山西大学附属中学2026年高二数学寒假综合训练3 圆锥曲线

山西大学附中高中数学（选择性必修1）寒假作业 编号3 圆锥曲线综合 制作人：杜玲秀 审核人：张新媛 一、选择题 (本题共8小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)： 1.双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 2.已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3.若椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 4.如图，双曲线是圆的一条直径，若双曲线过两点，且离心率为2，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5.过原点的直线交椭圆于两点，过点分别作轴、的垂线，且分别交椭圆于点P，，连接交于点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6.双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7.已知曲线，①若是椭圆，则其长轴长为；②若，则是双曲线；③C不可能表示一个圆；④若，则上的点到焦点的最短距离为 则下列命题正确的是（    ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 8.在平面直角坐标系中，已知点，，，，直线AP，BP相交于点P，且它们斜率之积是.当时，的最小值为（       ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题,在每小题给出的四个选项中，不只一项符合题目要求)： 9.设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ） A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 10.如图，已知，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（   ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 11.已知曲线，点，，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线上存在点，使得 C．直线与曲线只有一个交点 D．曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 三、填空题(本题共3小题)： 12.点到点的距离比它到直线的距离小1,则点的轨迹方程为 ． 13.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为 ． 14.已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）： 15. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点. (1)求线段的长. (2)为原点，求的面积. 16. 已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 17. 已知双曲线的左､右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3. (1)求双曲线的方程； (2)过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，证明为定值，并求出该定值. 18. 设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)动点为椭圆上异于的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点. 19. 已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，. (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值. 第 页，共 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 第 4 页，共 4 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二寒假作业3 答案 1. 双曲线的渐近线方程是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【解】对于双曲线，令，得，所以双曲线的渐近线方程是.故选：B. 2. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故. 故选：D. 3. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解】由，因为椭圆的焦点在轴上，所以，，因为长轴长是短轴长的两倍，所以，所以，得.故选：D. 4. 如图，双曲线是圆的一条直径，若双曲线过两点，且离心率为2，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为， 依题意，设，则，两式相减并化简得，即， 所以直线的方程为.故选：A 5.过原点的直线交椭圆于两点，过点分别作轴、的垂线，且分别交椭圆于点，，连接交于点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】设，则， 由，则，即，① 由三点共线，则，即，② 又因为，即，③将①②代入③得，则.故选：D. 6. 双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知共线，共线，如图，设，，则， 由得，，又，所以，， 所以，所以， 由得，因为，故解得，则，在中，，即，所以．故选：C． 7. 已知曲线，①若是椭圆，则其长轴长为；②若，则是双曲线；③C不可能表示一个圆；④若，则上的点到焦点的最短距离为 则下列命题正确的是（    ） A.①② B ②③ C③④ D.②④ 【答案】B 【详解】由于，所以， 对于A,当时，故表示焦点在轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为，故A错误, 对于B,当时，是双曲线，故B正确, 对于C,由于，故C不可能表示一个圆，故C正确， 对于D,时，，表示焦点在轴上的椭圆，且此时 故椭圆上的点到焦点的最小距离为，故D错误,故选:BC 8. 在平面直角坐标系中，已知点，，，，直线AP，BP相交于点P，且它们斜率之积是.当时，的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解】解：设点坐标为，则直线的斜率； 直线的斜率．由已知有，化简得点的轨迹方程为．又，所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以、为顶点的双曲线的左支（除点），因为，设，由双曲线的定义可知，所以，当且仅当、、三点共线时取得最小值，因为，所以，所以，即的最小值为； 故选：A 二、多选题 9．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即，到直线的距离为， 所以三角形的面积为，由上述分析可知， 所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.   10. 如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（   ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 【答案】D 【解】对于A, 双曲线的渐近线为,故A错误，对于B，由于，则， 根据双曲线的定义可得，故，设椭圆方程，则，故，又，故，则椭圆方程为，C错误，离心率为，B错误， 对于D，,故， 故的面积为,故D正确， 故选：D 11. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线上存在点，使得 C．直线与曲线只有一个交点 D．曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 【答案】BCD 【解】由题当，时，曲线；当，时，曲线； 当，时，曲线不存在；当，时，曲线，故作出曲线如图所示： 选项A：法一：由图可知，曲线不关于直线对称，故A错误； 法二：将中的替换为替换为，得， 与不相同，故曲线不关于直线对称，故A错误； 选项B：易知，为双曲线的上、下焦点， 所以当点在第三象限时，根据双曲线的定义可知，故B正确； 选项C：易知直线为双曲线与双曲线的一条共同渐近线， 直线的斜率小于直线的斜率，故直线与曲线在第一、四象限内没有交点，在第三象限内只有一个交点，故C正确；选项D：设曲线上第一象限内的点为， 则，即， 所以点到直线的距离， 点到直线的距离，所以，故D正确.故选：BCD. 12. 点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 解：因为点到点的距离比它到直线的距离少1，所以将直线右移1个单位，得到直线，即，可得点到直线的距离等于它到点的距离， 根据抛物线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，可得，得，所以抛物线的方程为，即为点的轨迹方程.故选：B. 13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解】由题意知，，所以，设，则，由，得， 故，所以当时，取得最大值9， 当或时，取得最小值5，故的取值范围为．故答案为： 14. 已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解】由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，由轴，可知轴，所以可设，又在渐近线上，所以，所以， 因为的离心率的取值范围是，所以， 又，所以.故答案为：. 15. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. (1)求线段的长. (2)为原点，求的面积. 【答案】(1)8(2) 【详解】（1）∵抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为1，∴直线方程为， 由，得，设，则，则由抛物线焦点弦长公式得：． （2）点到直线的距离为，则的面积． 16. 已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1)(2)直线的方程为或. 【解】（1）由题意得，解得，所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知，设点到直线的距离为，则，则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为：，则，解得或，当时，联立，解得或，即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即，当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离， 设，则，解得或，即或，以下同法一. 法3：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，，令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离，则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 17. 已知双曲线的左､右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3. (1)求双曲线的方程； (2)过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，证明为定值，并求出该定值. 【答案】(1)(2)证明见解析，定值为 【解】（1）由题意可得，则直线的斜率，直线的斜率. 因为直线的斜率之积为3，所以，解得.因为点在双曲线上，所以，解得.故双曲线的方程为. （2） 设直线.联立，整理得 ，则，且所以. 所以为定值，定值为 18.设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)动点、为椭圆上异于的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点. 【解】（1）易知抛物线的焦点，由可得，由离心率，且，解得；所以椭圆的方程为； （2）证明：由（1）可知，显然直线的斜率存在，且不为零，设直线的斜率为， 则直线的方程为，如下图所示： 联立，整理可得， 因为直线过点，所以，可得； 代入可得，即； 由可得直线的斜率为，所以直线的方程为； 联立，消去整理可得. 因为直线过点，所以，可得；代入可得，即；若，即，可得， 直线的斜率为； 直线的方程为，令，解得所以直线过定点， 若，则，此时，直线也过定点.综上可得，直线过定点 19. 已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，. (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值. 【答案】(1)(2) 【解】（1）由题意结合双曲线的对称性可知，得，即轴，把 代入方程，可得，又，即，又， 解得，，双曲线的方程为：. （2）设直线的方程为：，联立方程， 化简得， 设，则，，结合直线的方程得， 即中点坐标为.于是，（倾斜角，或）当或时，，直线方程为： ，令得，此时， 于是，令，则， 由知，当时，，故的最小值为. 第 页，共 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 第 9 页，共 9 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $