山西大学附属中学校2025-2026学年高二数学寒假综合训练4

山西大学附中高中数学（选择性必修1、2）寒假作业 编号4 直线与圆的方程、圆锥曲线、数列 制作人：闫芙蓉 审核人：杨俐 一、单选题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)： 1．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列中，，则（    ） A．8 B．4 C．16 D．-4 3．已知椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B．6 C． D．12 4．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 5．一动圆过定点,且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（    ） A．35 B．42 C．49 D．56 7．数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 8．已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题,在每小题给出的四个选项中，不只一项符合题目要求)： 9．如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（    ） A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 10．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线记为曲线C，由曲线C构成的封闭图形记为Ω，则下列说法正确的是（    ） A．图形Ω为菱形 B．图形Ω的面积为2 C．若P为曲线C上的点，则 D．曲线C与椭圆有四个公共点 11．为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0），已知数列是一个“等积数列”，，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的一个通项公式为 D． 三、填空题（本题共3小题）： 12．若m是2和8的等比中项，则双曲线的渐近线方程为 ． 13．已知椭圆的中心，右焦点，右顶点分别为O，F，A，右准线与x轴的交点为H，则的最大值为 . 14．已知双曲线右支上存在点P，使得P到左焦点的距离等于P到右准线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）： 15．若圆过点，，. (1)求圆的一般方程；(2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 16．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，若，求n的最小值. 17．已知椭圆（）的右焦点为，是椭圆上任意一点，且点与两个焦点构成的三角形的面积的最大值为8. （1）求椭圆的方程； （2）若是上顶点，直线l交椭圆于，两点，的重心恰好为点，求直线l的方程的一般式. 18．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围 19．已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 第 页，共 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 第 4 页，共 4 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二寒假作业4 答案 1．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于倾斜角为，所以，所以直线方程为：， 整理得：，故选：A 2．已知等差数列中，，则（    ） A．8 B．4 C．16 D．-4 【答案】B 解：由等差数列的性质知，所以，所以， 所以，故选：B 3．已知椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【解】由题意可知，解得，即，所以椭圆长轴长为. 故选：C. 4．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解】根据圆的标准方程得，圆心坐标，圆的半径， 利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为： ，所以弦长为.故选：C 5．一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解】圆与圆外切，如图，，即， ，由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，，． 故所求轨方程为：． 故选：C． 6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（    ） A．35 B．42 C．49 D．56 【答案】B 【解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染, 则每轮新增感染人数为，经过n轮传染，总共感染人数为：， ∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得， 由，故得，又∵平均感染周期为7天， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，故选：B 7．数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 【答案】C 【解】由题意，，， ，，， 故的一个周期为4．又， 故．故选：C 8．已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】由题意得：，所以圆心，半径，由两圆相交于、两点可知：，所以的面积， 因为是半径为的圆，所以，当时，， 又， 此时由，解得，，故可以取最大值， 所以当时，最大，且是锐角，根据函数的单调性可知：当时，最大，在中由余弦定理可得：，所以，所以，故选：C. 2、 多选题 9． 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（    ） A．椭圆的长轴长等于4B．椭圆的离心率为C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 因为椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，故A错误； 显然，则，离心率，故B正确； 当以椭圆短轴所在直线为轴，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系时， 则椭圆的标准方程为，故C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，故D正确.故选：BCD. 10．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线记为曲线C，由曲线C构成的封闭图形记为Ω，则下列说法正确的是（    ） A．图形Ω为菱形 B．图形Ω的面积为2 C．若P为曲线C上的点，则 D．曲线C与椭圆有四个公共点 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由方程研究曲线的性质、求椭圆的顶点坐标、求点到直线的距离 【分析】去绝对值符号探讨曲线C的形状，并画出图形，再逐项计算判断即可. 【详解】依题意，当时，曲线C表示直线上两点间的线段， 当时，曲线C表示直线上两点间的线段， 当时，曲线C表示直线上两点间的线段， 当时，曲线C表示直线上两点间的线段， 对于AB，图形Ω是边长为的菱形，其面积为，A正确，B错误； 对于C，观察图形知，为菱形的中心，，，C正确； 对于D，椭圆的四个顶点分别为，是菱形的四个顶点， 且菱形除顶点外，都在椭圆内，因此曲线C与椭圆有四个公共点，D正确. 故选：ACD 11．为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列是一个“等积数列”，，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的一个通项公式为 D． 【答案】ACD 【解】由“等积数列”定义得：，而，则， 因此数列奇数项相同，偶数项相同，又，则当为奇数时，， 由，得，则当为偶数时，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，若，则当为奇数时，，当为偶数时，，符合题意，C正确； 对于D，当为奇数时，，满足， 当为偶数时，，满足，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题）： 12．若m是2和8的等比中项，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【解】由是双曲线方程得，又m是2和8的等比中项，则，∴（4舍去）， 双曲线的渐近线方程为，渐近线方程为．故答案为：． 13．已知椭圆的中心，右焦点，右顶点分别为O，F，A，右准线与x轴的交点为H，则的最大值为 . 【答案】/ 【解】因为椭圆方程为，所以椭圆的右焦点，右顶点为，右准线方程为，其中，由此可得，，所以， 因为，所以当且仅当时，的最大值为.故答案为：. 14．已知双曲线右支上存在点P使得P到左焦点的距离等于P到右准线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】(1，2]∪[3，6) 【解】由题意可设双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，则有，所以|PF1|＝＝，解得|PF1|＝；又因此则解得1＜e≤2或3≤e＜6，即双曲线离心率的取值范围为(1，2]∪[3，6)．故答案为：(1，2]∪[3，6)． 四、解答题（本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）： 15．若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 【答案】(1)(2) 【解】（1）设圆的一般方程为，则，解得， ∴圆的一般方程为. （2）由（1）得圆的圆心为，半径，圆半径为. 设，则，且的中点在直线上， ∴，解得, ∴圆的标准方程为. 16．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，若，求n的最小值. 【答案】(1)(2)32 【解】（1）由已知，所以，， 故是首项为，公差为的等差数列. 当时，， ，又，满足上式，故. （3）由（1）知， 所以， 由，即，解得，因为，所以n的最小值为32. 17．已知椭圆（）的右焦点为，是椭圆上任意一点，且点与两个焦点构成的三角形的面积的最大值为8. （1）求椭圆的方程； （2）若是上顶点，直线l交椭圆于，两点，的重心恰好为点，求直线l的方程的一般式. 【答案】（1）（2） 解：（1）由已知得，当点与短轴上的端点重合时，点与两个焦点构成的三角形的面积取最大值，则，，，∴椭圆的方程为. （2）设线段的中点为，由三角形重心的性质知， 又，∴，即故得，，即Q的坐标为（3，-2）.设，，则，，且，， 以上两式相减得， ∴， 故直线的方程为，即. 18．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3). 【解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以，因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立，所以，解得，所以的和公比为4； （2）由（1）知，，所以， 所以， 相减得，所以； （3）设， ，，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则，综上，的取值范围是． 19．已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1)；(2)8；(3)证明见解析， 【解】（1）抛物线的焦点关于直线的对称点为，于是，解得：，所以抛物线的方程为． （2）由（1）知，直线的方程为，设，由消去得：，则，所以． （3）由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为， 代人抛物线方程，整理得或． 设，则，由， 得， 化简得， 当时，因，化简得，与直线的斜率存在矛盾，不合题意； 当时，化简得． 即化简得， 又，所以，化简得，所以点在直线上． 第 页，共 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 第 7 页，共 7 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $