【详解】解：∵每个台阶宽，侧面宽度为， ∴台阶的数量． 又∵每个台阶高，竖直高度为， ∴． 将代入，得． 故答案为：． 变式2．综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 车身总长y/米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 素材2：如图，该超市的扶梯斜坡米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为___________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查两个变量之间的关系，理解题意，正确求得关系式是解答的关键． （1）根据表格，结合已知列关系式即可； （2）求出当时的y值，和比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加0.2米， 则， ∴车身总长y与购物车数量x之间的关系式为． 故答案为：． （2）解：该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕．理由如下： 在直角中，（米）， 当时，， ∵， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 题型3用图像表示变量间的关系 例3．手工课上，轩轩用火柴棒按图所示的方法设计图案，火柴棒的根数m随三角形的个数n的变化而变化．在这一变化中，下列说法错误的是（   ） A．m，n都是变量 B．n是自变量，m是因变量 C．m是自变量，n是因变量 D．m随着n的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了变量、自变量与因变量的概念，掌握自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． 根据变量、自变量、因变量的定义，判断三角形个数与火柴棒根数的变化关系，逐一验证选项的正确性． 【详解】解：变量是变化的量，自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量：三角形个数和火柴棒根数都在变化，故都是变量，故选项A正确； 是主动变化的三角形个数，是自变量； 随的变化而变化，是因变量，故选项B、D正确，选项C错误． 故选：C． 变式1．某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为 件． 【答案】30 【分析】本题考查图象法表示两个变量的关系，观察图象找出销售单价和销售量之间的关系，由销售单价140元时的对应销售量为40即可解题． 【详解】解：由图象找出销售单价和销售量的对应数值， 可得销售单价每增加10元，销售量对应减少10件， 因为销售单价为140元时，销售量为40件， 所以销售单价为150元时，是在140的基础上再增加10元，所以销售量要在40的基础上减少10件，所以为30件． 故答案为：30． 变式2．【问题情境】 我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对游乐园内的摩天轮进行实地调研．摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针匀速旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度（h）和所用的时间（x）的数据，并绘制图象如图①． 【问题研究】 请根据图①中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； （2）摩天轮最高点距地面________米，摩天轮的直径是________米； 【问题解决】 （3）如图②，摩天轮某个吊舱从点A匀速旋转到点B需5分钟，求的度数． 【答案】（1）所用的时间x，距离地面的高度h；（2）103米，100米；（3）． 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确识别图象中的信息是解题的关键． （1）根据自变量和因变量求解； （2）根据图象求解； （3）用除以20分钟，得出每分钟走过的角度，再乘以5分钟即可求解． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是所用的时间x，因变量是距离地面的高度h； （2）由图象可得，摩天轮最高点距地面103米，最低点距离地面3米， 摩天轮的直径是（米）； （3）摩天轮匀速旋转一周需要20分钟， 某个吊舱从点A匀速旋转到点B需5分钟， ． 题型4函数的概念 例4．下列各图象中，变量不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，有两个变量，若对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，那么就叫做的函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：由函数的定义可知，四个图象中，只有D选项中的图象中，变量不是的函数， 故选：D． 变式1．在男子1000米赛跑中，运动员的平均速度，其中变量是 ，常量是 ． 【答案】 v，t 1000 【分析】本题考查了函数的定义，正确理解变量是指可以取不同值的量，常量是指固定不变的量，即可解题． 【详解】解：在平均速度公式中，时间t变化时，速度v也随之变化，故v和t都是变量，而距离1000米是固定值，故是常量． 故答案为：v，t；1000． 变式2．打羽毛球时，羽毛球的运动轨迹主要受击球力度、角度和空气阻力影响．小明发了个高远球，羽毛球到达最高点后开始下落．羽毛球高度与下落时间的关系如表所示： 下落时间 羽毛球高度 根据表格所提供的信息，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)当下落时间为______时，羽毛球高度为 (3)当下落时间为时，羽毛球下降的距离为______； (4)假设搭档小华的接球合适高度在左右，从羽毛球下落那一刻算起，小华最好在______内完成回击． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4) 【分析】此题考查了函数定义，关键是能准确理解并运用该知识和实际问题中的数量关系进行求解． （1）根据函数的定义即可求解； （2）根据表格中的数量关系即可求解； （3）根据，即可求解； （4）根据表格可得羽毛球的高度为时，，根据题意可得小华最好在内完成回击． 【详解】（1）由题意得，在这个变化过程中，自变量是，因变量是， 故答案为：，； （2）由题意得，当下落时间为时，羽毛球高度为， 故答案为：； （3）由题意得，当下落时间为时，羽毛球的高度是， 下降的距离为：， 故答案为：； （4）由题意得，羽毛球的高度为时，， 从羽毛球下落那一刻算起，小华最好在内完成回击， 故答案为：． 题型5函数解析式 例5．一只机器狗以的平均速度在路面上行走，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根据实际问题列函数解析式的能力，关键是能根据实际问题间数量关系准确列式． 根据路程＝速度×时间，列出关系式即可． 【详解】解：∵路程＝速度×时间， ． 故选：D． 变式1．在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，根据“付款总金额生态瓶基础工具包费用玻璃瓶的费用”列式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 变式2．为了鼓励市民节约用水，郑州市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量x/m3 单价（元/m3） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量（结果保留一位小数）． 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】本题考查了函数解析式以及一元一次方程的实际应用，注意计算的准确性即可； （1）求出第一档的水费为，则第二档的水费为； （2）根据（1）即可求解； （3）求出第一档和第二档的最高费用，可推出该户的年用水量属于第二档，所以，即可求解； 【详解】（1）解：第一档的水费为（元）， 第二档的水费为（元）， ∴水费y（单位：元）与x之间的关系式为：； （2）解：当某户一年用水量是时，处于第二档， ∴（元）； 该户这一年的用水费为元． （3）解：第一档的最高费用为（元）， 第二档的最高费用为（元）， 因为，所以该户的年用水量属于第二档，所以， 解得：x约等于． 答：该户去年一年的用水量约为． 题型6求自变量的取值范围 例6．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式自变量的取值范围及分式有意义的条件，根据分式有意义的条件（分母不为）列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为， ∴， 解得：， ∴自变量的取值范围是． 故选：C． 变式1．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了确定函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定自变量的取值范围． 【详解】解：由函数表达式可知，分母，解得． 故答案为：． 变式2．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为， (1)写出y关于x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查建立函数的模型解决实际问题的能力．要读懂题意并根据题意列出函数关系式．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解，并会根据实际意义求函数值和自变量的取值范围． （1）根据等腰三角形周长公式即可求得y关于x的函数关系式； （2）利用三角形边长为正数和三边关系求自变量的范围； 【详解】（1）解：根据三角形周长公式可知：， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， 解得：． 题型7求自变量的值或函数值 例7．已知变量之间的关系式为，当时，的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了已知自变量的值求函数值，将代入求解即可． 【详解】解：将代入关系式得，， 所以y的值为3， 故选：B． 变式1．声音在空气中的传播速度与空气温度的关系如下表： 空气温度/℃ 0 10 20 声速/（） 319 325 331 337 343 当空气温度为30℃时，声音在空气中的传播速度为 ． 【答案】349 【分析】根据表格数据，温度每升高，声速增加，从到增加，故声速增加． 本题考查了自变量与函数值，熟练分辨自变量与函数值是解题的关键． 【详解】解：观察表格，温度从到，声速由增至，增加； 从到，声速由增至，增加； 从到，声速由增至，增加； 从到，声速由增至，增加． 因此，温度每升高，声速恒增加6 m/s． 当空气温度为时，声速为，则时声速为． 故答案为：349． 变式2．为了解某品牌汽车的耗油量，某课外小组对该品牌汽车做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格： 汽车行驶的时间 0 1 2 3 … 油箱中剩余的油量 100 94 88 82 … (1)根据上表的数据，请你写出与之间的关系式． (2)汽车行驶后，油箱中剩余的油量为多少？ 【答案】(1) () (2)70L 【分析】本题考查函数关系式以及函数的表示方法，理解数量之间的关系以及函数的意义是解题的关键． （1）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得与之间的关系式； （2）求汽车行驶后，油箱中的剩余油量即求当时，的值． 【详解】（1）解：由题意得：汽车每行驶小时，油量减少， 则剩余的油量为： ()． （2）解：当时， 故行驶后，油箱中剩余的油量为． 题型8函数图像识别 例8．小明匀速去离家1200米的图书馆，借书后匀速返回，共用时30分钟．已知返回的速度快于去的速度，则他离家的距离米随时间分钟的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查函数的图象，理解函数图象每个时间段图象的变化意义是解题关键．根据离家的距离先增大，中间停留一段时间，再慢慢减小，其中返回时由于速度更快变化的更明显，据此求解即可． 【详解】解：∵小明匀速去离家1200米的图书馆，借书后匀速返回，共用时30分钟， ∴离家的距离先增大，中间停留一段时间，再慢慢减小，故排除B、C选项； ∵返回的速度快于去的速度， ∴返回时变化的更明显， 故选：A． 变式1．如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 【答案】（1） 【分析】本题考查了函数的定义，理解并掌握函数的定义是关键． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就把称为自变量，把称为因变量，是的函数，根据定义，结合图形分析即可． 【详解】解：图（1）中，任意一个确定的值，都有唯一确定的值对应，故是的函数，符合题意； 图（2）中，任意一个确定的值，值不唯一，故不是的函数，不符合题意； 故答案为：（1） ． 变式2．下列各情境分别可以用右边哪幅图来近似的刻画？横线上填相应的字母序号． (1)一面冉冉上升的旗子________ (2)匀速行驶的汽车________ (3)足球守门员大脚开出去的球________ (4)一杯越晾越凉的水________ 【答案】(1)D (2)B (3)A (4)C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． （1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案． 【详解】（1）解：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画， 故答案为：D； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画, 故答案为：B． （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画, 故答案为：A； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画, 故答案为：C； 题型9用描点法画函数图像 例9．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：如图所示， 点和其它三个点不在同一条直线上， ∴错误的数据是， 故选：A． 变式1．写出一个在函数图象上的点的坐标 ． 【答案】 【分析】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为，在给出一个合适的x值，代入函数解析式中求出y值，即可得出点的坐标． 【详解】解：∵， ∴，即该函数自变量的取值范围为x≠0， 当时，， ∴点（1，0）在该函数图象上． 故答案为：（1，0）． 【点睛】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图象上的任意点都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点是否在函数图象上的方法是：将点的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 变式2．如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． (1)完成下列表格． … … … … … … (2)画出函数图象． 【答案】(1)列表见解析 (2)函数图像见解析 【分析】本题考查了描点法画函数图象，根据题意正确画出函数图象是解题的关键． （1）列表找出点的坐标即可； （2）利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 1 2 3 … … 4 3 2 0 … … 1 2 … （2）解：画出函数图象如图． 题型10从函数的图像获取信息 例10．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从甲车出发到返回与乙车相遇为止，两车之间的距离y（）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则下列说法正确的是（    ） A．乙车速度是 B．函数图象中b的值是4 C．甲车出发最终与乙车相遇 D．A，B两地的距离是 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据函数图象解决行程问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据函数图象获得准确信息，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A.乙车先行1小时的路程是60千米，因此乙车的速度为60千米/小时，故选项A错误，不合题意； B.甲车出发小时就追上乙，因此速度差为千米/小时， 故甲车的速度为千米/小时， 甲车追上乙车后到两车距离为80千米需要时间为（小时）， 甲车行全程需要（小时）， ∴，故B选项错误，不符合题意； D.全程为千米，故选项D正确，符合题意； C.此时乙车出发（小时）， 甲车休息小时准备返回时乙车行（小时）， 此时乙车距B地（千米）， 返回时相遇时间为小时， 此时甲车行驶的时间为（h），故选项C错误，不合题意． 故选：D． 变式1．甲、乙两车从城出发前往城，过程中，汽车离开城的距离与时刻的关系如图所示，则被墨水遮住的时刻是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象，解题的关键是从函数图象中获得正确的信息．先计算出甲、乙两车的平均速度，再设乙车出发小时后两车相遇，列出方程解答即可． 【详解】解：由图示知：，两城相距，甲车从出发，乙车从出发；甲车到达城，乙车到达城； 乙车的平均速度为：， 甲车的平均速度为：， 设乙车出发小时后两车相遇， 根据题意，得， 解得：； 所以甲、乙两车相遇时，对应的值是． 故选：． 变式2．已知：A、B两地之间的距离为，C地介于A、B两地之间，海绵宝宝驾车从A地驶往C地，派大星驾车从B地经C地驶往A地，已知两车同时出发，相向而行，结果两车同时到达C地后，海绵宝宝因故在C地须停留一段时间，然后返回A地，派大星继续驶往A地，设派大星行驶时间，他们之间的距离为，如图的折线表示y与x之间的关系． (1)分别求海绵宝宝和派大星的速度． (2)如果它们开始出发时间是早上、那么D点所表示的时间是几点？ (3)从D点的时间开始，又过了多少个小时它们相距90千米？此时的时间是几点？ 【答案】(1)海绵宝宝的速度为：，派大星的速度为； (2)D点所表示的时间是； (3)从D点的时间开始，又过了个小时它们相距90千米，此时的时间是． 【分析】本题考查了函数图象，根据图象，得到相关信息是解题的关键． （）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）根据海绵宝宝和派大星的速度差即可求解． 【详解】（1）解：派大星的速度为， 海绵宝宝的速度为：， 答：海绵宝宝的速度为：，派大星的速度为； （2）解：， 则经过12小时为， 答：D点所表示的时间是； （3）解：（小时）， 则经过小时的时间为， 答：从D点的时间开始，又过了个小时它们相距90千米，此时的时间是． 题型11动点问题的函数图像 例11．飞机起飞后，上升到高度为km时，改为水平飞行，一段时间后，高度又下降了km（），接着飞机持续上升。对于这一段时间飞机飞行高度与时间的函数关系，下列图象大致正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象，会分析图象的特点是关键．根据飞机飞行的过程，分阶段分析高度随时间的变化情况，进而确定对应的函数图象． 【详解】解：根据飞机起飞后，上升到高度为km时，其图象是一段上升的直线；改为水平飞行一段时间，其图象是一段平行于轴的直线；一段时间后，高度又下降了km（），其图象是一段下降的直线；接着飞机持续上升，其图象是一段上升的直线， 据此观察图象，D选项符合题意． 故选：D． 变式1．如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则 ，的面积为 ． 【答案】 22 【分析】此题主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为E，在下图中标注点M、N，且，结合运动轨迹及运动图象得出，然后利用等腰三角形的性质得出，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积． 【详解】解：如图所示，作，垂足为E， 在下图中标注点M、N，且， 当点P从点A运动到点B时，对应于线段， ∴， 当点P从点B运动到点D时，对应于曲线， ∴， ∴， 当点P到点D时，对应于图中的点N， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：，． 变式2．小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离与小丽出发时间之间的部分函数关系如图中折线段所示． (1)小丽步行的速度是__________和小明骑车的速度是__________； (2)当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． (3)求小丽出发多长时间后，两人相距． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或或 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，能从图象获取信息是解题的关键． （1）由函数图象可知，段表示小丽出发，小明未出发的情形，段表示小明追赶小丽的情形，据此根据路程等于速度乘以时间先求出小丽的速度，进而求出小明的速度即可； （2）根据（1）所求分别求出小明和小丽到达终点需要的时间，再求出小明到达终点时，小丽的出发时间，以及此时二人的距离，据此补全函数图象即可； （3）分三种情况求解：①小丽出发，而小明还未出发；②小明出发，但两人还未相遇；③小明追上小丽后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，段表示小丽出发，小明未出发的情形，段表示小明追赶小丽的情形， ∴小丽的速度为， ∴小明的速度为； 故答案为：；． （2）解：小明到达终点需要的时间为， 小丽到达终点需要的时间为， ∴小丽出发6小时时，小明到达终点，此时二人相距， 如图所示，即为所求． （3）解：当小丽出发，而小明还未出发，若两人相距，小丽已经出发了； 当小明出发，但两人还未相遇时，若两人相距，则 ，解得； 当小明追上小丽后，若两人相距，则， 解得； 综上所述，小丽出发或或时，两人相距． 题型12函数的三种表示方法 例12．已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的周长为10，得，整理得，根据矩形的长，宽都是正数，确定与坐标轴的交点都是空心点，解答即可． 本题考查了函数的表达式，图象的画法，熟练掌握表达式和画图象是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的周长为10， ∴， ∴， 根据矩形的长，宽都是正数， ∴与坐标轴的交点都是空心点， 故选：D． 变式1．下表中记录了某次试验中时间（单位：）和温度（单位：）的数据． 时间 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则时的温度是 ． 【答案】52 【分析】本题考查一次函数的应用． 根据题意和表格中的数据，可以计算出每分钟升高的温度和min时的温度. 【详解】解：由题意和表格中的数据可知，每分钟升高（℃）， min时的温度是（℃）. 故答案为：. 变式2．小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： (1)室温大概是________℃； (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ 【答案】(1)22 (2)在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致 (3)18分钟 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系， （1）根据表格可知从55min开始水温不在发生变化，此时水温约等于室温，即可得出结果； （2）根据表格数据描述特点； （3）结合表格数据分析求解． 【详解】（1）解：由表格可知，从55min开始水温不在发生变化，为22℃， ∴当天的室温大概是22℃； 故答案为：22． （2）解：由表格数据可得在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致； （3）解：结合表格数据可得从15min至25min之间，平均每分钟温度降低1℃， ∴某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等18分钟． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列函数经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，熟知函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 把分别代入函数检验即可． 【详解】解：A、当时，，函数图象不经过，故A不符合题意； B、当时，，函数图象不经过，故B不符合题意； C、当时，，函数图象经过，故C符合题意； D、当时，，函数图象不经过，故D不符合题意； 故选：C． 2．有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的定义，判断每个等式是否满足函数的定义，即对于每一个x值，只能有一个y值与之对应． 【详解】解：∵ ① 可化为，对于每一个x值，y有唯一确定值， ∴ ①y是x的函数； ∵ ②，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ②y不是x的函数； ∵ ③，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ③y不是x的函数； ∵ ④可化为（），对于每一个非零x值，y有唯一确定值， ∴ ④y是x的函数； ∴ ①和④是函数，共2个， 故选：B． 3．像这样的函数称为常值函数，函数的图象经过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数解析式，在函数的图象上的点的纵坐标为2，据此可得答案． 【详解】解：∵在函数的图象上的点的纵坐标为2， ∴四个点中，只有点在函数的图象上， 故选：D． 4．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件． 根据分式的分母不能为零，求解自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴分母， ∴． 因此，自变量的取值范围是． 故选：C． 5．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了根据表格判断变量之间的关系． 通过表格数据，分析弹簧长度与物体重量的关系，发现y随x均匀变化，每增加，y增加，且时，进而逐一判断即可． 【详解】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当时，， ∴弹簧不挂重物时的长度为， ∴B不正确，符合题意； 物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴C正确，不符合题意； ∵弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 6．如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像的识别，根据水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢即可求解； 【详解】解：从图可知，水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢； 因此水位随时间先快后慢地上升，对应选项 C 图所示的先陡后缓的折线关系； 故选：C ． 7．下列不能表示y是x的函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的识别． 能表示y是x的函数的图象，对于每一个x值，y都有唯一的值与之对应，进而判断即可． 【详解】解：A、C、D图象中，对于每一个x值，y都有唯一的值与之对应，符合函数的定义， B图象中，对于每一个x值，y有两个值与之对应，不符合函数的定义， 故选：B． 8．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 【详解】解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 9．如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路线在边上匀速运动．设点P运动的时间为，的面积为S，S关于t的函数图象如图②所示，则边的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的关键．当点P从点C运动到点D用时，所以，当点P运动到点C处时，，可求得，当点P运动到点B处时，，即可根据三角形面积公式列方程求解答案． 【详解】解：由图可知，当点P从点C运动到点D用时， ， 由图可知，当点P运动到点C处时，， ， ， ， 由图可知，当点P运动到点B处时，， ， ， ， ． 故选：B． 10．关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A．当时，，即图象与y轴的交点坐标为，故选项A说法正确，不符合题意； B．因为，所以，即图象与x轴没有交点，故选项B说法错误，符合题意； C．因为，所以图象不经过第三、四象限，故选项C说法正确，不符合题意； D．函数图象关于y轴对称，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 11．已知，那么 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，函数解析式的运用，读懂题意是解题的关键．将代入函数中，直接计算即可． 【详解】解：由函数定义，． 故答案为：． 12．一个边长为5厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，正方形的面积随之增加平方厘米，那么与的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，完全平方公式，关键是正确表示出正方形的面积． 首先表示出原边长为5厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为5厘米的正方形面积为：（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：， 则面积为：平方厘米， ∴． 故答案为：． 13．已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定x的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵两边之和大于第三边， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：，． 14．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）： ． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）： ． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）： ． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）： ． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键． 确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． 【详解】解：（1）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而增加，故选D； （2）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故选B； （3）足球守门员踢出去的球，球的高度先上升后下降，故选A； （4）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，最后趋于0°C，故选C；   故答案为：D，B，A，C． 15．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为 （填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 16．小明同学为锻炼自己的社会实践能力，暑假某一天，以每千克元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场销售，在销售了部分西瓜后，余下的每千克降价元，全部售完，销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示，那么小明赚了 元． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【详解】解：由函数图象可知，没有降价前千克西瓜卖了元，那么销售单价为：元， 降价元后单价变为，销售金额为元，说明降价后卖了元，那么降价后卖了千克， 总质量将变为千克，那么小明的成本为：元，赚了元， 故答案为：． 17．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：如图， 由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题 18．某旅游景区原来的门票价格为每张80元．临近春节，该景区推出优惠方案：每张门票打九折．某公司组织员工去该景区旅游．设员工人数为人，购买门票的总金额为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)2160 【分析】本题考查列函数关系式、求函数值，理解题意，正确得到函数关系式是解答的关键． （1）设员工人数为人，购买门票的总金额为元，根据总金额人数票价列函数关系式即可； （2）将代入（1）中函数关系式中求解即可． 【详解】（1）解：设员工人数为人，购买门票的总金额为元， 根据题意，得， 与之间的函数关系式为； （2）解：将代入，得， 的值为2160． 19．电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)10或40 (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小 (5)小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由见解析 【分析】本题主要考查了画函数图象，表格表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握画函数图象的基本步骤． （1）先描点，再连线，即可得出与x的函数图象； （2）根据表格中的数据进行解答即可； （3）根据表格中的数据得出答案即可； （4）根据函数图象进行解答即可； （5）根据表格中数据进行解答即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：在温度为时两款电池相对容量相同． （3）解：在或下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）解：随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小； （5）解：小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由如下： 根据表格中的数据可知：在温度较低时，磷酸铁锂电池的相对容量比锰酸锂电池的相对容量要大，所以考虑到续航持久性，应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车． 20．甲、乙两车在相距千米的两站点间往返载客，两车均在每天早上同一时间从站出发，甲车中途不停靠，乙车仅在与两站均相距的站点停靠上下客．已知两车行驶过程中保持速度不变，甲车速度是乙车速度的2倍，且两车在各站点停靠时长都相同．上午发车后在乙车的第一个往返期间，甲车离站的路程关于出发时间的函数图象如图1所示． (1)求甲车速度及每次在站点停靠的时长； (2)在图2中用虚线画出乙车在第一个往返期间离站的路程关于出发时间的函数图象，并求甲、乙两车出发后第一次相遇时离站的路程； (3)甲、乙两车第一次相遇后，又经过多少时间两车再次相遇？ 【答案】(1)； (2)，图见解析 (3)38分钟 【分析】此题考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用等知识，准确列方程是解题的关键． （1）根据路程、速度、时间之间的关系进行解答即可； （2）求出，设乙出发后与甲第1次相遇，根据相遇的路程之和为定值列方程并解方程即可； （3）设又经过后两车再次相遇，根据相遇的路程之和为定值列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：依题意，甲车速度为， 则在站点停靠的时长为． （2）解：， 设乙出发后与甲第1次相遇，依题意得： 第一次相遇时两车离站的路程为： （3）解：设又经过后两车再次相遇，依题意得： ． 所以，第一次相遇后，又经过38分钟后两车再次相遇． 21．如图，在四边形中，，，且满足，，，点P从点A出发，沿着折线A→B→C运动，到达点Ｃ后停止运动．设点P运动的路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并写出对应自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2)图象见解析；性质：该函数在时取得最大值为12（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，梯形的性质，等腰三角形的判定与性质，一次函数的解析式的求解，一次函数的图象与性质，解决本题的关键是分类讨论点P的位置得到表达式． （1）作辅助线构造矩形，并证明为等腰直角三角形，由此可得的长度，分类讨论点P在上与点P在上两种情况，当点P在上时，根据求解即可；当点P在上时，根据三角形面积公式求解即可； （2）先列表，再描点，从而在给定的平面直角坐标系中画出函数图象即可，再根据一次函数的图象得到性质即可； （2）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：过点C作的延长线于点D，如图， ∵，， ∴，即四边形是梯形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，即， ∴， 又， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， 当点P在上时，， ∵点P运动的路程为x，即，则， ∴， ， ， ∴； 当点P在上时，，如图， ∴，则， ∴； ∴； （2）解：由（1）知，， 列表可得： x 0 2 4 6 9 y 4 8 12 8 2 描点可得图象为： 性质：该函数在时取得最大值为12； （3）解：由图象可知，当时，或． 22．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】(1)880 (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； （2）解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时，解得， 关于的函数解析式为． （3）解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 23．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 5 10 … (1)自变量是 ，因变量是 ； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 【答案】(1)刹车时车速；刹车距离 (2)10 (3)当刹车时车速每增加时，刹车距离增加；该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据表格中的数据可知当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，由此可得，代入求出v的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速为时，刹车距离是； 故答案为：10； （3）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加， ∴， ∴当时，则， 解得， ∴当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是． 24．在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 【答案】(1) (2) (3)乙车的速度应减小，减小的值为km/h 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，从函数图象中获取信息， 对于（1），根据图象可知A，B两地相距100km，乙车先出发行驶到两车相距70km时，用时0.5h，再根据路程，时间，速度的关系求出答案； 对于（2），先求出甲车的速度，再根据相遇后距离为30km，相当于甲，乙共同行驶了100km，即可求出行驶时间； 对于（3），先根据两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为1.75，求出乙车速度，再作差可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：，故乙先到目的地， ． ∵相遇后距离为30km， ∴甲，乙共同行驶了100km， ∴甲行驶时间为：； （3）解：由题可得：要使两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为：1.75， ∴此时乙车速度应为：100÷1.75＝（km/h）， （km/h）， ∴乙车的速度应减小，减小的值为km/h． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $