山西大学附属中学2025-2026学年高二数学寒假综合训练2

山西大学附中高中数学（选择性必修1，2）寒假作业 编号2 直线、圆、圆锥曲线、数列 制作人：韩永权 审核人：李倩 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 2．已知等差数列，前项和为，若，则（   ） A．200 B．100 C． D． 3．已知正项等差数列满足，则（    ） A．4048 B．2024 C．1012 D．2 4．已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（   ） A． B． C． D．0 6．已知椭圆的上，下顶点分别为，左、右顶点分别为，若过的中点和原点的弦长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．若动点满足，则动点P的轨迹为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 8．已知抛物线：的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 二、多选题 9．已知曲线与轴交于，两点，，是曲线上任意两点，则（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线圈成图形的面积为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 10．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的动直线与交于点，点，在的准线上，且轴，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为22 B．三点共线 C．存在点，使得到直线的距离相等 D．若，则 11．已知等差数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（    ） A．是递增数列 B．时，的最大值为13 C．数列中的最大项为 D．时，的最大值为27 三、填空题 12．已知为等差数列的前项和，且，则 . 13．如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ． 14．已知抛物线的焦点为为圆上的动点，为上的动点，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知递增等比数列的前项和为，，，数列的前项和为，且，是公差为1的等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 16．已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 17．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点（点在轴的上方），且为椭圆的左顶点，若的面积为，求的值. 18．已知双曲线的离心率为，点在上，是的右焦点. (1)求双曲线的标准方程. (2)不过点的直线与交于两个不同的点，若直线和的斜率之和为3. （i）求证：经过定点； （ii）若线段的中点为，直线交直线于点，求证：轴. 19．已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 第 6 页，共 6 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 第 5 页，共 6 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二寒假作业2 答案 1．下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 【答案】A 【详解】对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确． 对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误． 对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误． 对于D，当都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列， 当中至少有一个不代表数时，不能构成数列， 因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．故选：A. 2．已知等差数列，前项和为，若，则（   ） A．200 B．100 C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C. 3．已知正项等差数列满足，则（    ） A．4048 B．2024 C．1012 D．2 【答案】C 【解】因为为等差数列，所以，， 则，则，从而，故． 故选：C. 4．已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】圆的标准方程为：，故即或，故选：D. 5．已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解】由圆与圆恰有三条公切线，可知圆与圆外切. 由配方得：，知圆心半径； 由配方得：，知圆心半径. 由，可得，解得.故选：B. 6．已知椭圆的上，下顶点分别为，左、右顶点分别为，若过的中点和原点的弦长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】因为的中点坐标为，所以其所在直线的方程为． 则由得或，由题意和椭圆的对称性知， 得，则．故选：A. 7．若动点满足，则动点P的轨迹为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 【答案】B 【详解】由等式可得， 即动点P到定点与定直线的距离之比为且大于1，而定点不在定直线上，所以动点P的轨迹为双曲线.故选：B 8．已知抛物线：的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【解】 当时，易知为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，这样的即满足要求.设，则，又，两式相减可得，即，所以总存在以为中点的弦，即这样的三角形有无数个.故选：D. 【点睛】本题关键在于构造出，再说明对于点，只要满足的在抛物线内部，并且存在以为中点的弦，即存在，这样的每一个点都会对应一个. 二、多选题 9．已知曲线与轴交于，两点，，是曲线上任意两点，则（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线圈成图形的面积为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 【答案】ABC 【解】即， 则，即，曲线是四个圆组合成图形，如图： 由图可知曲线是中心对称图形，A选项正确；如图，∵，∴为圆的直径，∵，∴，∴曲线圈成图形的面积为，B选正确； 如图，当且仅当两点与所在弧对应圆心四点在同一直线上时，距离最大， 由解析式可知：， ∴最大值为，C选项正确； 如图：当在曲线的最高点或最低点是三角形面积最大，即， 又，，∴，D选项错误.故选：ABC. 10．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的动直线与交于点，点，在的准线上，且轴，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为22 B．三点共线 C．存在点，使得到直线的距离相等 D．若，则 【答案】BCD 【解】选项A：设，，的方程为， 与联立并化简得，所以，，则， 所以， 当且仅当即，时取等号，故A错误；选项B：连接， 则直线的斜率，直线的斜率， 所以，所以三点共线，故B正确；选项C：当点的坐标为时， ， 直线关于轴对称，此时点到直线的距离相等，故C正确； 选项D：设，若，易得，此时，，满足题意. 若，由，得，即， 则，所以.故D正确. 故选：BCD 11．已知等差数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（    ） A．是递增数列 B．时，的最大值为13 C．数列中的最大项为 D．时，的最大值为27 【答案】BC 【解】由已知，所以等差数列的前13项大于0，从第14项开始小于0，故B正确；设等差数列的公式为，则， 所以是递减数列，故A错误； 且为等差数列的前项和的最大值，故C正确；因为，故D错误. 故选：BC. 12．已知为等差数列的前项和，且，则 . 【答案】 【解】，故.故答案为：. 13．如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即，点在圆上运动， ，即点的轨迹方程为．故答案为： 14．已知抛物线的焦点为为圆上的动点，为上的动点，则的最小值为 . 【答案】3 【解】经过作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图：由抛物线的定义可知：， 圆心，半径为， 当共线且经过圆的圆心时最小，此时取得最小值， 所以最小值为：．故答案为：3． 15．已知递增等比数列的前项和为，，，数列的前项和为，且，是公差为1的等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)，；(2) 【解】（1）由题意可设的公比为，又，且为递增的等比数列，可得； 由可得，解得或（舍）；因此； 易知是首项为，公差为1的等差数列，所以，即； 可得； 两式相减可得，即，所以； 累乘可得，即；又当时，满足，可得的通项公式为；所以可得数列和的通项公式为，； （2）易知，所以 可得，两式相减可得； 所以. 16．已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【答案】(1)(2) 【解】（1）设圆心为，由题意可得，则，解得，所以，圆的半径为，故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得，因为点在圆上，则，即．故点的轨迹方程为． 17．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点（点在轴的上方），且为椭圆的左顶点，若的面积为，求的值. 【答案】(1)(2)或. 【解】（1）椭圆的离心率为，且过点，，联立解得：.椭圆的标准方程为：. （2）由（1）知：，记， 当直线的斜率为0时，三点共线，不合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：， 联立：，.，. ，. 即，整理得：， 令，即，解得：（舍）或，即，. 由知：且，当时，满足：，联立解得：， 当时，满足：，联立解得：，综上，的取值为或. 18．已知双曲线的离心率为，点在上，是的右焦点. (1)求双曲线的标准方程. (2)不过点的直线与交于两个不同的点，若直线和的斜率之和为3. （i）求证：经过定点； （ii）若线段的中点为，直线交直线于点，求证：轴. 【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解】（1）由离心率，得，，，又点在上，所以，所以，，故双曲线的标准方程为. （2）（i）设，，则直线和的斜率分别是，， 则，整理得.（*） 若的斜率不存在，设的方程为，将其代入的方程，得， 则，则由根与系数的关系得且， 将代入（*）式，得，得，不满足，不符合题意. 所以的斜率存在，设的方程为，代入的方程， 整理得， 则， 且，根据（*）式， 得， ， ， ， ，， ，， 由于不过点，所以，即， 所以，，代入，得，即，所以过定点. （ii）易知，线段的中点，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 令，得点的纵坐标，则 ， 又，所以 ，因此点和点的纵坐标相同，故轴. 【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 19．已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 【答案】(1)(2) 【解】（1）设，，是的中点， ，，又， 代入得．故点的轨迹方程是． （2）由题意点坐标适合，即点A在C上，由题意可知BD斜率不会为0，设直线：， 联立，消去并整理得， 需满足，即， 设，，则，， 因为，， 所以， 所以，将，代入得， 即， 所以直线：，即， 所以直线BD经过定点. 第 10 页，共 10 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 第 0 页，共 10 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 第 10 页，共 10 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $