精品解析：广东湛江市雷州市2025-2026学年第一学期期末八年级数学素养检测试卷

2025-2026学年度第一学期八年级数学期末素养检测训练 时间：120 分钟 满分120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 4. 若点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 蚕丝是人类最早利用的动物纤维之一，其截面可以近似地看成圆，一根桑蚕丝的截面直径约为．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分式有意义的条件是___________． 12. 如图，，，要根据“”判定，还需添加的一个条件是______． 13. 因式分解___________． 14. 如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为____． 15. 如图，在中，，，D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，以下四个结论：①；②当D为的中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，，其中正确的有________．（填序号） 三、解答题一（共3道题，每道题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． （1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：AD＝AE． 四、解答题二（共3道题，每道1题9分，共27分） 19. 已知：如图，，相交于点O，，． 求证：（1）； （2）． 20. 生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某小区购进型和型两种分类垃圾桶，购买型垃圾桶花费了元，购买型垃圾桶花费了元，且购买型垃圾桶数量是购买型垃圾桶数量的倍，已知购买一个型垃圾桶比购买一个型垃圾桶多花元，求购买一个型垃圾桶、一个型垃圾桶各需多少元？ 21. 如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接． （1）用含，的式子表示图中阴影部分的面积； （2）若，，求阴影部分的面积． 五、解答题三（共2道题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为，宽为的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形． （1）观察图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是______． （2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 23. 如图1，，，以点为顶点，为腰在第三象限作等腰直角 ． （1）求点的坐标： （2） 如图2，，为轴负半轴上的一个动点，若以为直角顶点，为腰等腰直角 ，过作轴于点，求的值； （3）如图3，点坐标为，点在 轴负半轴，点在轴的正半轴，且，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期八年级数学期末素养检测训练 时间：120 分钟 满分120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，关键是熟练应用定义进行判断；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式，解题关键掌握最简分式的定义． 利用最简分式定义进行分析即可． 【详解】A.该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意； B. 该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意； C. 该分式是最简分式，故此选项符合题意； D. 该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意； 故选C． 3. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据已知两边长和，求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边x需满足：， 即． 只有C在3和7之间，满足条件． 故选：C． 4. 若点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， 故选：． 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、同底数幂乘法和除法、幂的乘方等知识，根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A. ，故错误； B. ，故错误 C. 与不是同类项，无法直接合并，故错误； D. ，结果正确； 故选：D． 6. 蚕丝是人类最早利用的动物纤维之一，其截面可以近似地看成圆，一根桑蚕丝的截面直径约为．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．本题考查了科学记数法的知识点． 【详解】解：， 故选：B． 7. 如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反射角等于入射角，由题意得，，然后通过三角形内角和定理即可求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵，, ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形，是解题的关键． 根据角平分线平行可以证明等腰三角形，所以可得，，从而由求出，即可求解的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，过点作，垂足为D，根据垂直定义可得，再利用旋转的性质可得米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为D， ∴， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴栏杆A端升高了， 故选：A． 10. 如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，轴对称的性质． 由，根据三角形的内角和定理可得到的值，再根据对顶角相等可以求出的值，然后由点P与点、对称的特点，求出，进而可以求出的值，利用三角形的外角的性质和三角形内角和即可求出． 【详解】∵ ∴ ∵， ∴ 又∵点关于对称的对称点分别为点 ∴，，， ∴ ∴ 即 ∴ ∴ 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分式有意义的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，关键是熟练掌握知识点解题；根据分式有意义的条件，分母不为零进行求解． 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ， 解得， 故答案为：． 12. 如图，，，要根据“”判定，还需添加的一个条件是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“”），熟练掌握“斜边直角边”的判定方法是解题的关键． 本题利用“”再寻找直角边相等即可判断直角三角形全等，然后即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ①， 在和中， ， ∴， ②， 在和中， ， ∴， 综上所述：还需添加的一个条件是或， 故答案为：或． 13. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，关键是熟练应用知识点解题；先提取公因式，再利用平方差公式分解． 【详解】解：． 14. 如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点D到的距离为2， 故答案为：2． 15. 如图，在中，，，D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，以下四个结论：①；②当D为的中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，，其中正确的有________．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，分或，得到或，根据全等三角形的性质得到． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ②∵D为中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴或， 当时，， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴的度数为或，故③错误， ④∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上分析可知，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 三、解答题一（共3道题，每道题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算法则、合并同类项，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项的法则计算即可． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，关键是熟练应用运算法则进行计算；先将括号内的通分后相减，再算除法，化简后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． （1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：AD＝AE． 【答案】（1） 如图所示，CE即为所求． （2） 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ∴，， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴AD＝AE． 【解析】 【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可． （2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 四、解答题二（共3道题，每道1题9分，共27分） 19. 已知：如图，，相交于点O，，． 求证：（1）； （2）． 【答案】 （1）证明：在与中， ∵， ∴（AAS）； （2）证明：∵， ∴OB=OC， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据AAS，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得OB=OC，进而即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质，掌握AAS判定三角形全等，是解题的关键． 20. 生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某小区购进型和型两种分类垃圾桶，购买型垃圾桶花费了元，购买型垃圾桶花费了元，且购买型垃圾桶数量是购买型垃圾桶数量的倍，已知购买一个型垃圾桶比购买一个型垃圾桶多花元，求购买一个型垃圾桶、一个型垃圾桶各需多少元？ 【答案】购买一个型垃圾桶需元，一个型垃圾桶需元． 【解析】 【分析】设购买一个型垃圾桶需元，则一个型垃圾桶需元，再由题意即可列出关于x的分式方程，解出x即可． 【详解】设购买一个型垃圾桶需元，则一个型垃圾桶需元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：购买一个型垃圾桶需元，一个型垃圾桶需元． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用．根据题意列出分式方程是解答本题的关键． 21. 如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接． （1）用含，的式子表示图中阴影部分的面积； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）图中阴影部分的面积； （2）阴影部分的面积． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，单项式乘以多项式运算，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）由题意可得，然后代入即可求解； （）先变形为，然后把，代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知： ∴图中阴影部分的面积； 【小问2详解】 解：∵ ， ∵，， ∴ ， ∴阴影部分的面积． 五、解答题三（共2道题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为，宽为的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形． （1）观察图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是______． （2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）用正方形总面积等于各部分面积之和可得出； （2）①根据可得，再根据（1）中的结论计算即可； ②将原式整理为，求得，即，即可求解． 【小问1详解】 解：； ∵图②是边长为的正方形， ∴， ∵图②可看成1个边长为的正方形，1个边长为的正方形以及2个长为，宽为的长方形的组合图形， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 即． 又∵， ∴； ②设, 则，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的转化和运用，熟练掌握转化公式是解题的关键． 23. 如图1，，，以点为顶点，为腰在第三象限作等腰直角 ． （1）求点的坐标： （2） 如图2，，为轴负半轴上的一个动点，若以为直角顶点，为腰等腰直角 ，过作轴于点，求的值； （3）如图3，点坐标为，点在 轴负半轴，点在轴的正半轴，且，求 的值． 【答案】（1）点的坐标为；（2）2；（3） 【解析】 【分析】（1）作，易证，即可求证，可得，即可解题； （2）作，易证，即可证明，可得，，即可解题； （3）作，，易证，即可证明，可得，即，即可解题． 【详解】解：（1）如图1，作， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点坐标为； （2）如图2，作， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）如图3，作，， 则， ，， ， 在和中， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $