周周练14 8.3 列联表与独立性检验（数学人教A版选择性必修第三册）

2025-2026学年高二下学期数学周周练14 8.3 列联表与独立性检验 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在吸烟与患肺病是否有病的研究中，下列属于两个分类变量的是（    ） A．吸烟，不吸烟 B．患病，不患病 C．是否吸烟，是否患病 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据独立性检验的分类变量的概念判断即可. 【详解】“是否吸烟”是分类变量，它的两个不同取值：吸烟和不吸烟． “是否患病”是分类变量，它的两个不同取值：患病和不患病． 可知A，B都是一个分类变量所取的两个不同值． 故选：C． 2．在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用的数据分析方法应是 A．频率分布直方图 B．回归分析 C．独立性检验 D．用样本估计总体 【答案】C 【详解】根据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，求出观测值K2，对照数表可得出概率结论，这种分析数据的方法是独立性检验． 本题选择C选项. 3．下列关于独立性检验的说法正确的是（　　） A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B．独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在个吸烟的人中，有人患肺病 D．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】D 【分析】根据独立性检验的意义分别判断各选项. 【详解】对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故错误； 对于B，独立性检验并不能确定两个变量相关，故错误； 对于C，是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非抽烟人中患肺病的发病率，故错误； 对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确； 故选:D. 4．下列关于回归分析与独立性检验的说法：①回归分析和独立性检验没有什么区别；②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；③回归分析是研究两个变量之间的相关关系，而独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．其中正确的是（    ） A．①② B．③ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据回归分析和独立性检验的定义逐一判断即可． 【详解】解：回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析，而相关关系是一种不确定关系；独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种分析，并可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系，但不能100%肯定这种关系，所以①②④错误，③正确． 故选：B 5．独立性检验中，假设变量与变量没有关系，则在假设成立的情况下，估算概率表示的意义是（    ） A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“变量与变量有关” B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“变量与变量无关” C．有99.9%以上的把握认为“变量与变量无关” D．有99.9%以上的把握认为“变量与变量有关” 【答案】D 【分析】由独立性检验的知识即可得解. 【详解】∵概率， ∴认为两个变量有关系犯错误的概率不超过0.001，可信度是1－0.001 =99.9%， ∴ABC错误，D正确. 故选：D. 6．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式 ，并制作出如下等高条形图： 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（    ） A．样本中的男生数量多于女生数量 B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量 C．样本中多数男生喜欢手机支付 D．样本中多数女生喜欢现金支付 【答案】D 【分析】由条形图数据对选项逐一判断 【详解】对于A，由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，故A正确， 对于B，由右图知，样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，故B正确， 对于C，由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，故C正确， 对于D，由右图知，样本中多数女生喜欢手机支付，故D错误． 故选：D 7．如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为人（所有学生都参加了调查），现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的高二学生人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等高条形图，利用分层抽样原理求出应抽取的人数即可. 【详解】根据等高条形图可知，参加社团的高一和高二的人数比为，由分层抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为人， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等高条形图、分层抽样，属于基础题. 8．福建省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”为全国统考科目语文、数学和外语；“1”为考生在物理和历史中选择一门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物四门中再选择两门．某中学调查了高一年级学生的选科倾向，随机抽取200人，其中选考物理的120人，选考历史的80人，统计各选科人数如下表，则下列说法正确的是（    ） 选择科目 选考类别 思想政治 地理 化学 生物 物理类 35 50 90 65 历史类 50 45 30 35 附： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．物理类的学生中选择地理的比例比历史类的学生中选择地理的比例高 B．物理类的学生中选择生物的比例比历史类的学生中选择生物的比例低 C．有以上的把握认为选择生物与选考类别有关 D．没有以上的把握认为选择生物与选考类别有关 【答案】D 【分析】计算物理类中选择地理和生物的比例、历史类中选择地理和生物的比例，并进行比较，即可判断AB的正误，根据物理类和历史类中选不选生物的人数分布计算，并与附表中数据比较，即可判断CD的正误. 【详解】依据表中数据可知，物理类中选择地理的比例为，历史类中选择地理的比例为，所以，即物理类的学生中选择地理的比例比历史类的学生中选择地理的比例低，A错误； 物理类中选择生物的比例为，历史类中选择生物的比例为， 所以，物理类的学生中选择生物的比例比历史类的学生中选择生物的比例高，故B错误； 由表格知，物理类中选考生物和不选生物的人数分别是65、55，合计120人； 历史类中选考生物和不选生物的人数分别是35、45，合计80人； 200人中选生物和不选生物的人数均是100. 故， 由知，没有以上的把握认为选择生物与选考类别有关，故C错误； 由知，没有以上的把握认为选择生物与选考类别有关，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C．根据小概率值α＝0.0001的独立性检验，认为“药物有效” D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大 【答案】AD 【分析】根据与参考值比较，结合独立性检验的定义，即可判断； 【详解】因为，即， 所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验， 故在犯错误的概率不超过的前提下，认为药物有效，故BC错误． 而根据统计量的意义，可得其值越大，则判断与有关系的把握程度越大，故D正确. 故选：AD． 10．2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高堆积条形图． 根据图中的信息，下列结论中一定正确的是（    ）． A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通 B．样本中多数女性是35岁及以上 C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多 D．样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高 【答案】ABD 【分析】通过等高堆积条形图构建列联表，根据条形图所呈现的信息得出列联表中各部分数量的大小关系，再依据这些关系对各个选项进行分析. 【详解】设等高堆积条形图对应的列联表如下： 项目 35岁及以上 35岁以下 合计 男性 a c 女性 b d 合计 根据第1个等高堆积条形图可知，35岁及以上的男性比女性多，即； 35岁以下的男性也比女性多，即， 根据第2个等高堆积条形图可知，男性中35岁及以上的比35岁以下的多，即； 女性中35岁及以上的也比35岁以下的多，即， 对于选项A，男性人数为，女性人数为，，，故A正确， 对于选项B，35岁及以上女性人数为，35岁以下女性人数为d，，故B正确， 对于选项C，35岁以下男性人数为c，35岁及以上女性人数为b，由，无法直接判断b与c的大小关系，故C不一定正确， 对于选项D，35岁及以上的人数为，35岁以下的人数为，，，故D正确， 故选：ABD． 11．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”、“日落云里走，雨在半夜后” ……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，随机观察了他所在地区的100天日落情况和后半夜天气，得到如下列联表， 日落云里走 后半夜天气 总计 下雨 未下雨 出现 25 5 30 未出现 25 45 70 总计 50 50 100 并计算得到，下列小波对该地区天气的判断正确的是（    ） A．后半夜下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为 C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，可以认为““日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关 D．根据的独立性检验，若出现“日落云里走”，则后半夜有99.9%的可能会下雨 【答案】AC 【分析】视频率为概率，利用数表计算后半夜下雨及未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的频率即可判断A，B，由给定的观测值与临界值比对即可判断C，D作答. 【详解】由题意，把频率看作概率，可得后半夜下雨的概率约为，A判断正确； 未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为，B判断情误； 由，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“日落云里走”是否出现与“当晚后半夜是否下雨”有关，C判断正确； “日落云里走’是否出现”与“当晚后半夜是否下雨”有关，有关只是说可能性，不代表一定要下雨，D判断错误． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示： 手术 心脏病 合计 又发作过 未发作过 心脏搭桥 39 157 196 血管清障 29 167 196 合计 68 324 392 试根据上述数据计算 ，能否根据小概率值的独立性检验作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论 （填“能”或“不能”）． 【答案】 1.779 不能 【分析】第一空，由独立性检验卡方计算公式可得答案；第二空，由独立性检验知识可得答案. 【详解】零假设为：这两种手术对病人又发作心脏病的影响无差别． 根据列联表中的数据，可以求得 ， 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立， 即认为这两种手术对病人又发作心脏病的影响无差别． 故答案为：1.779；不能 13．已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两小组，经过统计得到如下列联表： 去云南旅游 去河南旅游 合计 东小组 60 40 100 西小组 70 30 100 合计 130 70 200 由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为 （用百分数表示）， （填入“有”或“没有”）的把握认为游客的选择与所在的小组有关. 参考公式：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】 没有 【分析】由表中数据，利用古典概型，可得空1的答案；由表中数据，根据独立性检验的解题思想，可得空2的答案. 【详解】由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为. 因为， 所以没有的把握认为游客的选择与所在的小组有关. 故答案为：，没有. 14．为了解正在研发的新产品在18~22岁和23~27岁两个年龄段青年群体中的受众面，某科技公司发布问卷展开调查，从这两个年龄段的青年群体中随机抽取160人作为调查样本，统计数据后得到如下列联表，其中． 年龄段 兴趣 感兴趣 不感兴趣 18~22岁 23~27岁 若通过计算，得根据小概率值的独立性检验，认为是否对新产品感兴趣与青年的年龄段有关，则在被调查的位于23~27岁年龄段的80名青年中对新产品感兴趣的人数的最小值为 ． 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】66 【分析】代入公式，得到不等式，求出的最小值为16，得到答案. 【详解】由题意可得， 即． 函数在时单调递增，且， ，， 的最小值为16， 在被调查的位于23∼27岁年龄段的80名青年中对新产品感兴趣的人数的最小值为． 故答案为：66 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，通过汇总数据得到如等高堆积条形图. （1）根据所给等高堆积条形图，完成下面的列联表； 单位：人 性别 评价 合计 满意 不满意 男 女 合计 （2）依据的独立性检验，结合（1）中列联表中的数据，能否据此推断顾客对该商场服务的评价与性别有关？ 【答案】（1）表格见解析；（2）顾客对商场服务的评价与性别无关. 【分析】（1）根据等高堆积条形图，计算出男顾客中对服务满意的人数和不满意的人数，女顾客中对服务满意的人数和不满意的人数，从而列出列联表； （2）根据公式计算的值，通过比较即可得出答案. 【详解】（1）由题中等高堆积条形图，可得男顾客中对服务满意的人数为，不满意的人数为，女顾客中对服务满意的人数为，不满意的人数为， 所以列联表如下： 单位：人 性别 评价 合计 满意 不满意 男 40 10 50 女 30 20 50 合计 70 30 100 （2）零假设为：顾客对该商场的评价与性别无关. 根据（1）中列联表中数据，计算得到 ， 根据的独立性检验，没有充足证据推断不成立，因此可以认为成立， 即认为顾客对商场服务的评价与性别无关. 16．(本小题满分15分)溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过85分的人数 得分超过85分的人数 男生 20 100 女生 30 50 (1)现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？ 附：参考公式，其中． 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)我们认为性别与了解安全知识的程度有关 【分析】（1）根据分层抽样性质求出得分超过85分的学生中男生和女生人数，利用对立事件概率公式及古典概型概率公式求3名学生中有至少一名女生的概率； （2）根据列联表求，将所得值与临界值比较大小，确定是否接受假设. 【详解】（1）200名学生中得分超过85分的人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人， 因此按性别进行分层抽样得： 样本中男生人数为：人， 样本中女生人数为：人， 设这3名学生中有至少一名女生为事件，则 ； （2）根据列联表可：， 根据小概率值的独立性检验， 我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001． 17．(本小题满分15分)第19届杭州亚运会的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”是一组名为“江南忆”的机器人，它出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．为了研究“琮琮”“莲莲”在不同性别人群中的受欢迎程度是否存在差异，某机构从在“杭州第19届亚运会”公众号的微信用户中随机调查男性和女性各100人（每人只能选择一个自己喜欢的吉祥物），得到如下2×2列联表： 男性 女性 总计 喜欢“琮琮” 95 喜欢“莲莲” 60 105 总计 200 (1)补全表中数据，根据的独立性检验，是否可以认为“琮琮”“莲莲”的受欢迎程度与性别有关联？ (2)小胡是吉祥物收藏者，他收藏有2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿祥”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2023年杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”，若他从这14个不同的吉祥物中随机取出2个，其中是北京举办的运动会的吉祥物的个数为，求的分布列和数字期望． 附，其中：． 0.05 0.1 0.01 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关联； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据题意补全列联表，然后计算，查表可知； （2）根据超几何分布概率公式求概率可得分布列，再由期望公式计算即可. 【详解】（1）补全2×2列联表如下： 男性 女性 总计 喜欢“琮琮” 55 40 95 喜欢“莲莲” 45 60 105 总计 100 100 200 因为， 所以根据的独立性检验，可以认为“琮琮”“莲莲”的受欢迎程度与性别有关联. （2）14个吉祥物中，北京举办的运动会的吉祥物共6个， 的可能取值为， 因为，，， 得的分布列如下： 0 1 2 P 所以. 18．(本小题满分16分)某心理师研究所对某城区的80位中小学生睡眠情况进行统计，统计情况如表所示． 小学生 初中生 高中生 合计 睡眠不足 22 10 8 40 睡眠充足 28 10 2 40 合计 50 20 10 80 (1)按学段分层抽样方式从这80位学生中抽取8位学生，再从抽取的8位学生中随机抽取3位，求事件A“有初中生”的概率． (2)若以上表格计算出的频率近似概率，从该区域内的学生（数量大）中随机抽取3位学生，设睡眠不足的人数为X，求X的分布列以及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）根据分层抽样确定小学生初中生以及高中生的人数，根据古典概型的概率计算公式求得答案; （2）由题意可知睡眠不足的人数为X，，由此求得答案. 【详解】（1）由题意可知小学生初中生和高中生的人数比例为 ， 故从这80位学生中抽取8位学生，小学生初中生和高中生的人数分别为5人、2人、1人，再从抽取的8位学生中随机抽取3位， 故事件A“有初中生”的概率为 ; （2）若以上表格计算出的频率近似概率， 随机抽取1位学生，睡眠不足的概率为 ， 那么从该区域内的学生（数量大）中随机抽取3位学生，设睡眠不足的人数为X， 则 ,则 ， 则分布列为： X 0 1 2 3 P . 19．(本小题满分17分)在新型冠状病毒疫情期间，某高中学校实施线上教学，为了解线上教学的效果，随机抽取了100名学生对线上教学效果进行评分（满分100分），记低于80的评分为“效果一般”，不低于80分为“效果较好” (1)根据所给数据完成下列表格； 效果一般 效果较好 合计 男 25 45 女 40 合计 (2)用（1）中表格的数据估计全校线上教学的效果，用频率估计概率.从该校学生中任意抽取3人，记所抽取的3人中认为线上教学“效果一般”的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差. 【答案】(1)表格见解析； (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）根据题设完善数据表即可； （2）由题设知，应用二项分布概率公式求对应概率并写出分布列，再由二项分布期望、方差公式求期望及方差. 【详解】（1）由题设，表格如下： 效果一般 效果较好 合计 男 25 20 45 女 15 40 55 合计 40 60 100 （2）由（1）知：抽到认为效果一般的学生为，则， 所以，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 ，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练14 8.3 列联表与独立性检验 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D B D D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1.779 ； 不能 13． ； 没有 14．66 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） （1）表格见解析；（2）顾客对商场服务的评价与性别无关. 【分析】（1）根据等高堆积条形图，计算出男顾客中对服务满意的人数和不满意的人数，女顾客中对服务满意的人数和不满意的人数，从而列出列联表； （2）根据公式计算的值，通过比较即可得出答案. 【详解】（1）由题中等高堆积条形图，可得男顾客中对服务满意的人数为，不满意的人数为，女顾客中对服务满意的人数为，不满意的人数为， 所以列联表如下： 单位：人 性别 评价 合计 满意 不满意 男 40 10 50 女 30 20 50 合计 70 30 100 （2）零假设为：顾客对该商场的评价与性别无关. 根据（1）中列联表中数据，计算得到 ， 根据的独立性检验，没有充足证据推断不成立，因此可以认为成立， 即认为顾客对商场服务的评价与性别无关. 16．（本小题满分15分）(1) (2)我们认为性别与了解安全知识的程度有关 【分析】（1）根据分层抽样性质求出得分超过85分的学生中男生和女生人数，利用对立事件概率公式及古典概型概率公式求3名学生中有至少一名女生的概率； （2）根据列联表求，将所得值与临界值比较大小，确定是否接受假设. 【详解】（1）200名学生中得分超过85分的人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人， 因此按性别进行分层抽样得： 样本中男生人数为：人， 样本中女生人数为：人， 设这3名学生中有至少一名女生为事件，则 ； （2）根据列联表可：， 根据小概率值的独立性检验， 我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001． 17．（本小题满分15分）(1)列联表见解析，有关联； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据题意补全列联表，然后计算，查表可知； （2）根据超几何分布概率公式求概率可得分布列，再由期望公式计算即可. 【详解】（1）补全2×2列联表如下： 男性 女性 总计 喜欢“琮琮” 55 40 95 喜欢“莲莲” 45 60 105 总计 100 100 200 因为， 所以根据的独立性检验，可以认为“琮琮”“莲莲”的受欢迎程度与性别有关联. （2）14个吉祥物中，北京举办的运动会的吉祥物共6个， 的可能取值为， 因为，，， 得的分布列如下： 0 1 2 P 所以. 18．（本小题满分16分）(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）根据分层抽样确定小学生初中生以及高中生的人数，根据古典概型的概率计算公式求得答案; （2）由题意可知睡眠不足的人数为X，，由此求得答案. 【详解】（1）由题意可知小学生初中生和高中生的人数比例为 ， 故从这80位学生中抽取8位学生，小学生初中生和高中生的人数分别为5人、2人、1人，再从抽取的8位学生中随机抽取3位， 故事件A“有初中生”的概率为 ; （2）若以上表格计算出的频率近似概率， 随机抽取1位学生，睡眠不足的概率为 ， 那么从该区域内的学生（数量大）中随机抽取3位学生，设睡眠不足的人数为X， 则 ,则 ， 则分布列为： X 0 1 2 3 P . 19．（本小题满分17分）(1)表格见解析； (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）根据题设完善数据表即可； （2）由题设知，应用二项分布概率公式求对应概率并写出分布列，再由二项分布期望、方差公式求期望及方差. 【详解】（1）由题设，表格如下： 效果一般 效果较好 合计 男 25 20 45 女 15 40 55 合计 40 60 100 （2）由（1）知：抽到认为效果一般的学生为，则， 所以，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 ，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练14 8.3 列联表与独立性检验 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在吸烟与患肺病是否有病的研究中，下列属于两个分类变量的是（    ） A．吸烟，不吸烟 B．患病，不患病 C．是否吸烟，是否患病 D．以上都不对 2．在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用的数据分析方法应是 A．频率分布直方图 B．回归分析 C．独立性检验 D．用样本估计总体 3．下列关于独立性检验的说法正确的是（　　） A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B．独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在个吸烟的人中，有人患肺病 D．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 4．下列关于回归分析与独立性检验的说法：①回归分析和独立性检验没有什么区别；②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；③回归分析是研究两个变量之间的相关关系，而独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．其中正确的是（    ） A．①② B．③ C．③④ D．①②③④ 5．独立性检验中，假设变量与变量没有关系，则在假设成立的情况下，估算概率表示的意义是（    ） A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“变量与变量有关” B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“变量与变量无关” C．有99.9%以上的把握认为“变量与变量无关” D．有99.9%以上的把握认为“变量与变量有关” 6．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式 ，并制作出如下等高条形图： 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（    ） A．样本中的男生数量多于女生数量 B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量 C．样本中多数男生喜欢手机支付 D．样本中多数女生喜欢现金支付 7．如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为人（所有学生都参加了调查），现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的高二学生人数为（   ） A． B． C． D． 8．福建省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”为全国统考科目语文、数学和外语；“1”为考生在物理和历史中选择一门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物四门中再选择两门．某中学调查了高一年级学生的选科倾向，随机抽取200人，其中选考物理的120人，选考历史的80人，统计各选科人数如下表，则下列说法正确的是（    ） 选择科目 选考类别 思想政治 地理 化学 生物 物理类 35 50 90 65 历史类 50 45 30 35 附： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．物理类的学生中选择地理的比例比历史类的学生中选择地理的比例高 B．物理类的学生中选择生物的比例比历史类的学生中选择生物的比例低 C．有以上的把握认为选择生物与选考类别有关 D．没有以上的把握认为选择生物与选考类别有关 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C．根据小概率值α＝0.0001的独立性检验，认为“药物有效” D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大 10．2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高堆积条形图． 根据图中的信息，下列结论中一定正确的是（    ）． A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通 B．样本中多数女性是35岁及以上 C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多 D．样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高 11．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”、“日落云里走，雨在半夜后” ……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，随机观察了他所在地区的100天日落情况和后半夜天气，得到如下列联表， 日落云里走 后半夜天气 总计 下雨 未下雨 出现 25 5 30 未出现 25 45 70 总计 50 50 100 并计算得到，下列小波对该地区天气的判断正确的是（    ） A．后半夜下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为 C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，可以认为““日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关 D．根据的独立性检验，若出现“日落云里走”，则后半夜有99.9%的可能会下雨 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示： 手术 心脏病 合计 又发作过 未发作过 心脏搭桥 39 157 196 血管清障 29 167 196 合计 68 324 392 试根据上述数据计算 ，能否根据小概率值的独立性检验作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论 （填“能”或“不能”）． 13．已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两小组，经过统计得到如下列联表： 去云南旅游 去河南旅游 合计 东小组 60 40 100 西小组 70 30 100 合计 130 70 200 由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为 （用百分数表示）， （填入“有”或“没有”）的把握认为游客的选择与所在的小组有关. 参考公式：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 14．为了解正在研发的新产品在18~22岁和23~27岁两个年龄段青年群体中的受众面，某科技公司发布问卷展开调查，从这两个年龄段的青年群体中随机抽取160人作为调查样本，统计数据后得到如下列联表，其中． 年龄段 兴趣 感兴趣 不感兴趣 18~22岁 23~27岁 若通过计算，得根据小概率值的独立性检验，认为是否对新产品感兴趣与青年的年龄段有关，则在被调查的位于23~27岁年龄段的80名青年中对新产品感兴趣的人数的最小值为 ． 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，通过汇总数据得到如等高堆积条形图. （1）根据所给等高堆积条形图，完成下面的列联表； 单位：人 性别 评价 合计 满意 不满意 男 女 合计 （2）依据的独立性检验，结合（1）中列联表中的数据，能否据此推断顾客对该商场服务的评价与性别有关？ 16．溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过85分的人数 得分超过85分的人数 男生 20 100 女生 30 50 (1)现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？ 附：参考公式，其中． 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．第19届杭州亚运会的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”是一组名为“江南忆”的机器人，它出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．为了研究“琮琮”“莲莲”在不同性别人群中的受欢迎程度是否存在差异，某机构从在“杭州第19届亚运会”公众号的微信用户中随机调查男性和女性各100人（每人只能选择一个自己喜欢的吉祥物），得到如下2×2列联表： 男性 女性 总计 喜欢“琮琮” 95 喜欢“莲莲” 60 105 总计 200 (1)补全表中数据，根据的独立性检验，是否可以认为“琮琮”“莲莲”的受欢迎程度与性别有关联？ (2)小胡是吉祥物收藏者，他收藏有2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿祥”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2023年杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”，若他从这14个不同的吉祥物中随机取出2个，其中是北京举办的运动会的吉祥物的个数为，求的分布列和数字期望． 附，其中：． 0.05 0.1 0.01 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18．某心理师研究所对某城区的80位中小学生睡眠情况进行统计，统计情况如表所示． 小学生 初中生 高中生 合计 睡眠不足 22 10 8 40 睡眠充足 28 10 2 40 合计 50 20 10 80 (1)按学段分层抽样方式从这80位学生中抽取8位学生，再从抽取的8位学生中随机抽取3位，求事件A“有初中生”的概率． (2)若以上表格计算出的频率近似概率，从该区域内的学生（数量大）中随机抽取3位学生，设睡眠不足的人数为X，求X的分布列以及期望． 19．在新型冠状病毒疫情期间，某高中学校实施线上教学，为了解线上教学的效果，随机抽取了100名学生对线上教学效果进行评分（满分100分），记低于80的评分为“效果一般”，不低于80分为“效果较好” (1)根据所给数据完成下列表格； 效果一般 效果较好 合计 男 25 45 女 40 合计 (2)用（1）中表格的数据估计全校线上教学的效果，用频率估计概率.从该校学生中任意抽取3人，记所抽取的3人中认为线上教学“效果一般”的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差. 2 学科网（北京）股份有限公司 $