周周练11 7.4-7.5 二项分布、超几何分布、正态分布（数学人教A版选择性必修第三册）

2025-2026学年高二下学期数学周周练11 7.4-7.5 二项分布、超几何分布、正态分布 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D D D A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/3.2 ;/0.64 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） (1)0.2 (2)分布列见解析，数学期望为0.6 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）根据独立重复实验相关概率计算知识可得答案. 【详解】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件， 则事件包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环， 则. （2）由题可知的所有可能取值为， 由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2， 则， 所以， ， 故的分布列为 0 1 2 3 0.512 0.384 0.096 0.008 所以. 16．（本小题满分15分）(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）由条件可知，，根据二项分布的概率公式，求分布列； （2）依题意的可能取值为、、、、、，求出所对应的概率，即可求解分布列； （3）利用对立事件求概率. 【详解】（1）由，则，， 即，， ，， ，， 故的分布列为 0 1 2 3 4 5 （2）依题意的可能取值为、、、、、， 则，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 5 （3）所求概率为. 17．（本小题满分15分）(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式即可求得； （2）由题意知的可能取值有，分别求出相应的概率，写出随机变量的分布列即可． 【详解】（1）取出3个球颜色都不相同的概率． （2）由题意知． ． ． 所以的分布列为 0 1 2 3 18．（本小题满分16分）（1）；（2）①分布列答案见解析；②. 【解析】（1）这是一个古典概型，先求得从个城市取出2个的方法数，再得到全是小城市的情况的方法数，然后代入公式由概率为求解.， （2）①由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后分别求得相应的概率，然后列出分布列；②分4个城市全是超大城市和4个城市全是小城市，再由古典概型的概率求解 【详解】（1）由题意知，共个城市，取出2个的方法总数是， 其中全是小城市的情况有种， 故全是小城市的概率是， 整理得， 即， .， . （2）①由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，4. ， . 故的分布列为 0 1 2 3 4 ②若4个城市全是超大城市，共有种情况； 若4个城市全是小城市，共有种情况， 故全为超大城市的概率为. 【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 19．（本小题满分17分）(1) (2)①；②能 【分析】（1）根据题中表格数据，求出平均数，即可根据方差公式直接求解； （2）①利用正态分布的性质，直接求解特定区间的概率即可；②结合题目，根据正态分布性质，直接判断即可. 【详解】（1）由题表知，抽取的这名学生竞赛成绩的平均分， 所以名学生本次竞赛成绩的方差： ． （2）①由于近似为样本成绩平均分近似为样本成绩方差， 所以，则， 由于竞赛成绩近似地服从正态分布， 因此学生可获得“参赛纪念证书”的概率 ． 又， 所以估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为， ②当时，即时， 参赛学生可获得“参赛先锋证书”， 所以竞赛成绩为分的学生能获得“参赛先锋证书”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练11 7.4-7.5 二项分布、超几何分布、正态分布 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知随机变量的分布列如下表，若，，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据期望和方差运算公式得到方程组，求出的值. 【详解】由题意得，， ∴，① 由方差的性质知，，又， ∴，∴， 即，所以．将代入①式，得． 故选：B． 2．某批数量很大的产品的次品率为，从中任意取出件，则其中恰好含有件次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可通过次独立重复试验中恰好发生次的概率的求法得出结果. 【详解】因为次品率为，从中任意取出件， 所以恰好含有件次品的概率为， 故选：C. 3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】从袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球共有种取法， 恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有中， 由古典概型的概率公式得概率为. 故选：D 4．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为(    ) A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】服从超几何分布，求出的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可． 【详解】方法一：可能取0，1，2，其对应的概率为， ∴． 方法二：由题可知，服从超几何分布，故． 故选：D． 5．若随机变量满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】根据题意，利用二项分布的方差公式，求得，由，得到，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得， 因为，可得，所以， 所以． 故选：D. 6．已知随机变量服从正态分布且,则实数 A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】根据正态分布知识可知，对称轴（期望）左右两边的概率相等，各为，所以y由知，对称轴为，可知. 【详解】由题意可得正态曲线的对称轴为X=a, 又因为,所以a=1. 【点睛】本题主要考查了正态分布，属于中档题. 7．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)（σ>0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（　　） A．150 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】由已知求出进一步求出则可求出答案. 【详解】 此次数学考试成绩在分到分之间得人数约为. 故选:C. 8．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.2 B．0.24 C．0.28 D．0.32 【答案】C 【分析】依据正态曲线的对称性即可求得 【详解】由随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴为直线 由，可得 则， 故 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．随机变量服从超几何分布 D．随机变量服从二项分布 【答案】BC 【分析】根据超几何分布的定义以及概率公式，可得答案. 【详解】由题意知随机变量服从超几何分布； 的取值分别为0，1，2，3，4， 则，， ，，， 故选：BC． 10．下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（    ） A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 【答案】ABD 【分析】依据状态密度曲线的几何特征，逐条分析，判断正误即可. 【详解】由正态密度曲线的几何特点可知： （1）曲线在轴上方，且与轴不相交；故A正确. （2）曲线关于直线对称，当时，曲线处于最高点，当向左右远离时，曲线不断降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线；故D正确. （3）当时，曲线上升，当时，曲线下降，并且当曲线向左向右无限延伸时，以轴为渐近线，向轴无限靠近；故B正确. （4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；故C错误. 故选：ABD. 11．已知随机变量，则（   ） A． B．当取最大值时， C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二项分布的概率公式、期望、方差公式和性质逐项判断. 【详解】， 对于A：，A正确； 对于B：，由二项式系数的性质， 当时，是中的最大值，此时取得最大值，B项正确； 因为，所以， ，则，C不正确，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据二项分布的概率公式计算即可 【详解】因为随机变量服从二项分布， 所以． 故答案为：　 13．设如果，那么 ， ． 【答案】 /3.2 /0.64 【分析】由二项分布方差以及期望的公式求解即可. 【详解】． 故答案为：； 14．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概率是 ． 【答案】 【分析】利用古典概型与对立事件的概率公式，结合超几何分布即可得解. 【详解】依题意，这20件产品中有件合格品， 所以该商家接收这批产品的概率为， 故商家拒收这批产品的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立. (1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率； (2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)0.2 (2)分布列见解析，数学期望为0.6 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）根据独立重复实验相关概率计算知识可得答案. 【详解】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件， 则事件包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环， 则. （2）由题可知的所有可能取值为， 由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2， 则， 所以， ， 故的分布列为 0 1 2 3 0.512 0.384 0.096 0.008 所以. 16．(本小题满分15分)一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）由条件可知，，根据二项分布的概率公式，求分布列； （2）依题意的可能取值为、、、、、，求出所对应的概率，即可求解分布列； （3）利用对立事件求概率. 【详解】（1）由，则，， 即，， ，， ，， 故的分布列为 0 1 2 3 4 5 （2）依题意的可能取值为、、、、、， 则，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 5 （3）所求概率为. 17．(本小题满分15分)一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中有放回地抽取3次球，每次抽取1个球， (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式即可求得； （2）由题意知的可能取值有，分别求出相应的概率，写出随机变量的分布列即可． 【详解】（1）取出3个球颜色都不相同的概率． （2）由题意知． ． ． 所以的分布列为 0 1 2 3 18．(本小题满分16分)为发展业务，某调研组对两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内7个人口超过1500万的超大城市和个人口低于200万的小城市中随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，则全是小城市的概率为. （1）求的值； （2）若一次抽取4个城市，则 ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率. 【答案】（1）；（2）①分布列答案见解析；②. 【解析】（1）这是一个古典概型，先求得从个城市取出2个的方法数，再得到全是小城市的情况的方法数，然后代入公式由概率为求解.， （2）①由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后分别求得相应的概率，然后列出分布列；②分4个城市全是超大城市和4个城市全是小城市，再由古典概型的概率求解 【详解】（1）由题意知，共个城市，取出2个的方法总数是， 其中全是小城市的情况有种， 故全是小城市的概率是， 整理得， 即， .， . （2）①由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，4. ， . 故的分布列为 0 1 2 3 4 ②若4个城市全是超大城市，共有种情况； 若4个城市全是小城市，共有种情况， 故全为超大城市的概率为. 【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 19．(本小题满分17分)为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了名，统计出他们竞赛成绩分布如下： 成绩（分） 人数 (1)求抽取的名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）； (2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分近似为样本方差，若，则参赛学生可获得“参赛纪念证书”；若，则参赛学生可获得“参赛先锋证书”. ①若我校有名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）； ②试判断竞赛成绩为分的学生能否获得“参赛先锋证书”. 附：若，则，． 【答案】(1) (2)①；②能 【分析】（1）根据题中表格数据，求出平均数，即可根据方差公式直接求解； （2）①利用正态分布的性质，直接求解特定区间的概率即可；②结合题目，根据正态分布性质，直接判断即可. 【详解】（1）由题表知，抽取的这名学生竞赛成绩的平均分， 所以名学生本次竞赛成绩的方差： ． （2）①由于近似为样本成绩平均分近似为样本成绩方差， 所以，则， 由于竞赛成绩近似地服从正态分布， 因此学生可获得“参赛纪念证书”的概率 ． 又， 所以估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为， ②当时，即时， 参赛学生可获得“参赛先锋证书”， 所以竞赛成绩为分的学生能获得“参赛先锋证书”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练11 7.4-7.5 二项分布、超几何分布、正态分布 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知随机变量的分布列如下表，若，，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 2．某批数量很大的产品的次品率为，从中任意取出件，则其中恰好含有件次品的概率是（    ） A． B． C． D． 3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为(    ) A． B． C．1 D． 5．若随机变量满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．10 6．已知随机变量服从正态分布且,则实数 A．1 B． C．2 D．4 7．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)（σ>0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（　　） A．150 B．200 C．300 D．400 8．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.2 B．0.24 C．0.28 D．0.32 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．随机变量服从超几何分布 D．随机变量服从二项分布 10．下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（    ） A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 11．已知随机变量，则（   ） A． B．当取最大值时， C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ． 13．设如果，那么 ， ． 14．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概率是 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立. (1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率； (2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望. 16．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 17．一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中有放回地抽取3次球，每次抽取1个球， (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列． 18．为发展业务，某调研组对两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内7个人口超过1500万的超大城市和个人口低于200万的小城市中随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，则全是小城市的概率为. （1）求的值； （2）若一次抽取4个城市，则 ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率. 19．为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了名，统计出他们竞赛成绩分布如下： 成绩（分） 人数 (1)求抽取的名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）； (2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分近似为样本方差，若，则参赛学生可获得“参赛纪念证书”；若，则参赛学生可获得“参赛先锋证书”. ①若我校有名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）； ②试判断竞赛成绩为分的学生能否获得“参赛先锋证书”. 附：若，则，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $