周周练09 7.2 离散型随机变量的分布列（数学人教A版选择性必修第三册）

2025-2026学年高二下学期数学周周练09 7.2 离散型随机变量的分布列 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A A B A A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC CD AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．/0.5 13． / 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） (1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获得冠军的概率； （2）的可能取值为，利用随机变量的分布列，即可得X的分布列. 【详解】（1）甲学校获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场， 甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8， 甲学校3场全胜，概率为：， 甲学校3场获胜2场败1场，概率为：， 所以甲学校获得冠军的概率为：； （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 16．（本小题满分15分）(1) (2)答案见解析 【分析】（1）结合相互独立事件概率和互斥事件概率计算公式，计算出所求的概率. （2）求出随机变量取值，并计算对应的概率，列出分布列即可. 【详解】（1）由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 租车费相同，即两人都在同一时间段还车， 标记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A， 则， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （2）由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且 ； ； ； ； . 所以甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 17．（本小题满分15分）(1)； (2)分布列见解析. 【分析】（1）利用古典概型、互斥事件的概率求法求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率. （2）由题意可能值为，分别求出对应值的概率，即可得分布列. 【详解】（1）由题意，每一个参与抽奖的顾客中奖的概率. （2）由题设，可能值为，则，， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 18．（本小题满分16分）(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）由题意，分别求出甲、乙、丙盒中取一球为白球事件的概率，再用间接法即可求得“三球中至少有一个为白球”的概率； （2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3.分别求出各个取值的概率，从而可列出离散型随机变量的分布列. 【详解】（1）记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为，三球中至少有一球为白球记为事件， 则；；. ； （2）由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3. ， ， ， . 所以，随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 19．（本小题满分17分）(1)“恰有人选择庆余年馆”的概率为，“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率为 (2)答案见解析 【分析】（1）设“恰有人选择庆余年馆”为事件，设“甲选择庆余年且乙不选择陈情馆”为事件，求出所有可能选择的方式的种数，利用排列组合思想求出事件、所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得这两个事件的概率； （2）利用古典概型求解即可. 【详解】（1）所有可能选择的方式有种，设“恰有2人选择庆余年馆”为事件， 则其余人每人都有种选择，所以， 设“甲选择庆余年且乙不选择陈情馆”为事件， 则乙有种选择，其余人每人都有种选择，则， 则“恰有人选择庆余年馆”的概率为， “甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率为； （2），， ，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练09 7.2 离散型随机变量的分布列 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误； 对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误； 对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确； 对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误. 故选：C. 2．设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可. 【详解】因为随机变量X的分布列， 所以，解得：， . 故选：B. 3．若随机变量的分布列如表，则的值为（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果． 【详解】 根据题意可得， 所以. 故选：A. 4．如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，的所有可能取值为，，，方法一：，方法二：. 【详解】方法一：由题意可知，的所有可能取值为，，， 则． 方法二：由题意可知，的所有可能取值为，，， 则． 故选：A 5．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可． 【详解】解：由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意， ． 故选：B． 6．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出，从而得到答案. 【详解】，， 故，A正确， 其他选项，均不合要求. 故选：A 7．随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质求出，即可得到计算可得. 【详解】因为， 所以，，，， 则，解得， 所以，， 所以. 故选：A 8．设x，，已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 P x y x 则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由随机变量分布列的性质得到，再利用“1”的代换，构造基本不等式求解． 【详解】由题意，得，即， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列随机变量中属于离散型随机变量的是（    ） A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg之间的体重记为X C．测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm之间的人数记为X D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X 【答案】AC 【分析】根据离散型随机变量的定义知，离散型随机变量是可以列举的；连续型随机变量 不能一一列举。 【详解】电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确； 体重无法一一列举，选项B不正确； 人数可以列举，选项C正确； 数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量；选项D不正确； 故选AC. 10．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】A选项，分析出所包含的情况，从而得到，BC选项，分析出所包含的情况，求出，D选项，利用的所有可能有，利用对立事件的概率公式求出． 【详解】A选项，，分为第一次即取到黑球， 或第一次摸到红球，第二次摸到黑球， 或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球， 故，A错误； BC选项，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球， 或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球， 或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球， 故，B错误，C正确； D选项，的所有可能有， 故，D正确． 故选：CD. 11．（多选）设离散型随机变量的分布列为 -1 0 1 2 3 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，逐项分析求解. 【详解】由分布列可知，∵事件“”不存在，，∴A正确； ，∴B正确； ，，∴C，D均不正确. 故选AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可知或， 由于，所以， 故答案为： 13．离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20 则等于 . 【答案】/ 【分析】由随机变量的所有取值的概率和为1利用对立事件来求的概率. 【详解】由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1， 则. 故答案为: . 14．离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则 . 【答案】 【分析】利用概率和为可构造方程求得的值，由可求得结果. 【详解】，，解得：， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获得冠军的概率； （2）的可能取值为，利用随机变量的分布列，即可得X的分布列. 【详解】（1）甲学校获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场， 甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8， 甲学校3场全胜，概率为：， 甲学校3场获胜2场败1场，概率为：， 所以甲学校获得冠军的概率为：； （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 16．(本小题满分15分)某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）结合相互独立事件概率和互斥事件概率计算公式，计算出所求的概率. （2）求出随机变量取值，并计算对应的概率，列出分布列即可. 【详解】（1）由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 租车费相同，即两人都在同一时间段还车， 标记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A， 则， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （2）由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且 ； ； ； ； . 所以甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 17．(本小题满分15分)2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金.活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩玩偶，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩玩偶.根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占. (1)求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率； (2)设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列. 【答案】(1)； (2)分布列见解析. 【分析】（1）利用古典概型、互斥事件的概率求法求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率. （2）由题意可能值为，分别求出对应值的概率，即可得分布列. 【详解】（1）由题意，每一个参与抽奖的顾客中奖的概率. （2）由题设，可能值为，则，， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 18．(本小题满分16分)甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球. (1)求“三球中至少有一个为白球”的概率； (2)设表示所取白球的个数，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）由题意，分别求出甲、乙、丙盒中取一球为白球事件的概率，再用间接法即可求得“三球中至少有一个为白球”的概率； （2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3.分别求出各个取值的概率，从而可列出离散型随机变量的分布列. 【详解】（1）记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为，三球中至少有一球为白球记为事件， 则；；. ； （2）由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3. ， ， ， . 所以，随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 19．(本小题满分17分)作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了4大影视博物馆：陈情令馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠妃馆，馆内还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品供游客选择；国庆期间甲、乙等5名同学准备从以上4个影视馆中选取一个景点游览，设每个人只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的. (1)分别求“恰有2人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率； (2)事件“5人中选择博物馆物个数为”，求的值. 【答案】(1)“恰有人选择庆余年馆”的概率为，“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率为 (2)答案见解析 【分析】（1）设“恰有人选择庆余年馆”为事件，设“甲选择庆余年且乙不选择陈情馆”为事件，求出所有可能选择的方式的种数，利用排列组合思想求出事件、所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得这两个事件的概率； （2）利用古典概型求解即可. 【详解】（1）所有可能选择的方式有种，设“恰有2人选择庆余年馆”为事件， 则其余人每人都有种选择，所以， 设“甲选择庆余年且乙不选择陈情馆”为事件， 则乙有种选择，其余人每人都有种选择，则， 则“恰有人选择庆余年馆”的概率为， “甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率为； （2），， ，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练09 7.2 离散型随机变量的分布列 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性 2．设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．若随机变量的分布列如表，则的值为（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 4．如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （    ） A． B． C． D． 5．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ）      A． B． C． D． 6．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（    ） A． B． C． D． 7．随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 8．设x，，已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 P x y x 则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列随机变量中属于离散型随机变量的是（    ） A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg之间的体重记为X C．测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm之间的人数记为X D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X 10．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）设离散型随机变量的分布列为 -1 0 1 2 3 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 13．离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20 则等于 . 14．离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列. 16．某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列. 17．2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金.活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩玩偶，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩玩偶.根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占. (1)求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率； (2)设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列. 18．甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球. (1)求“三球中至少有一个为白球”的概率； (2)设表示所取白球的个数，求的分布列. 19．作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了4大影视博物馆：陈情令馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠妃馆，馆内还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品供游客选择；国庆期间甲、乙等5名同学准备从以上4个影视馆中选取一个景点游览，设每个人只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的. (1)分别求“恰有2人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率； (2)事件“5人中选择博物馆物个数为”，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $