山西大学附属中学2026年高二数学寒假综合训练5 直线与圆的方程\圆锥曲线\数列

山西大学附中高中数学（选择性必修1、2）寒假作业 编号5 直线与圆的方程、圆锥曲线、数列 1.已知直线与垂直，则实数（  ） A．3 B．-3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，所以。故答案为：B 2.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】的焦点是，∴双曲线的半焦距，又虚半轴长且，∴双曲线的渐近线方程是.故选：D 3.在等差数列中，为其前项和，，则（  ） A．55 B．65 C．15 D．60 【答案】B 【解】设公差为，因为， 所以故选：B. 4.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（  ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，所以，， 取，，满足，可求得，，此时，所以“”是“”的不充分条件；取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件；所以“”是“”的既不充分又不必要条件.故选：D. 5.当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】直线恒过点，由可得，等式两边平方得，曲线表示圆的上半圆，作出示意图如下： 当直线与半圆相切时，即直线与半圆相切时， 有，解得，当直线过时，，解得，要想曲线与直线有个相异交点， 数形结合得到：实数的取值范围是.故选：D. 6.已知点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 解：因为，故在双曲线的右支上，而半焦距，实半轴长为， 故双曲线右支的方程为：，故渐近线方程为，而直线与双曲线右支有公共点，故，故选：D. 7.已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与椭圆相交于A，B，则面积的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 解：根据椭圆方程可得，设直线的方程为，； 联立，整理可得，解得； 易知的面积为， 当时，面积的最大值为.故选：C 8.已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（  ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【解】设等差数列的公差为，则， 化简得，即，则 ， 由，则当时，取最大值.故选：B. 二、多选题(本题共3小题,在每小题给出的四个选项中，不只一项符合题目要求)： 9.已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（  ） A.的最大值为5 B．的最大值为 C．圆心到直线的距离最大为4 D．直线与圆相切时， 【答案】BD 【解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误；B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离，当时，，当时，，故C错误；D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外.若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确.故选：BD 10.下列结论中正确的是（  ） A．已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B．已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C．若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为D．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是 【答案】BCD 【解】A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，错误； B，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 则圆心距，即两圆相离，圆与圆共有条公切线，正确； C，连接、、，如图，则易知四边形为正方形， ，点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 又点在直线上，故直线与该圆有公共点，圆心到直线的距离， ，实数的取值范围为，正确； D，圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，由圆至少有三个点到直线的距离为1，则，对.故选：BCD 11.下面正确的是（   ） A．在等比数列中，若，，则 B．等差数列的前项和为，且，则的最大值为 C．在等差数列中，若，，则 D．在等比数列中，若，，则 【答案】AB 解：对于A，因为为等比数列，所以，故A正确； 对于B，因为，，而，所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为为等差数列，所以，所以，故C错误；对于D，因为为等比数列，所以，故D错误；故选：AB. 12.直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】直线即，所以直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即，则直线的倾斜角为，其斜率为， 则直线的斜截式方程为，即直线的方程是.故答案为： 13. 已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【解】设等比数列的公比为，由题意得，所以，所以， 所以.故答案为：. 14.已知双曲线的两个焦点分别为、，，以为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为，若直线与圆相切，则 （用含、的式子表示），双曲线的离心率是 . 【答案】 / 【解】易知圆心为，圆的半径为，则，，因为以为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为，所以，，因为直线与圆相切，切点为，则，所以， ，所以，，即，可得， 由双曲线的定义可得，所以，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，该双曲线的离心率为.故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）： 15.已知的三个顶点分别是点 (1)求的外接圆C的标准方程． (2)已知直线与圆相交于两点，求弦长的值． 【答案】(1)；(2). 解（1）由题设，则， 所以，故是的外接圆的直径，所以所求圆的圆心为，半径为2，即圆的标准方程为. （2）由到距离，所以. 16．一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．  (1) 若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由； (2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值． 【答案】(1)轮船没有触礁风险，理由见解析． (2)； 【解】（1）由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为：．轮船航线所在直线过点，所在直线的倾斜角为，斜率为，直线方程为，即．原点到轮船航线所在直线的距离为，所以，轮船没有触礁风险． （2）记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 直线的方程为：，其一般式方程为：．易知原点到直线的距离为，直线与圆相离，圆上动点到直线的距离的最小值为：． 17.已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【解】（1）依题意可得，解得，所以椭圆方程为； （2）若弦所在直线斜率不存在，根据椭圆的对称性，中点的纵坐标一定是， 同理，若斜率为，则中点的横坐标一定是，与已知矛盾，故所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为.因为M在椭圆内，故直线与椭圆一定有两个交点，设两个交点为，将两个点代入椭圆，有：，，两式作差得， 由于是的中点，故，代入上式化简可得，得到，求出， 所以中点弦的方程为，整理得到：.故以为中点的弦所在直线方程为：. 18.已知等差数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和 答案】(1)(2) 解：（1）由题意设等差数列的公差为，，. （2）由（1）得，则， 则. 19.已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，判断轴负半轴上是否存在一定点，使得.若存在，请求出；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)存在， 【解】（1）设，则，作差可得， 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （2）设存在，焦点，因为，所以， 即，化简可得， 又点在双曲线上，所以，代入上式可得，整理可得 ， 因为对于恒成立，所以且，解得. 当时，代入双曲线方程可得，显然，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 第 页，共 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 第 8 页，共 8 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（选择性必修1、2）寒假作业 编号5 直线与圆的方程、圆锥曲线、数列 制作人：胡继艳 一、单选题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)： 1.已知直线与垂直，则实数（  ） A．3 B．-3 C．2 D．1 2.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（  ） A． B． C． D． 3.在等差数列中，为其前项和，，则（  ） A．55 B．65 C．15 D．60 4.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（  ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5.当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是 A． B． C． D． 6.已知点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7.已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与椭圆相交于A，B，则面积的最大值为（  ） A． B． C． D． 8.已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是 A．4 B．5 C．6 D．10 二、多选题(本题共3小题,在每小题给出的四个选项中，不只一项符合题目要求)： 9.已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（  ） A.的最大值为5 B．的最大值为 C．圆心到直线的距离最大为4 D．直线与圆相切时， 10.下列结论中正确的是（  ） A．已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B．已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C．若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是 11.下面正确的是（   ） A．在等比数列中，若，，则 B．等差数列的前项和为，且，则的最大值为 C．在等差数列中，若，，则 D．在等比数列中，若，，则 三、填空题（本题共3小题）： 12.直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为 ． 13.已知等比数列的前项和为，若，则 . 14.已知双曲线的两个焦点分别为、，，以为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为，若直线与圆相切，则 （用含、的式子表示），双曲线的离心率是 . 四、解答题（本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）： 15.已知的三个顶点分别是点 (1)求的外接圆C的标准方程． (2)已知直线与圆相交于两点，求弦长的值． 16．一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．  (1) 若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由；(2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值． 17.已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且经过点. (1)求的方程；(2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 18.已知等差数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和 19.已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，判断轴负半轴上是否存在一定点，使得.若存在，请求出；若不存在，请说明理由. 第 页，共 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 第 4 页，共 4 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $